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1、第八章 空间解析几何与向量代数,第一节 向量及其线性运算,向量：,既有大小又有方向的量.,向量的表示：,模为1的向量.,零向量：,模为0的向量.,向量的模：,向量的大小.,单位向量：,一、向量的概念,或,或,记为,记为,方向：任意,自由向量：,不考虑起点位置的向量.,两向量相等：,大小相等且方向相同.,负向量：,大小相等但方向相反的向量,与,称为,的负向量，,记为,1.向量的加减法,（平行四边形法则）,（三角形法则）,二、向量的线性运算,1加法,向量加法的运算性质：,（1）,（2）,（3）,2 减法,（交换律）,（结合律）,定义,2、数与向量的乘法(数乘）,定义,数乘的运算性质：,（1）结合律
2、：,（2）分配律：,向量的加法、数乘统称为向量的线性运算。,例1,解,证,充分性 显然,必要性,的存在性,两式相减，得,按照数乘的定义，得,上式表明：一个非零向量除以它的模的结果是一个与原向量同方向的单位向量.,规定：,即,设,表示与非零向量,同方向的单位向量，,对于轴上任意一点,与实数,一一对应,在空间取定一点O和三个两两垂直的单位向量,三、空间直角坐标系,就确定了三条以O为原点的两两垂直的数轴，依次记为,（横轴）,（纵轴）,（竖轴）,它们构成一个空间直角坐标系,统称为坐标轴,称为,或,三个坐标轴的正方向符合右手系.,面,面,面,空间直角坐标系共有八个卦限,有,则,即,沿坐标轴方向的分向量,也就确定了点,及三个分向量,因而，也就确定了,反过来，,给了三个有序数,也就确定了向量,也就确定了点,三个有序实数.,这样，,定义,注意：,一个点与该点的向径有相同的坐标.,记号,空间点的坐标,特殊点的坐标,四、利用坐标作向量的线性运算,定理2,若,则,证明,左右相加，得,说明,由定理1得：,即,解,要使,即,即,注,注意,（1）,（2）,若表示向量，可对它进行运算；,若表示点，就不能进行运算.,作 业,P12,1,3,4,5,8,
