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1、第九章 压杆稳定,9-1 压杆稳定性的概念,9-2 细长中心受压直杆临界力的欧拉公式,9-3 不同杆端约束下细长压杆临界力的 欧拉公式压杆的长度因数,9-4 欧拉公式的应用范围临界应力总图,9-5 实际压杆的稳定因数,9-6 压杆的稳定计算压杆的合理截面,9-1 压杆稳定性的概念,实际的受压杆件,实际的受压杆件由于:其轴线并非理想的直线而存在初弯曲，2.作用于杆上的轴向压力有“偶然”偏心，3.材料性质并非绝对均匀，因此在轴向压力作用下会发生弯曲变形，且由此引起的侧向位移随轴向压力的增大而更快地增大。,对于细长的压杆(大柔度压杆)，最终会因为弹性的侧向位移过大而丧失承载能力；对于中等细长的压杆(
2、中等柔度压杆)则当侧向位移增大到一定程度时会在弯压组合变形下发生强度破坏(压溃)。,对于实际细长压杆的上述力学行为，如果把初弯曲和材质不均匀的影响都归入偶然偏心的影响，则可利用大柔度弹性直杆受偏心压力作用这一力学模型来研究。,图a为下端固定，上端自由的实际压杆的力学模型；为列出用来寻求Fd 关系所需挠曲线近似微分方程而计算横截面上的弯矩时,需把侧向位移考虑在内，即 M(x)=F(e+d-w)，这样得到的挠曲线近似微分方程EIz w=F(e+d-w)和积分后得到的挠曲线方程便反映了大柔度杆偏心受压时侧向位移的影响。,(a),按照这一思路求得的细长压杆在不同偏心距 e 时偏心压力F 与最大侧向位移
3、d 的关系曲线如图b所示。,(b),由图可见虽然偶然偏心的程度不同(e3e2e1)，但该细长压杆丧失承载能力时偏心压力Fcr却相同。其它杆端约束情况下细长压杆的Fd 关系曲线其特点与图b相同。,抽象的细长中心受压直杆,由图b可知，当偶然偏心的偏心距e0时，细长压杆的F-d 关系曲线就逼近折线OAB，而如果把细长压杆抽象为无初弯曲，轴向压力无偏心，材料绝对均匀的理想中心压杆，则它的F-d 关系曲线将是折线OAB。,由此引出了关于压杆失稳(buckling)这一抽象的概念：当细长中心压杆上的轴向压力F小于Fcr时，杆的直线状态的平衡是稳定的；当FFcr时杆既可在直线状态下保持平衡(d0)，也可以在
4、微弯状态下保持平衡，也就是说FFcr时理想中心压杆的直线平衡状态是不稳定的，压杆在轴向压力Fcr作用下会丧失原有的直线平衡状态，即发生失稳。Fcr则是压杆直线状态的平衡由稳定变为不稳定的临界力(critical force)。,从另一个角度来看，此处中心受压杆的临界力又可理解为：杆能保持微弯状态时的轴向压力。,显然，理想中心压杆是有偶然偏心等因素的实际压杆的一种抽象。,细长中心受压直杆失稳现象,压杆的截面形式及支端约束,压杆的临界力既然与弯曲变形有关，因此压杆横截面的弯曲刚度应尽可能大；图a为钢桁架桥上弦杆(压杆)的横截面，图b为厂房建筑中钢柱的横截面。在可能条件下还要尽量改善压杆的杆端约束条
5、件，例如限制甚至阻止杆端转动。,9-2 细长中心受压直杆临界力的欧拉公式,本节以两端球形铰支(简称两端铰支)的细长中心受压杆件(图a)为例，按照对于理想中心压杆来说临界力就是杆能保持微弯状态时的轴向压力这一概念，来导出求临界力的欧拉(L.Euler)公式。,(a),在图a所示微弯状态下，两端铰支压杆任意x截面的挠度(侧向位移)为w，该截面上的弯矩为M(x)=Fcrw（图b）。杆的挠曲线近似微分方程为,(b),(a),上式中负号是由于在图示坐标中，对应于正值的挠度w，挠曲线切线斜率的变化率 为负的缘故。,令k2=Fcr/EI，将挠曲线近似微分方程(a)改写成,该二阶常系数线性微分方程(b)的通解
