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1、1,第二章 自动控制系统的数学模型,2-1 控制系统微分方程的建立,2-2 非线性微分方程的线性化,2-3 传递函数,2-4 动态结构图,2-5 系统的脉冲响应函数,2-6 典型反馈系统传递函数,返回主目录,主要内容,2,基本要求1.了解建立系统动态微分方程的一般方法。2.熟悉拉氏变换的基本法则及典型函数的拉 氏变换形式。3.掌握用拉氏变换求解微分方程的方法。4.掌握传递函数的概念及性质。5.掌握典型环节的传递函数形式。,返回子目录,3,6.掌握由系统微分方程组建立动态结构图的方法。7.掌握用动态结构图等效变换求传递函数和用梅森公式求传递函数的方法。8.掌握系统的开环传递函数、闭环传递函数，对
2、参考输入和对干扰的系统闭环传递函数及误差传递函数的概念。,4,分析和设计任何一个控制系统，首要任务是建立系统的数学模型。系统的数学模型是描述系统输入、输出变量以及内部各变量之间关系的数学表达式。建立数学模型的方法分为解析法和实验法,5,解析法：依据系统及元件各变量之间所遵循的物理、化学定律列写出变量间的数学表达式，并经实验验证。,实验法：对系统或元件输入一定形式的信号（阶跃信号、单位脉冲信号、正弦信号等），根据系统或元件的输出响应，经过数据处理而辨识出系统的数学模型。,6,总结：解析方法适用于简单、典型、常见的系统，而实验方法适用于复杂、非常见的系统。实际上常常是把这两种方法结合起来建立数学模
3、型更为有效。,7,2-1 控制系统微分方程的建立,基本步骤：1.分析各元件的工作原理，明确输入、输出量2.建立输入、输出量的动态联系3.消去中间变量4.标准化微分方程,返回子目录,8,列写微分方程的一般方法,例2-1 列写如图所示RC网络的微分方程。,R,9,解：由基尔霍夫定律得:,式中:i为流经电阻R和电容C的电流,消去中间变 量i,可得:,令（时间常数），则微分方程为：,10,例2-2 设有一弹簧-质量-阻尼动力系统如图所示，当外力F(t)作用于系统时，系统将产生运动，试写出外力F(t)与质量块的位移y(t)之间的动态方程。其中弹簧刚度为K，阻尼器的阻尼系数为f，质量块的质量为m。,11,
4、解：分析质量块m受力，有外力F弹簧恢复力 Ky（t）阻尼力惯性力由于m受力平衡，所以,式中：Fi是作用于质量块上的主动力，约束力以及惯性力。将各力代入上等式，则得,12,式中：y质量块m的位移（m）；f阻尼系数（Ns/m)；K 弹簧刚度（N/m)。,将式(2-4)的微分方程标准化,13,T 称为时间常数，为阻尼比。显然，上式描述了mKf 系统的动态关系，它是一个二阶线性定常微分方程。,令，即,，则式 可写成,14,22 非线性微分方程的线性化,在实际工程中，构成系统的元件都具有不同程度的非线性，如下图所示。,返回子目录,15,于是，建立的动态方程就是非线性微分方程，对其求解有诸多困难，因此，对
5、非线性问题做线性化处理确有必要。对弱非线性关系的线性化如上图（a），当输入信号很小时，忽略非线性影响，近似为放大特性。对图（b）和图（c），当死区或间隙很小时（相对于输入信号）同样忽略其影响，也近似为放大特性，如图中虚线所示。平衡位置附近的小偏差线性化输入和输出关系具有如下图所示的非线性特性。,16,在平衡点A（x0，y0）处，当系统受到干扰，y只在A附近变化，则可对A处的输出、输入关系函数按泰勒级数展开，由数学关系可知，当 很小时，可用A处的切线方程代替曲线方程（非线性），即小偏差线性化。,17,经过上述线性化后，就把非线性关系变成了线性关系，从而使问题大大简化。但对于如图（d）所示的强非线
6、性，只能采用第七章的非线性理论来分析。对于线性系统，可采用叠加原理来分析系统。,可得，简记为。若非线性函数有两个自变量，如，则在平衡点处可展成（忽略高次项）,18,叠加原理,叠加原理含有两重意义，即可叠加性和均匀性（或齐次性）。,例2-3：设线性微分方程式为,若 时，方程有解，而 时，方程有解，分别代入上式且将两式相加，则显然，当 时，必存在解为，这就是可叠加性。,19,上述结果表明，两个外作用同时加于系统产生的响应等于各个外作用单独作用于系统产生的响应之和，而且外作用增加若干倍，系统响应也增加若干倍，这就是叠加原理。,若 时，为实数，则方程解为，这就是齐次性。,20,23 传递函数,传递函数
