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1、第三章 微分中值定理,2,本章主要内容,3.1 微分中值定理3.2 罗必达法则 3.3 函数单调性的判别法 3.4 函数的极值 3.5 函数的最大值和最小值 3.6 曲线的凹凸与拐点 3.7 函数图象的描绘,3,学习目标,熟悉微分中值定理熟练掌握罗必达法则，并能够解决相应的问题了解函数单调性的判别方法了解函数的极值、最值、凹凸点、拐点了解函数图象的描绘,4,3.1 微分中值定理,一、本章简介1、主要内容：本章在已有知识的基础上，来介绍高等数学中的几个重要的概念中值定理，进而丰富了高等数学的知识，同时介绍了关于导数的应用。2、学习目标：了解中值定理的有关规定，以及由中值定理得到的一些结论，同时掌
2、握导数相关的应用。,5,（2）在开区间,（3）,如果函数,满足条件:(1)在闭区间,上连续；,内可导；,则在,内到少存在一点,二、罗尔（Rolle）定理,内到少存在一点,内到少存在一点,6,例1 验证函数,在区间,上是,否满足Rolle定理，若满足则,求出定理中的,解 设,显然,在,上连续，在,内可导，且,，满足Rolle定理的三,应用举例,内找到,，使,由,令,解得,取,有,个条件。按照Rolle定理的结论，一定能在,7,三、拉格朗日（Lagrange）定理,(2)在开区间,内可导；,则在区间,，使得,此公式叫做微分中值公式或Lagrange公式,内至少有一点,8,例2 验证函数,在区间,0
3、,1上满足拉,格朗日定理,的条件，并求,的值,解：本题主要应用 拉格朗日定理，主要先考虑到两个条件,根据,条件来验证。,9,上连续；,(2)在开区间,内可导，且,则在区间,内至少存在一点,，使得,3.2 罗必达法则,在闭区间,四、柯西（Cauchy）定理,若函数,皆满足条件:,10,(2),与,在点,的某一空心邻域内可导，且,(3),则,与,满足条件：,(1),若函数,0,),x,g,x,(,0,),g,罗必达法则（）,五、罗必达（LHospital）法则介绍,11,例1 求,解,12,型根据法则l，有,例2,13,则,14,下面来介绍未定式,型的极限,解,例3,15,例4 求,解,16,型的
4、极限求法举例,例5 求,解,型的极限求法举例,型的极限求法举例,17,例 6,求,解,18,其它类型的未定式极限的求法,型未定式求极限,为,型,即可用罗必达法则求极限了。,为,19,求,例7,型,解,20,我们在以前章节中讨论了函数单调性的概念，现在利用导数,来研究函数的单调性我们来介绍函数单调性的判别方法，导数的,符号来判定函数的单调性,函数单调性的判定定理介绍,定理3.4 设函数,在区间,内可导，,若在区间,内,，那么函数,在,内单调增加；,3.3 函数单调性的判别法,21,（2）若在区间,内，,，那么函数,在,内单调减少。,22,例1 判定函数,的单调性。,解 函数,的定义域为,。且,令
5、,，解得驻点,除这些孤立的驻点外，,因此，函数,函数单调性的判定定理应用举例,在,单调增加。,23,例2 讨论函数,的单调性。,解 函数,在其定义域,内连续，且,令,，得驻点,函数没有导数不存在的点.点,把函数的定,义域分成,三个子区间，通过列表（略），我们可以知道,在区间,和,内单调增加;在区间,内单调减少。,24,例3 讨论函数,的单调性。,解(1)求导，并找出驻点和不可导点 驻点为 不可导点为,(2)根据以上两点分成三个子区间,在区间,和,内单调减少；,在区间,内单,调增加。,（3）根据三个子区间，讨论增减性得：,25,引入,请看图3-4，可以看到，函数,在点,处的函数,值,比它们左右邻
6、近各点的函数值大,而在点,3.4 函数的极值,26,处的函数,比它们左右邻近各点,的函数值,都小这些点都是特殊的点,他们是邻近点中数值较大或较小的点.,下面我们来,介绍一下函数极值的有关定义,函数极值的定义,设函数,在,的某个邻域内有定义,(1)如果对于该邻域内的任意点,都有,则称,为函数,的极大值，并且称点,是,的极大值点；,27,(2)如果对于该邻域内的任意点,都有,则称,为函数,的极小值,并且称点,是,的极小值点,函数的极大值与极小值统称为函数的极值。使函数取得极值,的点称为函数的极值点,函数极值的相关定理,定理l(必要条件)设函数,在点,可导，且在点,取得极值，则函数在点,的导数,28
7、,定理2（第一充分条件)设函数,在点,处连续，在点,的某个去心邻域,内可导,(1)如果在,的邻域内,当,时，,0；当,X,时，,0，则函,数,在点,取得极大值,(2)如果在,的邻域内，,当x,时，,0；当,X,时,0,则函,数,在点,取得极大值,(3)如果在,的去心邻域内,不改变符号,则,不是函数,的极值,29,函数极值求法举例,例1 求函数,的极值。,解 函数,的定义域为,令,，解得,，函数没,有导数不存在的点。,三个驻点将函数的定义域分成,四个子区间，,由列表、分析（略）可知，函数的极大值为,，极小值为,30,例2 求函数,的极值。,解 函数,的定义域为,令,，解得,而当,时，,不存在。,
