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1、值分析课后答案(钟尔杰黄廷祝着)高等教育出版社课后答弟一草习幽解吾与河艘刀题解答1设JOO, x的相时误限为况 求I1IX的误):解：设*的准确值为E则TT(-r-.r*|/|) w。所以l(In jc)=| Inx-InxJ =| x-x 乂| (In 矿.皿.=(| x-x | / |x*|) W dg解：e(hi x)= In a: - In / | =| In (x/x) = | In (工一工* 一|= |1n(x-x+yV + 1)|(|x-x |/|x+|) W d2设,v = -2.18和j = 2.1200都是由准确倍经叫念h及血得到的近似lih求绝对可兀瓯 心)和收)C解：
2、I e(x) I = K- 2.18)10,005, I 的?)| =杞(2.1200)1 W 0.00005,所以(.0.005+ (*) =。阐0。公3 F近似仙的绝对可无限都是0.005,何似近似饥有儿位仃效数字为二I一38，恐=-0一0312, X.i= 0.00086解:根据有根数宇定义.织寸由乏限不超过末位数平个卯幻 由题设钮,A|-阿 如效 数末位数均为小数点后第二位。故X具在一一位有效数宇 为JI仃 仲有效数号，心II仃零位 村有数字。4己幻近似数弄有两位有效数字，试求其相近次X：限,解：I eQ) I 5 X () 2 C5设次=2S.接递椎公忒yn= y，- J7S3/ 1
3、00(= I. 2.)什算玮讷.*取7783 27.982 ( h位有敬数，试问计算加)将仃名大的误泌解：门.初jl ji = 28 没 误差于 K. V-巾 V783 37,982 昕引担、记工=27,982.户一 =a J?商-可利用E!论准确成立的递扣试昉1 = Vj#.i V?S3 i 100秆丈云计算中递推式K=Kl100(皿=凡)四-式相减.得或冷=儿-月=y?,i-v,i-(A- V783 )/100.所以，-仃卯=力100利川I:式求和JOOIOO侦)=序项11=111=1化简.吁戒 V1O0)= B( V【J _ = JHi以，I算Jim的戾站界为e(Ym) ! 0.001
4、=5x10-46求力程/ 5&c + I =。的两个根，问要使W们！L仃位-效数宁 D yjh2-4ac个少 要取I位有效散乎?如果利H B达；阳D.K,宜凡取JI.效数孕？解；在:力林中，言=1，= -56, = 1.故D-lx2 -1 ,则当x=30时，-=30-29.9833=0.017有三位有效数字，其相对 误差:为10%由第题结论，求对数时为差为10%若改用等价公式，令 = JV +，则当X=3O时，卜=30 +29.9833= 59.9833有六位 有效数宇.其相对次美；为10气由第-题结论,求对数时院J为10% n r10 ：Uji仃求.j=! j=B试统计需要用多少女乘法和如法
5、才能计算出该利式的TL（2）为了减少计算工作量.将利式作等价变换.变换后需要多少次乘法和加法.解（I）所用乘法次数：1+2+3-n = n（n 1） / 2 +加法次数；（H-1+2-l）Hn- ）（n-2）n- 1）/2,（2）将和式等价变形为： 力心所用乘法为m次，加法次数不变.仍为（抑十2 ） （ N 1）, 2。II试构造-个算法，对输入的数据r*以及均为实数）.算法输出为（JT 勺）（X 西）。X 一电）（-T 甫的计算结果-解算法如下：第步：输 Ax；沏 h X2. * A/6 （上一_中）：0；第一步：M MX （x - xo ）； *十1；第二步：判断.若k W m则转第二步；
6、否则输出Af,结束。12利用级数公式-=1- + - + -可计算出无理数4的近似值。由于交错级数的部4 3 5 7分和数列蜀，在其极限值上下建功，故截断误差将小于第一个被舍去的项的绝对值|sh| 带格垢 41 了徊玉|雄蛎的二店右姑级宿 e 时生曲却解由部分利=(-1尸-台 115项知.截断误差满足2n显斜 为了得到三位有效数字的近似伯.绝利误君限应该为0.0005 =5 X0 4.只需令OJM(KlSO点*(&+勃 gsfl 湖;ifya*ylk;Ob=xO； elsea=KO?ya=yO;endk=k+l;endformat Longdisp(xO,k)C2)A|7 = 0.567146
