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1、用三线扭摆法测定物体的转动惯量实验4-3 用三线扭摆法测定物体的转动惯量 转动惯量是刚体转动惯性大小的量度，它与刚体的质量、转轴位置及质量相对转轴的分布情况有关。对于形状简单规则的刚体，测出其尺寸和质量，可用数学方法计算出转动惯量，而对形状复杂的刚体用数学方法求转动惯量非常困难，一般要通过实验方法来测定。三线扭摆法测转动惯量是一种简单易行的方法。 1学会使用三线扭摆法测定圆盘和圆环绕其对称轴的转动惯量。 2学习使用MUJ-5B计时计数测速仪测量周期。 3研究转动惯量的叠加原理及应用。 三线扭摆、钢直尺、游标卡尺、水准仪、钢圆环、铝圆环、MUJ-5B计时计数测速仪。 三线扭摆装置如图4-3-1a
2、所示。上、下两个圆盘均处于水平，圆盘A的中心悬挂在支架的横梁上，圆盘B由三根等长的弦线悬挂在A盘上。三条弦线的上端和下端分别在A圆盘和B圆盘上各自构成等边三角形，且两个等边三角形的中心与两个圆盘的圆心重合。A盘可绕自身对称轴O1O2转动，若将A盘转动一个不大的角度，通过弦线作用将使B盘摆动，B盘一方面绕轴O1O2转动，同时又在铅直方向上做升降平动，其摆动周期与B盘的转动惯量大小有关。 设B盘的质量是m0，当它从平衡位置开始向某一方向转动角度q时，上升高度为h，那么B盘增加的势能为 Ep=m0gh (4-3-1) 这时B圆盘的角速度为dq，B盘的动能为 dtEK=1dqJ02 (4-3-2) 2
3、dt式中J0是B盘绕自身中心轴的转动惯量。 如果略去摩擦力，则圆盘系统的机械能守恒，即 1dqJ02+m0gh= 常量 (4-3-3) 2dt设悬线长为l，上圆盘悬线到盘心的距离为r，下圆盘悬线到盘心的距离为R。当下圆0盘B转一小角度q时，圆盘上升高度h，从上盘a点向下作垂线，与升高前、后的下盘分别交于c、c1，悬线端点b移到位置b1，因而下盘B上升高度为 41 a) b) 图4-3-1 三线扭摆 h=ac-ac(ac)2-(ac1)21=ac+ac (4-3-4) 1因为 (ac)2=(ab)2-(bc)2=l2-(R-r)2(ac1)2=(ab1)2-(b1c1)2=l2-(R2+r2-2
4、Rrcosq)所以 qh=2Rr(1-cosq)2Rr2sin2(2)ac+ac= (4-3-5) 1ac+ac1在悬线l较长而B盘的扭转角q很小时，有 ac+ac， sin(qq12H2)2其中H为两圆盘之间的距离。代入式得 Rrq2h=2H (4-3-6) 将式代入式，两边对t微分，可得 Jdqd2qRrdq0dtdt2+m0gHqdt=0 即： d2qdt2+m0gRrJHq=0 0式是简谐振动的微分方程，其中振动角频率w的平方为 42 4-3-7） 求出圆盘B绕自身对称轴的若B圆盘上放置另一质量为m的待测刚体，使原转轴O1O2不变，测出此时的摆动周期T，待测刚体和B盘对轴O1O2的总转
5、动惯量 J=(m+m0)gRr2T (4-3-9) 24pH转动惯量具有可叠加性，故待测刚体对轴O1O2的总转动惯量为 J1=J-J0 将式和式代入上式得： J1=gRr(m+m0)T2-m0T022 4pH一、测量B盘对于其中心对称轴O1O2的转动惯量 1调节三线扭摆的角螺丝使A圆盘面处于水平，再调整三线摆悬线的长度，使B盘水平，并且使A、B两圆盘之间的距离H大约为60cm。 2用米尺测定A、B两圆盘之间的距离H，B圆盘的直径D，并记下B圆盘的质量m0。 3用游标卡尺分别测定A、B圆盘三线悬挂点之间的距离ai、bi，并求平均值。 4用MUJ-5B计时计数测速仪测定B盘的摆动周期T0。首先让B
6、盘处于静止状态，然后轻轻转动一下A盘，使B盘绕O1O2轴做小角度摆动，待B盘做稳定摆动后，调整光电门和MUJ-5B计时计数测速仪，测出它摆动20个周期所对应的总时间t0。重复三次，算出周期T0的平均值。 5将测量数据填入表4-3-1。 二、测量待测圆环对自身对称轴的转动惯量 1将待测钢圆环放在B盘上，并使环心与B盘盘心重合。 2测量系统的摆动周期T，方法与上述相同。 3用米尺测量待测钢圆环的内、外直径D1、D2，并记下钢圆环的质量m，将测量数据填入表4-3-2。利用式算出钢圆环的转动惯量。 4用相同的方法测量铝圆环，将测量数据填入自拟表格。 一、测量圆盘B绕对称轴O1O2的转动惯量。 表4-3
7、-1 测量圆盘B的转动惯量 0m0= kg D= cm H= cm 43 次数 1 2 3 平均值 a/cm b/cm r= R= t0/cm T0= 1计算A、B圆盘的悬点到转轴O1O2的距离r、R。 由于三线摆的三条弦线的上端和下端分别在A圆盘和B圆盘上各自构成等边三角形，所以，A、B圆盘的悬点到转轴O1O2的距离r=3a/3、R=3b/3。 2应用式计算B盘的转动惯量J0。 3应用公式J=(mD2)/8，计算B盘的转动惯量的理论值J0理。 5计算相对误差Er0=J0-J0理J0理100%= 。 二测量钢圆环的转动惯量。 1应用式(4-3-10) 计算钢环的转动惯量。 表4-3-2测量钢环的转动惯量 次数 1 2 3 平均值 t/s m= kg D1= cm D2= cm T= s 222应用公式J=m（D2+D1)/8，计算钢环的转动惯量的理论值J1理。 3. 计算相对误差Er1=J1-J1理J1理100%= 。 三测量铝圆环的转动惯量。 计算铝环的转动惯量及相对误差。 1公式J0=m0gRr2T0是根据什么条件导出的？在实验时如何做才能满足这些条件？ 4p2H2若在B盘上所加的待测刚体是一个半径较小的柱体，将柱体对自身轴的转动惯量的实验值与理论值比较，发现误差较大。试分析产生误差的主要原因。 44