6、为,(b),(c),此式中有未知量A和B以及隐含有Fcr的k，但现在能够利用的边界条件只有两个，即x=0，w=0 和 x=l，w=0，显然这不可能求出全部三个未知量。这种不确定性是由F=Fcr时杆可在任意微弯状态下(d可为任意微小值)保持平衡这个抽象概念所决定的。事实上，对于所研究的问题来说只要能从(c)式求出与临界力相关的未知常数k就可以了。,将边界条件x=0，w=0代入式(c)得B=0。于是根据(c)式并利用边界条件x=l，w=0得到,(c),(a),注意到已有B=0，故上式中的A不可能等于零，否则(c)式将成为w 0而压杆不能保持微弯状态，也就是杆并未达到临界状态。由此可知，欲使(c)成
7、立，则必须sinkl=0,满足此条件的kl为,或即,由于 意味着临界力Fcr 0，也就是杆根本未受轴向压力，所以这不是真实情况。在kl0的解中，最小解 klp 相应于最小的临界力，这是工程上最关心的临界力。,由klp有,亦即,从而得到求两端铰支细长中心压杆临界力的欧拉公式：,此时杆的挠曲线方程可如下导出。前已求得B=0，且取klp，以此代入式(c)得,注意到当x=l/2 时 w=d，故有 A=d。从而知，对应于klp，亦即对应于Fcr=p2EI/l 2，挠曲线方程为,可见此时的挠曲线为半波正弦曲线。,需要指出的是，尽管上面得到了A=d，但因为杆在任意微弯状态下保持平衡时d为不确定的值，故不能说
8、未知量A已确定。事实上，在推导任何杆端约束情况的细长中心压杆欧拉临界力时，挠曲线近似微分方程的通解中，凡与杆的弯曲程度相关的未知量总是不确定的。,(a),思考：在上述推导中若取kl2p，试问相应的临界力是取klp时的多少倍？该临界力所对应的挠曲线方程和挠曲线形状又是怎样的？,9-3 不同杆端约束下细长压杆临界力的 欧拉公式压杆的长度因数,现在通过二个例题来推导另一些杆端约束条件下求细长中心压杆临界力的欧拉公式。,例题9-1 试推导下端固定、上端自由的等直细长中心压杆临界力的欧拉公式，并求压杆相应的挠曲线方程。图中xy平面为杆的弯曲刚度最小的平面，亦即杆最容易发生弯曲的平面。,解：根据该压杆失稳
9、后符合杆端约束条件的挠曲线的大致形状可知，任意x横截面上的弯矩为,杆的挠曲线近似微分方程则为,这里，等号右边取正号是因为对应于正值的(d-w)，亦为正。将上式改写为,并令 有,此微分方程的通解为,从而亦有,根据边界条件x=0，w=0得Ak=0；注意到 不会等于零，故知A0，从而有wBcoskx+d。再利用边界条件x=0，w=0得B=-d。于是此压杆的挠曲线方程成为,至此仍未得到可以确定隐含Fcr的未知量k的条件。为此，利用 x=l 时 w=d 这一关系，从而得出,从式(a)可知d不可能等于零，否则w将恒等于零，故上式中只能coskl=0。满足此条件的kl的最小值为kl=p/2，亦即 从而得到求
10、此压杆临界力的欧拉公式：,(b),亦即,以 kl=p/2 亦即 k=p/(2l)代入式(a)便得到此压杆对应于式(b)所示临界力的挠曲线方程：,例题9-2 试推导下端固定、上端铰支的等直细长中心压杆临界力的欧拉公式，并求该压杆相应的挠曲线方程。图(a)中的xy平面为杆的最小弯曲刚度平面。,(a),解：1.在推导临界力公式时需要注意，在符合杆端约束条件的微弯状态下，支座处除轴向约束力外还有无横向约束力和约束力偶矩。,在推导临界力公式时这是很重要的一步，如果在这一步中发生错误，那么得到的结果将必定是错误的。,(b),图b示出了该压杆可能的微弯状态，与此相对应，B处应有逆时针转向的约束力偶矩MB，并
11、且根据整个杆的平衡条件MB 0可知，杆的上端必有向右的水平约束力Fy；从而亦知杆的下端有向左的水平约束力Fy。,2.杆的任意x截面上的弯矩为,从而有挠曲线近似微分方程：,上式等号右边的负号是因为对应于正值的w，为负而加的。,(b),令 k2=Fcr/EI，将上式改写为,亦即,此微分方程的通解为,从而亦有,式中共有四个未知量：A，B，k，Fy。,对于此杆共有三个边界条件。由边界条件x=0，w=0 得 A=Fy/(kFcr)。又由边界条件x=0，w=0 得 B=-Fy l/Fcr。将以上A和B的表达式代入式(a)有,(a),再利用边界条件x=l，w=0，由上式得,由于杆在微弯状态下保持平衡时，Fy