7、的定义：线性定常系统在零初始条件下，输出的拉氏变换与输入的拉氏变换之比。,返回子目录,21,这里，“初始条件为零”有两方面含义：,一指输入作用是t0后才加于系统的，因此输入量及其各阶导数，在t=时的值为零。,二指输入信号作用于系统之前系统是静止的，即t=时，系统的输出量及各阶导数为零。,许多情况下传递函数是能完全反映系统的动态性能的。,22,一、传递函数的概念,23,一、传递函数的概念,例2-4 求RC 网络的传递函数,24,设任一系统或元件的微分方程如下：,在零初始条件下对上式进行拉氏变换,则有,25,二、关于传递函数的几点说明,传递函数仅适用于线性定常系统，否则无法用拉氏变换导出；传递函数
8、完全取决于系统内部的结构、参数，而与输入、输出无关；传递函数只表明一个特定的输入、输出关系，对于多输入、多输出系统来说没有统一的传递函数（可定义传递函数矩阵，见第九章）；,传递函数是关于复变量s的有理真分式，它的分子，分母的阶次满足：。,26,传递函数的拉氏反变换为该系统的脉冲响应函数。,当 时，所以,一定的传递函数有一定的零、极点分布图与之对应。这将在第四章根轨迹中详述。,传递函数是在零初始条件下建立的，因此，它只是系统的零状态模型，有一定的局限性，但它有现实意义，而且容易实现。,因为,27,三、典型元器件的传递函数,1.电位器,28,2.电位器电桥,29,3.齿轮,30,4.电枢控制的直流
9、电动机,J：电机转动惯量f：粘性系数,(1),31,4.电枢控制的直流电动机,驱动力矩,(2),(3),(4),设,32,四、典型环节,一个传递函数可以分解为若干个基本因子的乘积，每个基本因子就称为典型环节。常见的形式有：,比例环节，传递函数为,33,积分环节，传递函数为,微分环节，传递函数为,惯性环节，传递函数为,一阶微分环节，传递函数为,式中：，T为时间常数。,34,二阶振荡环节，传递函数为,式中：T 为时间常数，为阻尼系数。,二阶微分环节，传递函数为,式中：为时间常数，为阻尼系数。,此外，还经常遇到一种延迟环节，设延迟时间为，该环节的传递函数为,35,24 动态结构图,动态结构图是一种数
10、学模型，采用它将更便于求传递函数，同时能形象直观地表明输入信号在系统或元件中的传递过程。,返回子目录,36,一、动态结构图的概念,系统的动态结构图由若干基本符号构成。构成动态结构图的基本符号有四种，即信号线、传递方框、综合点和引出点。,信号线,表示信号输入、输出的通道。箭头代表信号传递的方向。,37,2.方框,方框的两侧为输入信号线和输出信号线，方框内写入该输入、输出之间的传递函数G(s)。,38,3.综合点,综合点亦称加减点，表示几个信号相加、减，叉圈符号的输出量即为诸信号的代数和，负信号需在信号线的箭头附近标以负号。,39,4.引出点,表示同一信号传输到几个地方。,40,二、动态结构图的基
11、本连接形式,1.串联连接,方框与方框通过信号线相连，前一个方框的输出作为后一个方框的输入，这种形式的连接称为串联连接。,41,2.并联连接,两个或两个以上的方框，具有同一个输入信号，并以各方框输出信号的代数和作为输出信号，这种形式的连接称为并联连接。,42,3.反馈连接,一个方框的输出信号输入到另一个方框后，得到的输出再返回到这个方框的输入端，构成输入信号的一部分。这种连接形式称为反馈连接。,43,三、系统动态结构图的建立,建立系统动态结构图的步骤：,建立控制系统各元部件的微分方程，列写微分方程时，注意相邻元件间的负载效应影响。对各微分方程在零初始条件下进行拉氏变换，并作出各元件的方框图。按照
12、系统中各变量的传递顺序，依次将各元件的方框图连接起来，通常输入变量在左端，输出变量在右端，便得到系统的动态结构图。,44,以机电随动系统为例，如下图所示。,三、系统动态结构图的建立,45,各信号之间关系可用下列方程表示：,46,系统各元部件的动态结构图,47,系统各元部件的动态结构图,48,系统各元部件的动态结构图,49,系统各元部件的动态结构图,50,系统各元部件的动态结构图,51,系统各元部件的动态结构图,52,系统各元部件的动态结构图,53,系统各元部件的动态结构图,54,四、结构图的等效变换,思路：在保证信号传递关系不变的条件下，设法将原结构逐步地进行归并和简化，最终变换为输入量对输出
