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1、第二节 概率分布,3.2.1 随机变量及其分布,1.随机变量,定义 设x 是从随机试验E的样本空间W 到实数集合R的一个映射，,这个定义在上的单值实值函数 x(w)称为随机变量,简记为 r.v.x,随机变量通常用大写字母X,Y,Z或希腊字母x,z,h 等表示,而表示随机变量所取的值时,一般采用小写字母x,y,z,i,j,k等.,例 抛掷骰子,观察出现的点数.,则x 是一个r.v,且有,所有可能取的值为1,2,3,4,5,6,令x 表示出现的点数,W=wi：i=1,2,3,4,5,6,样本空间：,记wi=出现的点数为 i,即w i,例 在一装有红球、白球的袋中任摸一个球,观察摸出球的颜色.,例
2、体检中测身高,用X表示被检者的身高,则X是一个r.v,所有可能取的值充满一个实数区间,表示身高在150到170之间的概率,2.离散型随机变量的分布,如果随机变量x 所能取的一切可能值是有限个或可列无限多个，则称x 为,离散型随机变量,定义 设x 为离散型r.v,称,为离散型r.v x 的概率分布.,此概率分布常用分布列表示,离散型r.v x 的概率分布,注意：因为x=xk 是样本点，每次试验必有且仅有一个样本点出现，而pk 是对应的概率，,其中pk(k=1,2,)满足：,（1）pk 0,k=1,2,用这两条性质判断一个函数是否是概率分布,所以,例 编号为1,2,3,4,5的礼仪小姐被抽到的概率
3、相同,样本空间样本点总数为,若最小编号为1,则其余2个可在4位中选,同样若最小编号为2或3时,选取数为,解 x 所有可能取的值为1,2,3,随机抽出3人,设x 为抽出的3人中的最小编号,求x 的分布列.,例 一盒零件中9正3废,任取一,若是次品则不放回再取,直到取到正品为止,求所取到废品数x 的分布列.,x=0即为第1次取到正,Px=0=9/12=3/4=165/220,x=1即为第1次取次第2次取到正,Px=1=,解 x 所有可能取的值为0,1,2,3,例(习题3.2第3题(3)常数C应取何值时才能使下面的实数列成为离散型随机变量的概率分布列?,例：设离散型r.v.x 的分布列为:,解,作业
4、,P163 习题3.2 2(求分布列)、4,(1)伯努利变量的两点分布,常见离散型随机变量的概率分布,在伯努里试验中，,令x 表示A发生的次数，,则x 称为伯努利变量,x 可取0,1两个值，,则x 的概率分布为,也称x 服从 0-1分布或两点分布.,Px=k=pkq1-k,k=0,1,分布列为,例1“抛硬币”试验,观察正、反两面情况.,随机变量x 服从(0-1)分布.,其分布列为,令x 表示出现正面的次数,例2 200件产品中,有190件合格品,10件不合格品,现从中随机抽取一件,则随机变量 x 服从(0-1)分布.,令x 表示取得合格品的件数,其分布列为,两点分布是最简单的一种分布,任何一个
5、只有两种可能结果的随机现象,说明,比如产妇产婴是否有男孩、,明天是否下雨、,种籽是否发芽等,都属于两点分布.,(2)二项分布,设在n重伯努里试验中,每次试验事件A发生的概率为p,不发生的概率为q(q=1-p)。,令x 表示 n 重伯努利试验中事件 A 发生的次数，,则x 是一 r.v,所有可能取的值为0,1,2,n,pk qn Cn1pqn-1 Cn2p2qn-2 Cnkpkqn-k pn,0 1 2 k n,称这样的分布为二项分布.记为,例(习题3.1第9题)5道选择题，各有3个备选答案，其中只有1道正确，某生全凭猜想，问恰对2题的概率,全答对的概率,解 每做一道题,结果为“对”“错”两种可