7、, (flj用Mi程序修改前两行) ap = 1.365226,2证明方程1工血工=0在区间皿1上有一根,使用二分法求误差不大于一xlCT4的2根需一分多十次？祚明令只对二1 jcsinx,则A0)= 1，R1)二一in 1。是 啊犬1)。,故所给方程在区间1泌有根=又氐为f rx) = T - cos x所以.函fix)在町1|0】内单在,故.力宙衽区倒0, 1内只有个也.利用二分法收敛定理,巾2件112荷r m io七刷以分法求根学少在14次分汁算能满足设要京。3比较以下两种方法求F+ 10x 2=0的根到一.位小数所而驱的计算见J)在区间的I内川分泻用迭代法、咤(2-矿)取初值1 = 0
8、.解；U)分，展代11次，XI =0.090.【利用第I题和序修改前两育)2)不动点也弋5次羽=0.09051不动点迭代程序jtO=(Kk=G;0JMHII6xl=fi(x0);xOC解取初占1： % =71,迭代格.心 乳.=J2 / W tn=l. 2,),首先hl：明敷列打上界.h燃,m2成立，刘对丁(&+I)有 乩十=+ 一上 2 + 2 = 1li数由叶I纳法数.对任意凡有 X2.故数列宥上界.现川!II数列单增。由 %二血+知二奴+%二云.1知数列单调增加击极限定珑该数浏必仃极限，设为x二巾/ =2 + /化为:次$s程.求史西个根分刷为：-I和2, 余去童根.部W .5 取 为=
9、 0.5,求方程a = 的根，分刈用简单迭法和Aidan加速方法求解,要求雄 I Ajt+| -Xjfcl 0.a0001y=txp(-x);z=exp(-y)；fy=z- (y-z)A 2f(i-2*y+x);er=abs(x-xO);x=xO;k=k+l;u(k)=x;end6应用牛g!一送代; I f *! F -血二投出求上方根 将 的送代公叽项讨论.!匚收敛阮. 解:令犬蔚二则牛顿迭代公式x-a2 axn.t = A: = - r + -3工；33忘故迭代函数为3 3 ax将/=渔！代入，财，(工*) = 0，) = 2! yfa故川牛顿迭代试求解方程=0甘出求立亦根 褊 的迭代是阶
10、收用,7 川牛顿迭代法求解Lmnar血方村? 4-2?+10x-20 = 0+ 求1迎胃-尊I C 10七 解；令只工=+ 2胃+ 1。无一2。，刘牛顿认代公式二：I 2x1 4- 10上-20V一 _MMz 3 +4+10容易验甜项1侦2)。,故方程在M 2冈间内至少右一根.取初值i 计算结果如卜1.41176471.3693364L3 6880811,3688081职初值将=2一计算给火如F1,46666613715120IJ688I021,368 鬣 081取初佃-.g S. 计竹皓果如F1.373626313688148L368808III此可知疗程在区间】，2内有-根，其近似伯.为f
11、 =1.36 跳 081注：用MATLAB求多项式手也命令 冲叫1 2 10 2O)M得该方程的一个根近似仁X1 =-1.6844 +3.4313if x2 - L确44 3.4313L 奶二 13688X /如.，.和 胃一尸=0在血二If附近“根-，试别断下冗医代格犬为收敛性。】成上，故2尬-1)38.迷代格式不收敛；(3) 伊=Vl+x2 , /(r) =, 4 Ao =1,5 附讪有I 伊Ta) l 1.成:J ,故3加+工亍迭代格式收敛。9 应用牛顿迭代法于方程(工)=1-与=0,导出求平方根面腿代公式，并用此公式厂il扑VHE解：I对为尸=竺，所以牛顿迭代公A为XJ?2 a-alx
12、l 3 j = x.土 - -xla lx； 2取初值巧二1L迭代取第4次，匚得10,71 J04347826087 10J237S910023906 10,72380520472693 10,72380520476361 取THE x It) 7M湘*047巳经得到1.2位仃效数Y10训.明巾迭代格式 =二+ 璀=。- L)产牛的迭代序列 心 对任意的 2电3均收敛于龙，证明】对迭代格式得工命=顼一3；+2),等式桐端同减点，并进行配方，得2x.同理叫一待1顼I L1-甲对任意的为网，由于P I L故送代序列收敛于扼c,2= 4 + -c0ka-为方料的根)；II解方孔12-3 a + 2