13、量的一个方框。,55,1.串联结构的等效变换（）,串联结构图,56,等效变换证明推导,1.串联结构的等效变换（）,57,等效变换证明推导,1.串联结构的等效变换（）,58,串联结构的等效变换图,两个串联的方框可以合并为一个方框，合并后方框的传递函数等于两个方框传递函数的乘积。,1.串联结构的等效变换（）,59,2.并联结构的等效变换,并联结构图,60,2.并联结构的等效变换,等效变换证明推导,61,等效变换证明推导(1),62,2.并联结构的等效变换图,两个并联的方框可以合并为一个方框，合并后方框的传递函数等于两个方框传递函数的代数和。,63,3.反馈结构的等效变换,反馈结构图,C(s)=?,
14、64,3.反馈结构的等效变换,等效变换证明推导,65,3.反馈结构的等效变换,反馈结构的等效变换图,66,4.综合点的移动（后移）,综合点后移,Q(s),？,67,综合点后移证明推导（移动前）,68,综合点后移证明推导（移动后）,69,移动前,移动后,综合点后移证明推导（移动前后）,70,综合点后移证明推导（移动后）,71,综合点后移等效关系图,72,综合点前移,73,综合点前移证明推导（移动前）,74,综合点前移证明推导（移动后）,75,移动前,移动后,综合点前移证明推导（移动前后）,76,4.综合点的移动（前移）,综合点前移证明推导（移动后）,77,4.综合点的移动（前移）,综合点前移等效
15、关系图,78,综合点之间的移动,79,4.综合点之间的移动,结论：,结论：多个相邻的综合点可以随意交换位置。,80,5.引出点的移动,引出点后移,？,R(s),问题：要保持原来的信号传递关系不变，？等于什么？,81,引出点后移等效变换图,82,引出点前移,问题：要保持原来的信号传递关系不变，“？”等于什么？,83,引出点前移等效变换图,84,引出点之间的移动,85,引出点之间的移动,相邻引出点交换位置，不改变信号的性质。,86,举例说明,例2-5：利用结构图变换法，求位置随动系统的传递函数Qc(s)/Qr(s)。,87,例题分析,由动态结构图可以看出该系统有两个输入r，ML（干扰）。我们知道：
16、传递函数只表示一个特定的输出、输入关系，因此，在求c对r的关系时，根据线性叠加原理，可取力矩 ML0，即认为ML不存在。,要点：结构变换的规律是：由内向外逐步进行。,88,例题化简步骤（1),合并串联环节：,89,例题化简步骤（2),内反馈环节等效变换：,90,例题化简步骤（3),合并串联环节：,91,例题化简步骤（4),反馈环节等效变换：,92,例题化简步骤（5),求传递函数,93,举例说明,例2-6：系统动态结构图如下图所示，试求系统传递函数C(s)/R(s)。,94,例2-6（例题分析）,本题特点：具有引出点、综合交叉点的多回路结构。,95,例2-6（解题思路）,解题思路：消除交叉连接，
17、由内向外逐步化简。,96,例2-6（解题方法一之步骤1）,将综合点2后移，然后与综合点3交换。,97,例2-6（解题方法一之步骤2）,98,例2-6（解题方法一之步骤3）,99,例2-6（解题方法一之步骤4）,内反馈环节等效变换,100,例2-6（解题方法一之步骤5）,内反馈环节等效变换结果,101,例2-6（解题方法一之步骤6）,串联环节等效变换,102,例2-6（解题方法一之步骤7）,串联环节等效变换结果,103,例2-6（解题方法一之步骤8）,内反馈环节等效变换,104,例2-6（解题方法一之步骤9）,反馈环节等效变换,105,例2-6（解题方法一之步骤10）,等效变换化简结果,106,
18、例2-6（解题方法二）,将综合点前移，然后与综合点交换。,107,例2-6（解题方法三）,引出点A后移,108,例2-6（解题方法四）,引出点B前移,109,结构图化简步骤小结,确定输入量与输出量。如果作用在系统上的输入量有多个，则必须分别对每个输入量逐个进行结构图化简，求得各自的传递函数。若结构图中有交叉联系，应运用移动规则，首先将交叉消除，化为无交叉的多回路结构。对多回路结构，可由里向外进行变换，直至变换为一个等效的方框，即得到所求的传递函数。,110,结构图化简注意事项：,有效输入信号所对应的综合点尽量不要移动。,尽量避免综合点和引出点之间的移动。,111,五、用梅森（S.J.Mason