6、能，,令x=“做5道题答对的题数”，则,“5道题全猜对”的概率,例(习题32)射手对目标独立地射击3次,每次命中率都为p,求目标被击中的概率.,解:,例(习题34)设某厂生产的仪器以0.7的概率可以直接出厂，0.3的概率需进一步调试.,需调试的经调试后以0.8的概率可以出厂，0.2的概率定为不合格不能出厂。,现该厂生产了n(n2)台仪器（假定每台仪器生产过程相互独立）,求,(1)全部能出厂的概率a(2)其中恰好有2件不能出厂的概率b(3)其中至少有2件不能出厂的概率q,解:先求每台仪器能出厂的概率,设 x 为能出厂的仪器台数，则x B(n,0.94),考查n台仪器，,例(习题35)某厂产品80
7、%按工艺甲加工,20%按工艺乙加工,2种工艺加工出的产品,正品率依次为0.85和0.9,如果从一大批产品中任取3只,求恰有2件次品的概率.,设B=“任取一只为次品”,A1=“按工艺甲生产”,A2=“按工艺乙生产”,则A1,A2构成完备组，由题设有,设 x 为任取3只中的次品数，则x B(3,0.14),由全概公式,即该厂产品的次品率为0.14,解:先该厂产品的次品率,(3)几何分布,记x 为事件A首次发生时的试验次数,称r.v.x 服从几何分布,设在一系列贝努里试验中,每次试验事件A发生的概率为p,不发生的概率为q(q=1-p)。,则x 所有可能取的值为1,2,3,pk p qp q2p qk
8、-1p,1 2 3 k,(4)泊松分布,则称x 服从参数为l 的泊松分布,值的概率为,而取各个,设随机变量所有可能取的值为0,1,2,记为 P(l),在生物学、医学、工业统计、保险科学及公用事业的排队等问题中,泊松分布是常见的.,其中 l 0 是常数,例如地震、火山爆发、特大洪水、交换台的电话呼唤次数等,都服从泊松分布.,例(习题第9题)在原稿中,13.5%的页数没有错误,设每页中错误的个数服从泊松分布,求恰有一个错误和两个以上错误的页数的百分比.,解,由题意,定理3.4(泊松(Poisson)定理),考察n重伯努利试验,设事件A在一次试验中发生的概率pn=l/n与试验的总次数 n 有关(其中
9、l 0是常数),那么n重次试验中事件A发生k次的概率,则二项分布的计算可用泊松分布近似,即当随机变量 B(n,p)，且 n 很大，p很小时，记=np，,实际使用时,只要n 10,p 0.1 就可以用,注射一种血浆,有副作用的概率为0.001,在2000名接受注射这种血浆的人中,3 人有副作用的概率是多少,多于2人有副作用的概率是又是多少?,设 2000 名接受注射的人中有副作用的人数为 x,解,例1,则,可利用泊松定理计算,课堂练习 某种零件次品率为0.01,各零件是否是次品相互独立,若将零件10个包成一包出售,若发现一包内次品多于一件即可退贷,问被退贷的概率.,解 令x 为一包中发现的次品数
10、,则x B(10,0.01),可利用泊松定理计算,作业,P131 习题3.1 33、35,3.分布函数,定义3.10 x 是一个随机变量，x是任一实数，函数 F(x)=P(x x)称为 x 的分布函数,注意,(2)分布函数主要研究随机变量在某一区间内取值的概率情况.,F(x)是事件的概率，取值在0与1之间,x x 所含基本事件个数不会随 x 增大而减少,分布函数具有如下的性质：,分布函数 F(x)=P(xx),P(x1 xx2),=F(x2)-F(x1),重要公式,(2)P x x=1-P x x,分布函数 F(x)=P(xx),(1)对于任意实数x1,x2(x1 x2),有,=P(xx2)-