13、COS x = 0的迭代格式为工职证明：时任意xoe/f,均右im=x弁F取为二土用此迭代法求方程根的近似值, 此迭代法的收敛阶是多少?22（2）炒不超迂I尸:解：令tp(x) = 4-b cosx .则- sin j;a斯以迭代刊程收敛。即对i意孙厂R, W.i有lim毛t =牙 取& = 4,川:医代佚计算得3.56423.3920故用j意ER，均/；1(-01-1/2-1/2-3/23353/21/25/2-1-2得卜三伯方程组2xj + 3x2 + 5xj = 5().5地0.5.Y- 1.5x, - -2LJ回代求解得,约化增广矩阵-42432-42431025-52631今212-
14、5-2610-155-512-413-920-102一-432-42-46-3126-3今-88-8-8S-4879/2-33/217/2X= -4 ，3IX2= I 二3= 22-4242 - 4-S63/2得组2x -4.r, +一 4土 = 32x2 + 6x3 3x4 = I-8x:. i-8.Tj = -8-8.5x4 = -3L5时代求解得Xi = 99/34,跄= 52/17、Xy = -46/17 -= - 63/172.设J对ll.au H 0,经过高斯消元法-芯后A约化为%矿0 A213证明&是对称矩阵=ill设A=gg ,经过命斯消儿第-步.有3-1）阶婀i4 = （如）
15、g闵i，H-Pra.：-l,l外=为.顷1 一 1.；1|a因为A是对称矩阵，所以叫+1如=阳|,计,知顷=仞网，0侦h=Sli，故1 j+l4 ；+1% 二气叫.%, fai I1】所以知阶处是对称矩阵。另低 由于鬲斯消.兀秩一步后不改变如阵头的第一行元素，眄以项将原对称炬阵A写为a 4j形式，其中，&是对称矩阵。利用Frobenius阵Pf ： t1A2 - Ai 一叫皿 -AaLatau是对称矩阵.X I 2x2 I- 3a3 = I3.设力程组罚跖+1&+ 10葺=03.Y! -0. lx3 +x：1 = 2 试Jfj Gauss全主兀怯求解m （2） Jf Ghuse列4-.兀法求解
16、 解:用P=|l. 3|讪录未知元次序由增广矩阵-i23r4 加二41003-0.112在系数矩阵A中选取鲍对值最大元fl23= lOo交换第一行第二行,并交换第一列和第三列.5410 if-1045A句。123 19321 1.3-.11 21-0.1 3 2将P的第一无素;和第一.兀素换位 P6|32- Ih然用进行第一轮消儿，得104SO-10450-32114/5-1/2_ 1-0.132_-1/25/2七修改P.在系数时4的石下r矩阵中:迷取绝对值最大兀033= 52 交换第.行第.行井交换第 列利第第三列。14-10450一10450一-105404/5-1/21今-1/25/22
17、今5/2-1/22-/25/224/5-1/21-1/24/5修改P.将P的第二元素和第三元素换位.片P6|. I. 2：然舟进行第二轮消无,得1054o-1054o _5/2-1/225/2-1/22_ -n4/51_7/107/5_I得二伯形方程组10工1 4 5% I 4v3 = 02& -0.5与=2=14回代求解，得X= 7/5 . X| =6/5 . Aj = 2可用乱序后的未知兀次序讪朵数组P=|3, h 2,得p=3,您=1，P竺队 由版。-刀 e 6/5,询-5/2-52-5/2-52.6/511-7/549/25.得二H方村5r, +4r, + 10x, = 0JJifeF
18、5 c r-53 =2I代求解,得X 6/5 , Aj = 2 , jc.二一 7/5-利用矩阵A的分解法求解方程组如成 其中2I-2-253-27A-2-235,b-13230解：川高斯消尤法分解炬阵A21-221-2253-22112A =-2-235-223-3_ 1323_ 1103 _n此得知网a的此u分解I21-212I-9A =2_ a5_ 933-252-21211I32313231013第- 步,顺代过程求解下二角方程绢f，R yi = 4 哗二一1 r i吟= 9，y4 = - 3: 第二步,回代房科求解上二程知ti-:绢二 2 比二| r _钉二 2 . A；4 = -