19、）公式求传递函数,梅森公式的一般式为,112,梅森公式参数解释：,113,注意事项：,回路传递函数：是指回路中的前向通道和反馈通道的传递函数的乘积，并且包含代表反馈极性的正、负号。,回路：在结构图中信号在其中可以闭合流动且经过的任一元件不多于一次的闭合回路，称为独立回路，简称回路。,互不接触回路：在各回路中，没有同一信号流过，这种回路叫作互不接触回路。,114,举例说明（梅森公式）,例2-7：试求如图所示系统的传递函数C(s)/R(s),115,求解步骤之一,找出前向通道数n,116,求解步骤之一,前向通路数：n1,117,求解步骤之二,确定系统中的独立回路数,118,1.寻找独立回路之一,1
20、19,1.寻找独立回路之二,120,1.寻找独立回路之三,121,1.寻找独立回路之四,122,利用梅森公式求传递函数,123,利用梅森公式求传递函数,124,利用梅森公式求传递函数,125,求余子式1,将第一条前向通道从图上除掉后的图，再用特征式 的求法，计算,126,求余式1,将第一条前向通道从图上除掉后的图,图中不再有回路，故1=1,127,利用梅森公式求传递函数,128,例2-8：用梅森公式求传递函数,试求如图所示系统的传递函数。,129,求解步骤之一：确定独立回路,130,求解步骤之一：确定独立回路,131,求解步骤之一：确定独立回路,132,求解步骤之一：确定独立回路,133,求解
21、步骤之一：确定独立回路,134,求解步骤之二：确定前向通道,135,求解步骤之二：确定前向通道,136,求解步骤之三：求总传递函数,137,例2-9：对例2-8做简单的修改,138,独立回路1,139,独立回路2,140,独立回路3,141,独立回路4,142,2.两两互不接触的回路,143,两两互不相关的回路,144,.前向通道1,145,3.前向通道2,146,4.求系统总传递函数,147,脉冲响应函数即脉冲过渡函数，就是系统对单位脉冲函数 输入的响应，用k(t)表示。,25系统的脉冲响应函数,由此可知系统（或元件）的传递函数的拉氏逆变换就等于它的脉冲响应。,设系统的传递函数为，而 所以有
22、,概念和定义,返回子目录,148,对于任意输入信号r(t)，系统输出为c(t)，则,用拉氏变换的卷积定理可得：,由此可知，对于线性系统，只要知道它的脉冲过渡函数k(t)，就可以计算出系统对任意输入信号r(t)的时间响应c(t)。,注：传递函数简称传函（下同）,149,下面用线性系统的叠加原理说明式(2-5-1)的物理含义,150,设任意输入信号r(t)，如上图所示，分成一系列宽度为 的相邻矩形脉冲。则一矩形脉冲可表为,式中：是发生在 时刻的理想脉冲。则式 表示的矩形脉冲引起的系统输出为，由物理系统的因果关系，可知当 时，有。由叠加原理得：,151,当 时，记，上式可写为,当系统输入为单位阶跃信
23、号时，则单位阶跃响应记作h(t)，由式(2-5-1)得,所以知道系统的脉冲响应，就可以唯一确定其单位阶跃响应，反之亦然，即,152,26 典型反馈系统传递函数,返回子目录,153,一、系统开环传递函数,不含极性,闭环系统的开环传递函数为：,它是当主反馈回路断开时反馈信号B(s)与输入信号之间的传递函数。,154,二、系统在r(t)作用下的闭环传递函数,令n(t)0,155,三、系统在n(t)作用下的闭环传递函数,令r(t)0,156,四、系统总输出,线性系统满足叠加原理。,系统总输出的拉氏变换式为,157,五、闭环系统的误差传递函数,按上图规定误差为,e(t)=r(t)-b(t),E(s)=R
24、(s)-B(s),158,1.r(t)作用下的系统误差传递函数,此时令n(t)=0，则结构图如下所示,159,此时令n(t)=0，则结构图如下所示,2.n(t)作用下的系统误差传递函数,160,3.系统总误差,161,六、闭环系统的特征方程式,无论是系统传递函数还是误差传递函数，它们都有一个共同的特点，拥有相同的分母，这就是闭环系统的本质特征，我们将闭环传递函数的分母多项式称为闭环系统的特征方程式。它与输入无关，仅与系统本身的结构和参数有关。,162,本章引入了传递函数这一基本概念，概念的引入过程、所介绍的主要内容以及这些内容间的关系可以用示意图表示如下：,(零初条件),163,传递函数概念与后几章的关系可用下图来表示。,