11、P(xx1),=1-F(x),这是因为,由概率的减法公式可得,P(x1 xx2),离散型r.v.x 的分布函数,概率分布 pk=P x=xk 或,分布函数 F(x)=P(xx),离散型r.v.x 的分布函数性质：,而在其它点处处连续,练习(习题1)编号为1,2,3,4,5的礼仪小姐被抽到的概率相同,抽取3人,设x 为抽出的3人中的最小编号,求x 的分布函数.,练习(习题2)一盒零件中9正3废,任取一,若是次则不放回再取,直到取到正,求所取到废品数x 的分布函数.,解 前面已得x 的分布列,例(习题5)设离散型r.v.x 的分布函数为:,解,例(习题4)离散型r.v.x 的分布列为:,解,P16
12、3 习题3.2 2、4、5,作业,4.连续型随机变量,定义 如果存在非负函数 p(x),使随机变量x 的分布函数F(x)可表示为,则称x 为连续型随机变量,其中p(x)称为x 的概率分布密度函数,简称分布密度或密度函数.,注:分布函数是密度函数的可变上限的定积分.,概率密度函数的性质,1,同时有,(4)在 p(x)的连续点,注意 连续型随机变量取一点 的概率等于零.,这是因为,由此可得,连续型随机变量取值落在某一区间的概率与区间的开闭无关,即对于任意实数值 a,若是连续型随机变量，则,若为离散型随机变量，则,注意,分布函数是阶梯形分段函数,分布函数是连续函数,如果随机变量x 的一切可能取值为,
13、解,例(习题12),例1,设随机变量x 具有分布密度,得,(1)确定常数k;(2)求x 的分布函数;(3)求,例(习题13)连续型随机变量的分布密度为,解,确定k的值并写出x 的分布函数,求:系数A,B的值,例(习题14)设连续型随机变量x 的分布函数为,解 因为 x 是连续型随机变量,所以F(x)连续,P163 习题3.2 10(1)、16,作业,(1)均匀分布,记为,则称x 在区间(a,b)上服从均匀分布,若连续型随机变量x 的分布密度为,定义,5.常用的连续型随机变量,分布函数,密度函数,均匀分布 x U(a,b),设 x U(a,b),均匀分布的意义,在区间(a,b)上服从均匀分布的随
14、机变量x 落在区间(a,b)中的子区间内的可能性只与子区间长度有关而与子区间位置无关,解,由题意,R 的概率密度为,故有,例 设电阻值 R 是一个随机变量，均匀分布在 1100 求 R 的概率密度及 R 落在950 1050 的概率,例(习题17)设随机变量x 在(0,6)内服从均匀分布,求方程,解,则称服从参数为l 的指数分布,若连续型随机变量x 的分布密度为,定义,分布函数,某些元件或设备的寿命服从指数分布.例如无线电元件的寿命、电力设备的寿命、动物的寿命等都服从指数分布.,应用与背景,(2)指数分布,例 设某类日光灯管的使用寿命 x 服从参数为l=1/2000的指数分布(单位:小时).(
15、1)任取一只这种灯管,求能正常使用1000小时以上的概率.(2)有一只这种灯管已经正常使用了1000 小时以上,求还能使用1000小时以上的概率.,x 的分布函数为,解,指数分布的重要性质:“无记忆性”.,例(习题18)已知某种电子零件的耐用时间服从指数分布,其参数l=1(周),试求(1)某一零件耐用时间超过3周的概率;(2)在1周到3周之内的概率;(3)若已知该零件已用过1周,能再使用2周的概率.,解,3.正态分布,其中m,s(s 0)为常数,记为,的正态分布,如果连续型随机变量x 的分布密度为,定义,则称 x 服从参数为m,s 2,正态分布的分布函数,正态概率密度函数的几何特征,曲线以x