19、1 =.试求解以卜问题34(1) 解如=乩4 5 其中 b = 30. 40, 43, 57；(2) 利用一川分解求A l =(1) x = 1* *2 = 2 j Xj 3 ? X4 = 4 0(2)用E公尔叫阶单位炸阵.记的四个列向置分别为幻.雍,知 幻跖尸的叫个示向 量分别为兀，& X?、工,则仃 g, Xa Xv Xa 1二& 散等价子求解四个问系数 矩阵的力札!.组AXi = eiR 4X3 = 0AX = e同.斯消心去分解矩阵16-1 2 3 4-234 -2 3 4 52 -1 -2 -333 4 4 532-1-14 5 5 74 311231 23423452 1-1-2-
20、33-1153 2 1-1-145574 3 111 _EFi 二肯,=LU现分别求解I叫个下-：角方税组LY! = elt-1 _-21，匕=0 _1-2, =()一01匕=U0011-1沔二明，Zi = u分别求解四个上二加泌T组IX】二 Y:r.i-3_3 -2r 一3-43-1. X.= Xy .XA =-223304-11 1-1 L 一_i好二豹11此得叩阵A Il勺LU分解-3 3-2 I妒3-4 3-1-2 3。-I - - I& J|j追赶注求解下列方程组解首先对系数矩航讶行角分解（Croat分解）-41A =41I1 一 411- 4所以-4A =解下下三方和纽衍B】处解E
21、.角方理H1行(Al X27, (I)设PEW明IIG,也是时hI -56/15-209/56-415/4I - 56/15-：力 yr - f -1/4 - F3-1/4Tx-4/15工I -15/56 工 x4 xil=4/11-5/11异，|工11是/r上的一种向握-1/4-I5M -4/15一 56/】5 -15/56I -209/561 -1/41-4/15I -15/56凡1广1109/56 外I-5/14-4/H r 4,_ - 1/3,=-S1AJ 4/11-5/11 -J/ll V审;数,定义Ik II口二II PxllL试册（2）设/匕穴坷5为时称正哲军 定义I |.| =
22、 J（女,幻 皿川习?十|1勺 种向量范敬， 证；（1）由于尸是非奇异知阵，故当x为非零向量时，户工也是非零向量（否则.由森=0得户 0与工是非零向坦矛盾 故|刈=|&|0,且xp = d的充分必要条件是工=0；|初|尹=| P(Jbc)= APx = |2| J Px= |A|x|pIIyP= P(x+y) | - Px I Py Px+ Py = | x |p I yp 由上可知，II 版满足范数三条公理,故，xP是舟上的一种向量范数 (2)由，炬阵A对称正二二 故存在卜二伯矩阵L 使得/ =气JI.L是非奇异知町，所以，11*11：=虫，x)=xtAx =xtLLtx= IIhII；故，
23、xA = Lrx 半ti CJ)的结论知,IIx 11.4是JT上的-北向景范数.1SS.设AR,IY如果1% 1 %1 (2=1, 2,， )成乩 则称H为时用占优中阵. j-i e若A为对储占优知阵,SHGauss消儿；心L如宙如下形式ijk明:M是对角占优明阳ill-设乂=(。成的淬过命斯消儿第步.匚，得3-1)阶州i而=(如沁孔，其中4虬I其中1 hn 1=1 %+*，+】一竺旦 ”+1 函+ 1、中aI13+1所以电怡WX-E 一上一气.=1%0.6 0.519.设】=、VFA的行和范数，列卸也数L范数及F-门如0,1 03解；11扪1* = 1一1. 11/II】=08 II也TL
24、6853 111=0土426戚设x是m维向量，/是亦用阶炬阵。求iii：.： 11乂此11*11|戒1应 虬； -=Af1A1 ，扁仁则 IIXII1 = I jci I + I I + +I xnL因为II XI任 umax 1旦 1= nil XII及 HXIImaxlXi 1=11X111*北区也0所以II XI、XII 占 1111X11*。(2)设4 =则日=(编)5.I好第lT：W 主山IJ兀之和)为Jfi=lIf Jf 护(泌，=%= 文心 aw,-J *l_/ *lJ1 1根据妊l：4二彳.伯.理论龙阶方l：4BlH特们Ti.之和等1 A7A的迹，即YjZi;(ATA) = t