12、不可能等于零，故由上式得,满足此条件的最小非零解为kl=4.49，亦即，从而得到此压杆求临界力的欧拉公式：,亦即,3.将 kl=4.49，亦即 k=4.49/l 代入式(c)即得此压杆对应于上列临界力的挠曲线方程：,利用此方程还可以进一步求得该压杆在上列临界力作用下挠曲线上的拐点在 x=0.3l 处(图b)。,(b),压杆的长度因数和相当长度,表9-1中列出了几种典型的理想杆端约束条件下，等截面细长中心受压直杆的欧拉公式。从表中可见，杆端约束越强，压杆的临界力也就越高。,表中将求临界力的欧拉公式写成了同一的形式：,式中，m 称为压杆的长度因数，它与杆端约束情况有关；m l 称为压杆的相当长度(
13、equivalent length)，它表示某种杆端约束情况下几何长度为l的压杆，其临界力相当于长度为m l 的两端铰支压杆的临界力。表9-1的图中从几何意义上标出了各种杆端约束情况下的相当长度m l。,运用欧拉公式计算临界力时需要注意：当杆端约束情况在各个纵向平面内相同时(例如球形铰)，欧拉公式中的 I 应是杆的横截面的最小形心主惯性矩 Imin。当杆端约束在各个纵向平面内不同时，欧拉公式中所取用的I应与失稳(或可能失稳)时的弯曲平面相对应。例如杆的两端均为如图所示柱形铰的情况下：,对应于杆在xy平面内失稳，杆端约束接近于两端固定，,对应于杆在xz平面内的失稳，杆端约束相当于两端铰支，,而取
14、用的临界力值应是上列两种计算值中的较小者。,思考：图a，b所示细长中心压杆均与基础刚性连接，但图a所示杆的基础置于弹性地基上，图b所示杆的基础则置于刚性地基上。试问两压杆的临界力是否均为？为什么？并由此判断压杆的长度因数 m 是否可能大于2。,9-4 欧拉公式的应用范围临界应力总图,.欧拉公式应用范围,在推导细长中心压杆临界力的欧拉公式时，应用了材料在线弹性范围内工作时的挠曲线近似微分方程，可见欧拉公式只可应用于压杆横截面上的应力不超过材料的比例极限sp的情况。,按照抽象的概念，细长中心压杆在临界力Fcr作用时可在直线状态下维持不稳定的平衡，故其时横截面上的应力可按scrFcr/A来计算，亦即
15、,式中，scr称为临界应力；为压杆横截面对于失稳时绕以转动的形心主惯性轴的惯性半径；ml/i为压杆的相当长度与其横截面惯性半径之比，称为压杆的长细比(slenderness)或柔度，记作l，即,根据欧拉公式只可应用于scrsp的条件，由式(a)知该应用条件就是,可见 就是可以应用欧拉公式的压杆最小柔度。对于Q235钢，按照 E206 GPa，sp 200 MPa，有,通常把llp的压杆，亦即能够应用欧拉公式求临界力Fcr的压杆，称为大柔度压杆或细长压杆，而把llp的压杆，亦即不能应用欧拉公式的压杆，称为小柔度压杆。,图中用实线示出了欧拉公式应用范围内(llp)的scr-l曲线，它是一条双曲线，
16、称为欧拉临界力曲线，简称欧拉曲线。需要指出的是，由于实际压杆都有初弯曲，偶然偏心和材质不匀，所以从实验数据来分析，可以应用欧拉公式求临界力的最小柔度比这里算得的lp要大一些。,9-5 实际压杆的稳定因数,为保证实际压杆具有足够的稳定性，在稳定计算中需纳入稳定安全因数nst，取稳定条件(stability condition)为,式中，sst=scr/nst为压杆的稳定许用应力。,亦即,由于scr与压杆的柔度l有关，而且考虑到不同柔度的压杆其失稳的危险性也有所不同，故所选用的稳定安全因数nst也随l 变化，因此sst是一个与压杆柔度的关系比较复杂的量。,为了应用方便，将稳定许用应力sst写为材料