16、轴为渐近线,(1)正态分布的密度曲线是一条关于m 对称的钟形曲线.,特点是“两头小，中间大，左右对称”.,并当x=m 时,p(x)取得最大值,(3)曲线在x=m 处有拐点;,(5)当固定改变m 的大小时,图形只是沿着x轴作平移变换，m 决定了图形的中心位置；,(6)当固定时,图形的对称轴不变,越小,图形越高越瘦,越大,图形越矮越胖，决定了图形中峰的陡峭程度.,正态分布是最常见最重要的一种分布,例如测量误差,人的生理特征尺寸如身高、体重等;,正态分布的应用与背景,正常情况下生产的产品尺寸:直径、长度、重量高度等,都近似服从正态分布.,一个变量如果受到大量微小的、独立的随机因素的影响,那么这个变量
17、一般是一个正态随机变量.,例 用上海99年年降雨量的数据画出的频率直方图.,从直方图，我们可以初步看出，年降雨量近似服从正态分布.,例 用某大学男大学生的身高的数据画出的频率直方图.,红线是拟合的正态密度曲线,可见，某大学男大学生的身高应服从正态分布.,正态分布下的概率计算,原函数不是初等函数,方法:转化为标准正态分布查表计算,标准正态分布的概率密度表示为,标准正态分布,标准正态分布的分布函数表示为,当正态分布N(,2)中的=0,=1时,称为标准正态分布,记为,密度曲线关于y 轴对称,书末附有标准正态分布函数数值表，有了它，可以解决一般正态分布的概率计算查表.,正态分布表,附表,表中只给了x
18、0 时F(x)的值(0.5),注意：,F(0)=0.5,正态分布表,当-x 0时,利用对称性,当x 0 时，可以直接由x查得F(x),例 求F(-1.25),=1-0.8944=0.1056,查表,F(-1.25)=1-F(1.25),=0.8944,例 F(1.25),F(-x)=1-F(x),正态分布表,由F(-x)=1-F(x)=1-a,当F(x)=a 0.5,反查表得-x,得F(2.327)=0.99,例 求满足F(x)=0.01的x,解 0.010.5,1-0.01=0.99,因为F(2.327)=0.99,反查表,有时需要反查表,例 求满足F(x)=0.99的x,所以x=-2.23
19、7,已知a(0a 1),求满足F(x)=a 的x，,解,查表,例3 已知 N(0,1),求F(0.5)和求F(-0.5),F(0.5)=,F(-0.5)=1-F(0.5)=0.3085,0.6915,解,练习 已知x N(0,1),求P-1.25 x 2,P-1.25 2,=F(2)-F(-1.25),=F(2)+F(1.25)-1,=0.9772+0.8944-1,=0.8716,=F(2)-(1-F(1.25),查表,一般的正态变量的分布函数F(x)可以转化为用标准正态分布函数F(x)来求.,即有,F(x)=P x x=,上面已知,若x(m,s 2),则,因而,一般正态分布的概率计算问题,
20、可以通过查标准正态分布表来解决,例 已知x N(1,4),求P(5x 7.2),解,=F(3.1)-F(2),查表,解 设分数线分别设在k1和k2,例(习题23)设竞赛成绩x N(76,152),其中一等奖15%,没有奖10%,问分数线各应设在何处?,解得,解得,(1)所求概率为,解,(1)若d=90,求x 小于89的概率.,例 将一温度调节器放置在贮存着某种液体的容器内.调节器整定在d,液体的温度 x(以计)是一个随机变量,且 x N(d,0.52).,(2)若要求保持液体的温度至少为80的概率不低于0.99,问d 至少为多少？,反查表,由F(2.327)=0.99,得F(-2.327)=0
21、.01,3准则,可以认为，x 的取值几乎全部集中在,这在统计学上称作“3s 准则”,m-3s,m+3s 区间内.,当xN(m,s 2)时，,查表,练习:若xN(m,s 2)，求,=2F(2.58)-1,=20.9750-1=0.9500,=2F(1.96)-1,结论:若x 分别以95%和99%的概率落在区间,m-1.96s,m+1.96s 和m-2.58s,m+2.58s 内.,=20.9950-1=0.9900,查表,P165 习题3.2 18、21、22,作业,3.2.2 随机变量的数字特征,在一些实际应用中，我们往往最关心能够反映随机变量某些概率特性的特征参数，其中最重要的两个特征参数即