8、駐點,和尖點,将,的定义域分成,三个子区间，,经列表讨论得函数的极大值为,极小值为,31,另外,对于函数极值求解方面还可以通过求函数的二阶导数的方法,即第二充分条件,见,下面,定理3(第二充分条件)设函数,在点,处具有二阶导数且,=0，,不为0,(1)如果,0，则函数,在,处取得极小值,(2)如果,0，则函数,在,处取得极大值,32,例3 求函数,的极值。,解 函数,的定义域为,令,，解得驻点,因为,所以，,在,处取得极小值,因为,所以，,在,处取得极大值,33,引入,上节课,我们学习了函数极值相关的知识,从中我们可以知道,在函数,局部范围内存在着,极大或极小的数值,我们把这些数值叫,做函数极
9、值,那么针对这一问题,我们来考虑将函数范,围扩充到一个整体的范围内,即在函数整体的范围内,必然存在极大值,(或极小值),而在这些,极大,值(或极小值)中,必然会有一个,最大的极大值(或最小的极小值),那,么我们把极大值中,最大的数值称为最大值,同样我们,把极小值中,最小的数值称为最小值.,3.5 函数的最大值和最小值,34,最值的求解,1、最值的求解步骤,求函数,在闭区间a,b上的最大值与最小值的方法，可按,如下步骤进行：,(1)求函数,的导数,并求出所有的驻点和导数不存在的点,(2)求各驻点、导数不存在的点及各端点的函数值,(3)比较上述各函数值的大小，其中最大的就是,在闭区间,a,b上的最
10、大,值，最小的就是,在闭,区间,a,b上的最小值,35,2、应用求解步骤解决以下问题,例1 求函数,在,上的最值。,解 求导，得，,令,解得驻点,计算驻点及端点的函数值，有,所以函数,在,上的最大值为,，最小值为,36,例2 用一块边长为24 cm的正方形铁皮，在其四角,各截去一块,面积相等的小,正方形，做成无盖的铁盒(图3一l2),问截去的小正方形边长为多少时，做出的铁盒,容积最大?,37,解 设截去的小正方形的边长为,cm，铁盒的容积为,根据题意，得,于是，问题归结为：求,为何值时，函数,在区间,(0,12)内取得最大值,38,令,=0，解得,因此,在区间(0,12)内函数,只有,一个驻点
11、,=4，又由,问题的实际意义知,函数,的最大值,在(0,12)内取得.所以，当,=4时,函数,取得,39,例3 在一条河的同旁有甲、乙两城,甲城位于河岸边,乙城离,岸40 km,乙城到,岸的垂足与甲城相距50 km(图313).两城,在此河边合建一水厂取水,从水厂到甲,城和乙城的水管费用,分别为每公里3万元和5万元,问此水厂应设在河边的何处才,能使水管费用最省?,40,解 设水厂离甲城,km，水管总费用为,万元，则,于是，问题归结为:求,为何值时函数,在,区间(0,50)内,取得最小值求导，得,41,令,=0，解得,=20因为在区间(0,50)内,函数只有一个驻点,=20，又由实际意义知，函数
12、,42,的最小值在(0，50)内取,得，所以当,=20时，函数,取得最小值.即,此水厂应设在河边离甲城20 km处,才,能使水管费用最省,43,我们给出曲线凹凸性的定义如下：,定义 设曲线弧的方程为y=,且曲线弧上的每一点都有切线,如果在某区间,内，该曲线弧位于其上任一点切线的上方,，则称曲线弧在该区间内是凹的；如果该曲线,弧位于其上,任一点切线的下方，则称曲线弧在该区间内是凸的,曲线的凹凸判定定理,设函数,在,(a,b)内有二阶导数,3.6 曲线的凹凸与拐点,44,(1)如果在,(a,b)内，,0，则曲线y=,在(a,b)内是凹；,(2)如果在,(a,b)内，,0，则曲线y=,在(a,b)内
13、是凸；,45,举例说明,例l 判定曲线,的凹凸性,解 函数的定义域为,(-，+)，因为,当,0时，,0；当,0时,0所以，,是凹的,见(图317),46,从图317可以看到，点(0，0)是曲线,由凸变到凹的,分界点,我们把这种连续曲线,上凹的曲线弧与凸的曲线弧的分界点,叫作曲线的拐点,由拐点的定义知，如果,=0，且,在点,的左右附近异号，则点（,，,)就是曲线,上的一个拐点；如果,在点,的左右,附近,同号,则点（,，,)不是曲线,的拐点,47,例2 判断曲线,的凹向和拐点。,解 函数的定义域为,，点,为曲线,的间断点。,令,解得,点,和,把定义域分成,48,三个子区间，列表讨论（略）可得,函数
14、在区间,和,内上凹，在区间,内下凹，拐点为,49,3.7 函数图象的描绘,曲线的水平渐近线和铅直渐近线,一般地，如果当自变量,x(或x+，或x-)时，函数,f(x)的极限,为A，即,则直线y=A叫作曲线y=f(x)的水平渐近线,如果当自变量,时，函数f(x)的极限为无穷大,即,则直线,叫作曲线y=f(x)的铅直渐近线,50,例1 求曲线,的渐近线,解 因为,所以，y=0是曲线的水平渐近线,51,例2 求曲线,y=,垂直渐近线,解 因为,y=,=,有两个间断点,x=3和x=-1,而,y=,=,y=,=，,所以曲线有垂直渐近线x=3和x=-1,52,函数图象的描绘,利用导数描绘函数的图象的一般步骤是：,(1)确定函数y=f(x)的定义域，并讨论函数的奇偶性；,(2)求出,与,解,=0与,=0在,函数定义域内的全部,实根，并求出所有使一阶导数,与二阶导数,不存在的点；,(3)把函数的定义域分为几个部分区间，列表讨论,函数的单调性与极值、曲线,的凹凸性与拐点,53,(4)确定曲线的渐近线,(5)结合极值点、拐点以及必要的辅助点，把它们,连成光滑的,曲线，从而得到函,数y=f(x)的图象,
