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1、数学实验报告院:*专业班级:*号:*名:*实验名称:斐波那契数列实验日期:*斐波那契数列1. 目的：1. 认识Fibonacci数列，体验发现其通项公式的过程；2. 了解matlab软件中进行数据显示与数据拟合的方式；3. 掌握matlab软件中plot, polyfit等函数的基本用法；4. 提高对数据进行分析与处理的能力。2. 任务1.讨论数列气1 = an +1 *，a广1的变化规律。(1) 在平面坐标系中画出数列变化的折线图；(2) 观察图形，你认为数列的极限是什么；(3) 观察图形，寻找恰当的函数去拟合这个数列；寸12.讨论调和级数的 n变化规律。(1) 画出部分和数列*变化的折线图
2、，观察变化规律；(2) 引入数列:七=S2n Sn ，作图观察其变化，猜测是否有 极限；(3) 引入数列：G = S2n，作图观察其变化，寻找恰当的函数拟 合；(4) 调和级数的部分和数列的变化规律是什么？3. 实验过程1)讨论数列a = a +1 a , a = 1的变化规律。(1) 在平面坐标系中画出数列变化的折线图；程序：function plotan(n) %定义函数显示an数列前n项an=1;%将数列的前1项放到数组an中for i=2:n%an的第2项到第n项an=an,an(i-1)+1./an(i-1); %将第 i 项添加到数组 an 中end%循环结束plot(an)%将装
3、有数列前n项的数组显示出来当n= 10时，图像如下:当n=100时，图像如下:当n=1000时，图像如下:(2) 观察图形，你认为数列的极限是什么；答：从图形中，我可看出，该数列an随着n的增大不断增 大，虽然增长速度先减少，但最终趋近于一个定值，因而 该数列极限不存在。(3) 观察图形，寻找恰当的函数去拟合这个数列；a AnB1. 假设这个数列满足幕函数，即n，则 log(an) = B log(n) + log A2. 验证假设程序如下：function plotmian (n) %显示取对数后的前n项an=1;x=1:n%将数列的前1项放到数组an中for i=2:n%an的第2项到第n
4、项an=an,an(i-1)+1./an(i-1); %将第 i 项添加到数组 an 中end%循环结束an=log(an)%将原来的数据取对数plot(log(x),an)%将装有数列前n项的数组显示出来xlabel(log(n);ylabel(log(an);当n=1000时，图像如下:有图像分析可知该函数图象满足直线关系，故可猜测an满足幕函数关系。3. 获得数据的近似关系式程序如下：function fitlogan(n) %根据取对数后的数据，拟合出线性表达式an=1;%将数列的前两项放到数组an中xn=1:n;%定义横坐标for i=2:n%an的第2项到第n项an=an,an(i
5、-1)+1./an(i-1); %将第 i 项添加到数组 an 中end%循环结束an=log(an); %将原来的数据取对数xn=log(xn) ;%将原来的数据取对数p=polyfit(xn,an,1)%拟合装有数列前n项的数组运行结果： fitlogan(lOO)P =0.51060.3146 fitlogan(lOOO)P 二0.49930.3530这个函数的调用方式是：fitlogan(100)，运行后返回结果是:0.5106, 0.3146。这两个数据就是一阶多项式的系数，即：log(a ) * 0.5106log( n) + 0.3146n为了提高精度，可以加大n的值。取n=10
6、00时得到：log(a ) * 0.4993log( n) + 0.3530n从上面的表达式，可以得到数列通项公式的近似：a * 1.4242 X n0.49934. 观察拟合数据与原始数据的吻合程度function plotan2(n) %显示拟合数据与原始数据的前n项an1=;%装拟合数据的数组for i=1:n %fn1的第1项到第n项an1=an1,1.4242*i.”0.4993; %将第 i 项添加到数组 an1 中 endan2=1;%装原始数据的数组，前两项放到数fn2中for i=2:n %fn2的第3项到第n项an2=an2,an2(i-1)+1./an2(i-1);%将第