22、为数学期望和方差。,1.数学期望,(1)算术平均值,例 假设变量x 取值x1=1,x2=2,x 的分布列为,(2)以概率为权的加权平均值,怎样计算x 的其平均值?,定义3.11 设x 是离散型随机变量，其分布律为P(x=xk)=pk,k=1,2,3,记作,称为随机变量x 的数学期望，,数学期望简称期望或均值。,Ex，,即,注：数学期望即以概率为权的加权平均值,离散型随机变量的数学期望,试问哪个射手技术较好?,例,甲、乙两个射手射击成绩的分布列分别为,故甲射手的技术比较好.,解,设甲、乙射手击中的环数分别为x1,x2,例 某人的一串钥匙上有n把钥匙，其中只有一把能打开自己的家门，他随意地试用这串
23、钥匙中的某一把去开门.若每把钥匙试开一次后除去，求打开门时试开次数的数学期望.,解:设试开次数为x,P(x=k),Ex,于是,=1/n,k=1,2,n,1o 设 C 是常数,则有,2o 设 x 是一个随机变量,C 是常数,则有,例,数学期望的性质,3o 设 x,h 是两个随机变量,则有,例,例1 设r.v.x 服从两点分布，即,解,求Ex,两点分布的期望为,例2 设x B(n,p),求Ex,由二项分布的定义知,随机变量x是n重伯努利试验中事件A发生的次数,且每次试验中A发生的概率为p,易知x=x1+x2+xn,=np,np,从而,由例1有 Exk=p k=1,2,n,二项分布的期望为,例3 设
24、r.v.x 服从几何分布，即,解,求Ex,注意:由幂级数性质,并且求导后的级数有相同的收敛半径,当|x|1时,几何分布的期望为,例4 设r.v.x 服从泊松分布，求Ex,解,泊松分布的期望为,连续型随机变量的数学期望,定义3.12 设连续型随机变量x 的概率密度为p(x),绝对收敛，,的值为,r.v.x 的数学期望，,若积分,则称积分,即,则有,x 的其分布密度为,结论 均匀分布的数学期望位于区间(a,b)的中点.,例5 均匀分布 设x U(a,b),求Ex,例6 指数分布,x E(l),求Ex,分布密度为,指数分布的期望为,则有,解,因此,顾客平均等待5分钟可得到服务.,例,设顾客在某银行的
25、窗口等待服务的时间 x(以分计)服从指数分布,其概率密度为,试求顾客等待服务的平均时间?,=5(分钟),例7 求正态分布x 的Ex,即得 Ex=E(m+sh),=m+sEh,=m,m,于是 x=m+sh 且有 Eh=0,若x N(0,1),若 x N(m,s 2),则有,结论：正态分布的数学期望是第一个参数,=0,在实际中常常需要研究随机变量的函数.,2.随机变量函数的数学期望,设 f(x)是一连续函数，,定义,如果随着r.v.x 取值x,则称随机变量h为随机变量x的函数，,记作h=f(x),例如，圆轴截面直径 d 为一随机变量，,则截面面积 A=即为r.v.d的函数,r.v.h 取y=f(x
26、)的值，,问题,如果已知r.v.x 的分布，如何求h=f(x)的数学期望Eh？,解：当 x 取值 1，2，5 时，,求 h=2x+3 的分布律.,x 取某值与h 取其对应值是两个同时发生的事件，两者具有相同的概率.,故,h 取对应值 5，7，13，,离散型随机变量函数的数学期望,一般，若x是离散型 r.v.,分布列为,如果f(xk)中有一些是相同的，把它们作适当并项即可.,例8 设r.v.x 的概率分布列为,解 分别用两种不同方法,求E(x 2)和E(x-1)2,(1)先求x 2 的分布列,x 2,h 的分布律为,练习 设,解,求h=x 2-5的数学期望,如果已知连续型r.v.x 的分布密度为
