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1、第 八 章 动 能 定 理,功是代数量,8-1 力的功,一、常力在直线运动中的功,单位 J（焦耳）1 J=1 Nm,功是力在一段路程中作用效果的积累,元功,二、变力在曲线运动中的功,记,三、合力的功,力 在 路程上的功为,1、重力的功,质点系,由,重力的功只与始、末位置有关，与路径无关。,得,四、几种常见力的功,质点,2、弹性力的功,弹簧刚度系数k(N/m),弹性力,弹性力的功为,因,式中,得,即,弹性力的功也与路径无关,3.定轴转动刚物体上作用力的功,则,若 常量,由,从角 转动到角 过程中力 的功为,阻力矩作做负功,作用在 点的力 的元功为,力系全部力的元功之和为,4.平面运动刚体上力系的
2、功,其中,由 两端乘dt,有,其中:为力系主失,为力系对质心的主矩.,当质心由,转角由 时,力系的功为,即:平面运动刚体上力系的功,等于刚体上所受各力作功的代数和,也等于力系向质心简化所得的力和力偶作功之和.,说明:1、对任何运动的刚体,上述结论都适用;,2、C点不是质心,而是刚体上任意一点时,上述结论也成立;,3、计算力系的主矢、主矩时，可以不包含不作功的力。,6.常见的功为零的情况,（3）不可伸长的柔索所有内力作功之和,（1）作用在纯滚动刚体的滑动摩擦力的功,（2）刚体所有内力作功之和,（4）理想约束反力作功（铰链约束）,5.摩擦力的功,摩擦力为常量,滚动摩擦力偶 M 的功,理想约束,光滑
3、固定面、固定铰支座、光滑铰链、不可伸长的柔索等约束的约束力作功等于零.,称约束力作功等于零的约束为理想约束.,对理想约束,在动能定理中只计入主动力的功即可.,内力作功之和不一定等于零.,8-2 质点和质点系的动能,2、质点系的动能,1、质点的动能,单位：J（焦耳）,动能是机械运动强弱的度量,（1）平移刚体的动能,（2）定轴转动刚体的动能,即,即,即:平面运动刚体的动能等于随质心平移的动能与绕质心转动的动能之和.,得,速度瞬心为P,（3）平面运动刚体的动能,上面结论也适用于刚体的任意运动.,将 两端点乘,由于,8-3 动能定理,1、质点的动能定理,因此,得,质点动能定理的微分形式，即质点动能的增
4、量等于作用在质点上力的元功。,质点动能定理的积分形式:在质点运动的某个过程中,质点动能的改变量等于作用于质点的力作的功.,积分之,有,2、质点系的动能定理,质点系动能定理的微分形式:质点系动能的增量，等于作用于质点系全部力所作的元功的和.,由,求和,得,质点系动能定理的积分形式:质点系在某一段运动过程中,起点和终点的动能改变量,等于作用于质点系的全部力在这段过程中所作功的和.,积分之,有,已知:m,h,k,其它质量不计.,求:,例1,解:,已知：轮O：R1，m1,质量分布在轮缘上;均质轮C：R2，m2，纯滚动,初始静止;,M 为常力偶。,求:轮心C 走过路程S时的速度和加速度,例2,轮C与轮O
5、共同作为一个质点系,解:,式(a)是函数关系式，两端对t求导,得,8-4 功率、功率方程、机械效率,1、功率：单位时间力所作的功.,即:功率等于切向力与力作用点速度的乘积.,由,得,作用在转动刚体上的力的功率为,单位W（瓦特）,1W=1J/S,3、机械效率,机械效率,多级传动系统,解：取系统为研究对象,主动力的功：,由动能定理得：,将上式对时间求导，并注意,解得：,解：取圆盘为研究对象,主动力的功：,由动能定理得：,解得：,v,例：塔轮绕,轴转动，质量为,，对,的转动惯量为,大小半径为,和,不可伸长的绳索挂质量为,的两物块,若在塔轮上外加力矩,试求,加速度,解:取整体为研究对象，,由动能定理得
6、：,两边求导，并注意,8-5 势力场.势能.机械能守恒定律,1.势力场,势力场(保守力场):力的功只与力作用点的始、末位置有关,与路径无关.,力场:一物体在空间任一位置都受到一个大小和方向完全由所在位置确定的力的作用.,势力场中,物体所受的力为有势力.,2.势能,在势力场中,质点从点M运动到任意位置M0,有势力所作的功为质点在点M相对于M0的势能.,（1）重力场中的势能,（2）弹性力场的势能,称势能零点,（3）万有引力场中的势能,取零势能点在无穷远,质点系,重力场,（4）质点系受到多个有势力作用,质点系的零势能位置:各质点都处于其零势能点的一组位置.,质点系的势能:质点系从某位置到其零势能位置的运动过程中,各有势力做功的代数和为此质点系在该位置的势能.,已知:均质杆l,m,弹簧刚度系数 k,AB水平时平衡，弹 簧变形为.,举例:,求:杆有微小摆角时系统势能.,重力以杆的水平位置为零势能位置,弹簧以自然位置O为零势能位置:,取杆平衡位置为零势能点:,即,质点系在势力场中运动,有势力功为,对于不同的零势能位置,系统的势能是不同的.,3.机械能守恒定律,由,质点系仅在有势力作用下运动时,机械能守恒.此类系统称保守系统.,得,机械能:质点系在某瞬时动能和势能的代数和.,质点系仅在有势力作用下,有,非保守系统的机械能是不守恒的.,