7、 i 项添加到数组 an2 中 endx=1:n;plot(x,an1,x,an2,r*) %显示，an1 兰线，an2一红星运行结果:综上所述：可得a通项公式为:a a 1.4242 X n 0.49938 12)讨论调和级数的Z _变化规律。nn=1(1)画出部分和数列*变化的折线图，观察变化规律；程序：function plotsn(n) %定义函数显示sn数列前n项sn=1;%将数列的前1项放到数组sn中for i=2:n%sn的第2项到第n项sn=sn,sn(i-1)+1./i; %将第i项添加到数组sn中end%循环结束plot(sn)%将装有数列前n项的数组显示出来运行结果:当n
8、=10时，图像如下:当n=100时，图像如下:当n=1000时，图像如下:(2)引入数列：Hn = S2 - 5，作图观察其变化，猜测是否有极限;程序：function plothn(n) %定义函数显示sn数列前n项 sn=1;%将数列的前1项放到数组sn中for i=2:2*n %sn的第2项到第2n项 sn=sn,sn(i-1)+1./i; %将第i项添加到数组sn中endhn=0.5;for i=2:nfn=sn(2*i)-sn(i);hn=hn,fn;end%循环结束plot(hn)%将装有数列前n项的数组显示出来运行结果：当n= 10时，图像如下:当n=100时，图像如下:当n=1
9、000时，图像如下:分析：由图像可看出，H随着的增大逐渐趋于0.7左右的常数，故可推测H 存在极限(3)引入数列:GSn，作图观察其变化，寻找恰当的函数拟合；程序：function plotgn(n) %定义函数显示sn数列前n项sn=1;%将数列的前1项放到数组sn中for i=2:2n %sn的第2项到第2”n项sn=sn,sn(i-1)+1/i; %将第i项添加到数组sn中endgn=1.5;for i=2:nfn=sn(2”i);gn=gn,fn;end%循环结束plot(gn);%将装有数列前n项的数组显示出来运行结果：当n=5时，图像如下:当n= 10时，图像如下:分析：有图像可看
10、出Gn函数满足直线，故推测其为直线关系，故用一次函数拟合。程序：拟合gn，代码如下：function plotgn(n) %定义函数显示sn数列前n项sn=1;%将数列的前1项放到数组sn中for i=2:2n %sn的第2项到第2”n项sn=sn,sn(i-1)+1/i; %将第i项添加到数组sn中endgn=1.5;for i=2:nfn=sn(2”i);gn=gn,fn;end%循环结束plot(gn);%将装有数列前n项的数组显示出来xn=1:n;polyfit(xn,gn,1)当n=10时，如下：ans 二0.67330.7338观察拟合程度，代码如下：function plotni
11、h2(n)fn1=;for i=1:nfn1=fn1,0.6733*i+0.7338;endsn=1;%将数列的前1项放到数组sn中for i=2:2n %sn的第2项到第2”n项sn=sn,sn(i-1)+1/i; %将第i项添加到数组sn中endgn=1.5;for i=2:nfn=sn(2”i);gn=gn,fn;endx=1:n;plot(x,fn1,x,gn,r*)当n=10时，图像如下:故得拟合函数为:Gn = 0.6733n + 0.7338(4)调和级数的部分和数列的变化规律是什么？总结分析：1、调和级数的部分和数列Sn为递增序列，并且Sn的增长速率逐渐放缓，但不收敛；证明如下：证：根据不等式xln (1+x), (x0),得Sn=1+1/2+1/3+1/nln(1+1)+ln(1+1/2)+. .+ln(1+1/n)=ln2+ln(3/2)+ln(4/3)+ln(n+1)/n=ln(2*(3/2)*(4/3)*(n+1)/n)=ln(n+1)而ln (n+1 )在n趋向正无穷时也趋于正无穷，故不收敛。2、七=S2 - S存在极限值接近0.7；3、气=S2n也是增序列，而且增的趋势比Sn快得多，也不收敛。