27、p(x)，h=f(x),连续型随机变量函数的数学期望,则有,x 的其分布密度为,定义 随机变量幂函数x k 的数学期望称为随机变量x 的k阶原点矩，记为,例9 设x U(a,b),求Ex 2,例10 设,服从参数为l 的指数分布,前面已得,例题,某车站每天都有两辆客车分别随机在8:00 9:00,9:00 10:00的3个时刻之一到站，且两辆到站的时间相互独立.其规律为,(i)一旅客8:00到车站求他候车时间的数学期望。,(ii)一旅客8:20到车站求他候车时间的数学期望。,(i)一旅客8:00到车站，第一辆车一定能坐上,解,设旅客的候车时间为x(以分计).,候车时间的数学期望为,(ii)一旅
28、客8:20到车站，等到第一辆车的可能时间为10，30,在第一辆车已开走(概率为1/6)的情况下等第二辆车的可能时间为50，70，90,例(习题29)设有三个球,随机地等可能地放到四个编号为1,2,3,4的盒子中去，设x表示至少包含有一个球的最小号码盒子的号码数，求Ex.,“所有球落在第四盒中”即x=4,1种;,“所有球落在第三、四盒中”,23=8种,“所有球落在后三盒中”,33=27种,“第一盒至少有一球”(即x=1),64-27=37种。,解1 3球入4盒所有等可能的结果有43=64种,其中“第三盒至少有一球”(即x=3),8-1=7种；,其中“第二盒至少有一球”(即x=2),27-8=19
29、种；,解2 3球入4盒所有等可能的结果数为43=64,第一盒无球33=27种,第二盒也无球23=8种,故第二盒至少一球27-8=19种,前两盒无球8种,第三盒也无球1种,故第三盒至少一球8-1=7种,“x=4”即所有球落在第四盒中,1种,“x=1”即第一盒至少有一球,“x=2”即第一盒无球而第二盒至少一球,第一盒无球33=27种,故第一盒至少一球37种,“x=3”即前两盒无球而第三盒至少一球,例(习题31)设随机变量x 的概率分布为:,解,注意:当|x|1时,注意:当|x|1时,注意:当|x|1时,P166 习题3.2 30、32数学期望部分,作业,3.方差,方差概念的引入,两个随机变量的数学
30、期望相同，但取值分散程度不同.,实例 有两批灯泡,其平均寿命都是 E(x)=1000小时.,显然前批灯泡的质量较稳定,用什么量来体现随机变量 x 取值的分散程度？,x-E(x)称为随机变量的,E(x-Ex),由于离差有正有负，可以互相抵消，所以不能用作随机变量与均值的偏差指标。,Ex-E(Ex),Ex-Ex 0,离差,为了避免正负抵消，自然会想到用|x-Ex|来代替。,但这样又引入了绝对值，对于计算不方使。,为此改用平方代替，即有,能否用离差来体现随机变量 x 取值的分散程度？,定义3.13 设随机变量x的数学期望为Ex，,（方差即为“离差平方的数学期望”）,则称E(x-Ex)2为随机变量x的
31、方差，,记作Dx 或s 2，即,s 2=Dx=E(x Ex)2,称为均方差或标准差，其与x 有相同的量纲,方差是一个用来体现随机变量 x 取值分散程度的量.,方差的意义,而如果 Dx 值小,则表示x 的取值比较集中,以 Ex 作为随机变量的代表性好.,如果 Dx 值大,表示 x 取值分散程度大,Ex 的代表性差;,离散型随机变量的方差,连续型随机变量的方差,方差的计算,(1)利用定义计算,则,则,证明,(2)利用公式计算,亦即二阶原点矩减去一阶原点矩的平方。,即方差等于r.v.x平方的数学期望减去数学期望的平方,练习:一批零件的长度有如下的分布律,求这批零件的长度的方差。,证明,1o 设 C