25、r(ArA)=AFJt=l 所】Al=tArA)ktArA)=A七I抑由卜.两式得-1/11*11 出1拦I山 II；或 -U Af A 2A Ifn-JuII. XR、左，证明：因为FJl lj，f Ji muxf = Llg故,求祉.lim (Ylx IOl7/J 却幻xi P 11. VI .v. Imax I xi p J 1W Jmax I x l (VI x. V ：p ：4n max I 工 I少。七互令|J-或JTII Yllw(lj:. I”顷 宙1 XI.,I11于 lim昨二I ,搦以札k式取极限得proclim (力比1叮顷=| X -I 12.设8次气I是f阶爪位.火
26、阵,如果II5II 1 ,计叫， 1I-IISII证先证明不等:心I(7-5) 1 111 II BIIFt!得移项,得两边取瓶数,得2()IK7-B)-1 II W III I + 1 g II 11(/ -8)Fl111- 11/11= 1,整理 5i不等式，得ll-H gii仍由(Z5)(Z-5)- = A 得移项，得广=-职/-矿广两边取范数，得II/(/3尸 I W II 矿 I 11( Z-fi )-|11Il不等式(*)得II dll1-IIBII100 994J3.设4=-汁算网付条件数Cond以 0=1，E)99 98解:先求&的逆炬阵,因为1)二1,所以 989999 -1
27、00Cond(j| = A WWAl II】二 199x199Cond(J=l AJAl 1 199x199J4.求下面两个方程的解,并利用矩阵的个方程估封I跖II XI240179即 Ax =b -,240-3195-179.520一妇3、即3 4渤)(x I成q4解：E )珂二4,及二3：(2)叫二跖心二 6；取 1-门数，则 II 存刀11|二18 41 + 16 3 1 = 7, HXIIi =4+3 = 7 +侦IInx II Yll240 -319A 179 240则由A I二499,曾4991_ 179 240_所以I-范数意义下的条件数为= M lb II4-1 lli =55
28、9x( 559/499 ) 二 626.21 H ifu21II 8A ll| = OS, IU IIl = 559所以Cond()i S = IM h A Hi 二 559乂 (559f 499 )x0.5 7559= 0.560JIM I,MII)根据系数炬阵扰动时解的处：.讪计式.得II 跃 I 顷dII 时L = 0-56。 _ 273411X11 - -CandA d4 / AW, IU II, - I-O.56OI -第四章习题解答与问题.习题解答I,设方相组5工| I 2x2 4-= - 12.一壬 + 4x? + 2a-3 = 20,驻 I 3x2 I II Ox. = 3.考
29、察川Jacobi迭代，L G-S迭代法解此力程徂的收敛性一用Jarabi迭代法及GS迭代法解此方程组,要求当时 - KT时迭代终止.解.；程凯的系数矩帅_ 5 2 IA= -1 4 22 3 10也对角A优矩阵.故:JaccH迭代剧G&送代均收敛。(2)此方程组的Jacobi迭代格式为=y此+s4 12 - A + A A -T.-n |i51010取初r/=io, , oY进行遂代I .算，得近似解为 XUSj = (-3,9999964,2.9999739,1.9999999) |X冏对)41446E0-4此方程组的GS迭代格力为122、.e I ,以l+u_lxn+5，川+i，- 3 (
30、uii , 3Ij510 -10取初值ZJ=|0. (. 0灿迭代i|.算.迭代8次.邑乳精度初求.曾近似解为X闾=(-土000036 2999985,2.000003)0.9155273x10 d设右方程组工 I +0.4x2 +04 明=1, 0+4 I x2 I 0.8a：- = 2t 0,4A| +0.82 + Jt3 = 3.一。+ 2x2 - 2ji -Xj +x2 I 耳；=I, 2xt + 2x2 + jt, = I0.4 0. 0 -iU 一。40 -0.4 -0.40.4 10.S.Bj =-0.40-0.8 Bg =0 0.16 0.640,4 0.81-0.4 T).80 0 ().032 0,672A =试考察求解上述方卷辎的庇obi送代法及g-s迭代法求收上述.解,.Jamhi迭代法不收敛.而 g 迭代法收凯-1 2 -2_ 0 -2 20-2 2 1 1 1，饥=-10 -1,饥