17、的强度许用应力s乘以一个随压杆柔度l变化的稳定因数j=j(l)，即,我国钢结构设计规范根据对常用截面形式、尺寸和加工工艺的96根钢压杆，并考虑初曲率和加工产生的残余应力所作数值计算结果，在选取适当的安全因数后，给出了钢压杆稳定因数j与柔度l的一系列关系值。该规范按钢压杆中残余应力对临界应力的影响从小到大分为a，b，c三类截面。大多数钢压杆可取作b类截面压杆。表9-3为Q235钢b类截面中心压杆随柔度l变化的稳定因数j。,表9-3 Q235钢b类截面中心受压直杆的稳定因数j,思考：1.已知Q235钢的s=170 MPa，E=206 GPa。表9-3中列出有l 120的b类截面中心压杆的相应值j
18、0.437。试推算其所采用的稳定安全因数nst的值。,2.已知Q235钢的ss240 MPa，试推算取用s=170 MPa时的强度安全因数n 的值。,解：1.确定组合截面形心和形心主惯性轴,图c所示组合截面的形心离角钢短肢的距离显然就是 y035.7 mm，并落在对称轴y轴上。根据y轴为对称轴可知，图c中所示通过组合截面形心的y轴和z轴就是该组合截面的形心主惯性轴。,2.计算组合截面的形心主惯性矩,可见，在组合截面对于所有形心轴的惯性矩中，Imax=Iz，Imin=Iy,按通常的说法就是z 轴为强轴，而y轴为弱轴。,3.计算压杆的柔度,此压杆两端为球形铰支座，在各个纵向平面内对杆端的约束相同，
19、故失稳时横截面将绕弱轴 y 轴转动。压杆的柔度应据此计算。,4.计算压杆的稳定许用应力,按b类截面中心压杆，由表93查得l97时j0.575，从而得,9-6 压杆的稳定计算压杆的合理截面,根据上节中所述，中心压杆的稳定条件可以表达为,需要注意的是，式中A所表示的横截面面积，即使当压杆被钉孔等局部削弱时也还采用不考虑削弱的毛面积，因为压杆的稳定性取决于整体的抗弯能力，受局部削弱的影响很小。这与强度计算中必须以横截面被钉孔等削弱后的净面积为依据是有所不同的。,在稳定计算中如需按稳定条件选择压杆的横截面尺寸，那么由于查表确定稳定因数j 时需要依据与截面尺寸相关的柔度l，所以要用试算法。,压杆的临界应
20、力随柔度 的减小而增大，因而当杆端约束在各纵向平面内相同时，压杆的合理截面应是：.对两个形心主惯性轴的惯性半径相等的截面，亦即两个形心主惯性矩相等(Imax=Imin)的截面；.在横截面面积相同的条件下，对形心主惯性轴的惯性半径尽可能大的截面，亦即形心主惯性矩尽可能大的截面。,对于杆端约束在压杆各纵向平面内不同的情况，其横截面以使压杆在各纵向平面内的柔度l相同或接近相同为合理。,图示截面中，对于杆端约束在各纵向平面内相同的压杆来说，正方形截面较矩形截面合理；圆截面合理，且空心圆截面较实心圆截面更合理。图e所示组合截面其两个槽钢的形心间距离h以能使Iy等于或稍大于Iz者为合理。,例题9-4 图示
21、为简易起重装置，其扒杆(图中的斜杆)为平均直径d=300 mm的红松，长度 l6 m，顺纹抗压强度许用应力s 10 MPa。试求该扒杆所能承受的许可压力值。,解：1.我国规范的有关规定,我国木结构设计规范中对木制压杆，按树种的弯曲强度分两类给出稳定因数j 的计算公式。红松属于树种强度TC13级(“13”表示弯曲强度为13 MPa)，该等级所属分类的稳定因数计算公式为,时,时,2.扒杆的柔度,该扒杆在轴向压力作用下如果在图示平面内失稳，则由于其上端受水平钢丝绳的约束而基本上不能产生侧向位移而只能转动，其下端由于销钉的约束也只能转动，故扒杆大致相当于两端铰支压杆，长度因数可取为m1。扒杆在垂直于图