32、是常数,则有,2o 设 x 是一个随机变量,C 是常数,则有,证明,=E(Cx-CEx)2,=EC 2(x-Ex)2,方差的性质,3o 设 x,h 相互独立,Dx,Dh 存在,则,3o 设 x,h 相互独立,Dx,Dh 存在,则,证明,例11 设r.v.x 服从两点分布，即,解 例1中已求得,求Dx,而,=p,于是有,=p(1-p),方差为,两点分布的期望为,例:二项分布 设x B(n,p),求Dx,易知x=x1+x2+xn,且 x1,x2,xn相互独立,引入随机变量,由两点分布可知Dxk=pq k=1,2,n,从而,方差为,二项分布的期望为,例12 设r.v.x 服从泊松分布，求Dx,解 例
33、4中已求得,而,所以,泊松分布的期望和方差都等于参数l,例9中已得,例 设x U(a,b),求Dx,解 例5中已得,方差为,均匀分布的期望为,例13,x 服从参数为l 的指数分布,求Dx,解 例10中已得,例15 求正态分布的Dx,前面已经求得,=0+1,标准正态分布的期望和方差分别为两个参数 0 和1,=1,于是有,=E(s2h2),=E(m+sh-m)2,=s2,Ex=m,Eh2=Dh=1,s2,正态分布的期望和方差分别为两个参数 m 和s 2,Dx=E(x-E x)2,=E(sh)2,=s2Eh 2,几个重要分布的数学期望和方差,例5 设随机变量x 的数学期望为m,方差为s 2,求,随机
34、变量h=的数学期望Eh 和方差Dh,练习 1.已知 x B(n,p),Ex=2.4,Dx=1.44,则,n=_,p=_.,2.已知随机变量x 的可能值为x1=-2,x2=-1,x3=1,又Ex=0.1,Ex 2=1.6,求x 的分布列,3.设r.v.x P(l),且已知E(x-1)(x-2)=1,求l(习题42),解,由x P(l),可知Ex=l,Ex 2=l2+l,例(习题31).设随机变量x 的概率分布为:,解,习题34 设随机变量x 的密度函数为:,解,例(习题36)设r.v.x N(m,s 2),证,x-m=sh,P166 习题3.2 30、32,作业,3.2.3 二维随机变量及其分布
35、,有些随机现象用一个随机变量来描述是不够的，需要用几个随机变量来描述.,在打靶时,命中点的位置是由一对r.v(两个坐标)来确定的.,飞机的重心在空中的位置是由三个r.v(三个坐标）来确定的等等.,一般称n个随机变量的整体x=(x1,x2,xn)为n维随机变量或随机向量.,以下仅讨论二维随机变量及其分布.,定义,设随机试验E的样本空间W=w,x 和h 是定义在W 上的随机变量,由它们构成的一个向量(x,h)叫做二维随机向量或二维随机变量.,例 炮弹的弹着点的位置(x,h)就是一个二维随机变量.,1.二维随机变量,二维随机变量的分布函数,定义,称为二维随机变量(x,h)的分布函数,或称为随机变量x
36、 和h 的联合分布函数,设(x,h)是二维随机变量,二元函数:,F(x,y)的函数值就是随机点落在如图所示区域内的概率,对于任意实数 x,y,x 和h 的联合分布函数:,记,边际分布函数,则,设二维离散型随机变量(x,h)所有可能取的值为,称为随机变量x 和h 的联合分布律,二维离散型随机变量的联合分布和边际分布,二维随机变量(x,h)的联合分布也可表示为,例如,解 由题设,由乘法公式得,例,设随机变量x 在1,2,3,4四个整数中等可能地取值,=P x=i Ph=j|x=i,另一随机变量h 在1x 中等可能地取一整数值,求(x,h)的联合分布,于是(x,h)的联合分布为,解 依题意,例 从一