22、示平面的方向，其上端通常没有任何约束，而下端由于受销钉约束基本上不能转动而可视为固定端，故长度因数可取为m2。,比较扒杆在两个相互垂直平面内的长度因数m，并注意到这是圆截面杆可知，决定该扒杆许可压力的是垂直于图示平面内的稳定性。从而有,3.稳定因数及许可压力,因l 91，故按下式计算稳定因数：,从而有许可压力：,例题9-5 厂房的钢柱由两根槽钢组成，并由缀板和缀条联结成整体，承受轴向压力F=270 kN。根据杆端约束情况，该钢柱的长度因数取为m1.3。钢柱长7 m，材料为Q235钢，强度许用应力s=170 MPa。该柱属于b类截面中心压杆。由于杆端连接的需要，其同一横截面上有4个直径为d0=3
23、0 mm的钉孔。试为该钢柱选择槽钢号码。,解：1.按稳定条件选择槽钢号码,为保证此槽钢组合截面压杆在xz平面内和xy平面内具有同样的稳定性，应根据ly=lz确定两槽钢的合理间距h。现先按压杆在xy平面内的稳定条件通过试算选择槽钢号码。,假设j0.50，得到压杆的稳定许用应力为,因而按稳定条件算得每根槽钢所需横截面面积为,由型钢表查得，14a号槽钢的横截面面积为 A=18.51 cm218.5110-4 m2，而它对z轴的惯性半径为iz=5.52 cm=55.2 mm。,下面来检查采用两根14a号槽钢的组合截面柱其稳定因数j 是否不小于假设的j 0.5。,注意到此组合截面对于z 轴的惯性矩 Iz
24、 和面积 A 都是单根槽钢的两倍，故组合截面的iz 值就等于单根槽钢的iz 值。于是有该组合截面压杆的柔度：,由表9-3查得，Q235钢b类截面中心压杆相应的稳定因数为j0.262。显然，前面假设的j0.5这个值过大，需重新假设j 值再来试算；重新假设的j 值大致上取以前面假设的j0.5和所得的j0.262的平均值为基础稍偏于所得j 的值。,重新假设j0.35，于是有,试选16号槽钢，其 A=25.1510-4 m2，iz=61 mm，从而有组合截面压杆的柔度：,第九章 压杆稳定,由表9-3得j=0.311，它略小于假设的j0.35。现按采用2根16号槽钢的组合截面柱而j0.311进行稳定性校
25、核。此时稳定许用应力为,按横截面毛面积算得的工作应力为,虽然工作应力超过了稳定许用应力，但仅超过1.5，这是允许的。,第九章 压杆稳定,2.计算钢柱两槽钢的合理间距,由于认为此钢柱的杆端约束在各纵向平面内相同，故要求组合截面的柔度ly=lz。根据 可知，也就是要求组合截面的惯性矩Iy=Iz。,如果z0，Iy0，Iz0，A0分别代表单根槽钢的形心位置和自身的形心主惯性矩以及横截面面积则IyIz的条件可表达为,亦即,第九章 压杆稳定,消去公因子2A0后有,在选用16号槽钢的情况下，上式为,由此求得 h81.4 mm。实际采用的间距h不应小于此值。,第九章 压杆稳定,3.按钢柱的净横截面积校核强度,
26、钢柱的净横截面积为,按净面积算得的用于强度计算的工作应力为,它小于强度许用应力s=170 MPa，满足强度条件。,例题9-6 机械中的工字形截面连杆，两端为柱形铰，从而该连杆如在xy平面内失稳，可取长度因数mz=1.0；如在xz平面内失稳，则可取my=0.6。已知：连杆由Q235钢锻造成型，它属于a类截面中心压杆。该连杆承受的最大轴向压力为F=35 kN，材料的强度许用应力s=206 MPa。试校核其稳定性。,第九章 压杆稳定,解：1.工字形截面面积A和形心主惯性矩Iz，Iy,第九章 压杆稳定,2.横截面对z轴和对y轴的惯性半径iz，iy,3.连杆的柔度,连杆两端在局部为矩形截面，它的形心主惯性矩为,分别比工字形截面的 Iz 和 Iy 大了15.5和126，Iy远大于Iy。,第九章 压杆稳定,这就表明两端的矩形截面部分对中间工字形截面部分在xz平面内的弯曲位移起到明显的约束作用，故在按工字形截面的Iy检算在xz平面内的稳定性时取l2=580 mm作为连杆的长度。于是有,4.连杆的稳定性校核,按较大的柔度值ly68.9由Q235钢a类截面压杆的jl表(见教材308页表9-2)，以内插法求得,第九章 压杆稳定,从而得稳定许用应力：,而连杆横截面上的工作应力为,因s s st，故满足稳定性要求。,第册完,第九章 压杆稳定,