37、个装有3支蓝色、2支红色、3支绿色圆珠笔的盒子里,随机抽取两支,若 x、h 分别表示抽出的蓝笔数和红笔数,求(x,h)的联合分布.,所求联合分布为,(x,h)所取的可能值是,离散型随机变量的边际分布律,设二维离散型随机变量(x,h)的联合分布律为,定义,联合分布,和边际分布,即(x,h)关于x 的边际分布为,即(x,h)关于h 的边际分布为,解,例,一整数N 等可能地在1,2,3,10十个值中取值,设,D=D(N)是N的正整数因子个数,F=F(N)是N的不同素数因子个数,试写出D和F的联合分布律,并求边际分布律.,由此得D和F的联合分布与边缘分布：,由此得D和F的联合分布与边际分布：,练习 已
38、知联合分布为,求边际分布律,x 的边际分布为,h 的边际分布为,练习 前面例中已得(x,h)的联合分布律，,x和h 的边际分布律分别为,求边际分布律,注意!,联合分布,边际分布,则称(x,h)是连续型的二维随机变量,定义 如果存在非负可积函数 p(x,y),使得对任意的 x,y,有,p(x,y)是(x,h)的联合分布密度.,连续型随机变量的联合分布与边际分布,它满足,记,称 px(x)为随机变量(x,h)关于x 的边际分布密度.,称ph(y)随机变量(x,h)关于h 的边际分布密度.,记,同样,例2 设(x,h)的联合分布密度为,例 设,求边际密度函数 fx(x)和 fh(y),解,y,1,y
39、=x2,y=x3,当x0或x1时，,当0 x1时,例 设,求边际密度函数 fx(x)和 fh(y),y,1,y=x2,y=x3,当y0或y1时，,当0y1时,解,当0 x1时,当x1时，px(x)=0，,当0y1时,当y1时，ph(y)=0，,-x+,-y+,例3 若二维随机变量(x,h)的分布密度为,其中1,2,1,2,r 都是常数,且 1 0,2 0,-1 r 1,则称(x,h)为二维正态随机变量,记作,二维正态分布的两个边缘分布都是一维正态分布,并且都不依赖于参数r,二维正态分布的重要性质：,若(x,h)服从二维正态分布，,则边际分布,即,P166 习题3.2 40（求边际密度）,作业,
40、补充 设(x,h)的分布密度为,求x 和h 的边际分布密度,2.随机变量的独立性,两事件A,B独立的定义是：若P(AB)=P(A)P(B)则称事件A,B独立.,若对于所有x,y,(x,h)的分布函数及边际分布函数.,定义 设F(x,y)及Fx(x),Fh(y)分别是二维随机变量,两个r.v相互独立时，它们的联合分布函数等于两个边缘分布函数的乘积.,离散型r.v的相互独立,若离散型随机变量(x,h)的联合分布律为,x 和h 相互独立,即,解,求随机变量(x,h)的分布律.,例 设两个独立的随机变量 x 与h 的分布律为,i,j=1,2,因为 x 与 h 相互独立,所以,故(x,h)的联合分布律为
41、,练习(习题38)设随机变量X和Y相互独立，填下面表,解,先求出x 和h 的边际分布,则x 和h 是独立的;,如果已知二维随机变量(x,h)的联合分布,如何判断x,h 是否相互独立?,如果对于所有的i,j,都有,则x 和h 不独立.,反之,只要有一对i,j,例如前面所得D和F的联合分布与边缘分布：,例(习题39)设随机变量x和h 服从同一分布,概率分布同为：,并且P(xh=0)=1,解,试建立(x,h)的联合分布,讨论x 与h 是否独立，并计算P(x=h),连续型r.v的相互独立,于是有,设二维随机变量(x,h)的分布函数及边际分布函数分别是F(x,y)及Fx(x),Fh(y),若x 与 h
42、相互独立,x 和h 相互独立,概率密度及边际概率密度分别是 p(x,y)及 px(x),ph(y),例 设(x,h)的分布密度为,问x 和h 是否独立？,解：,故x,h 独立,例 若(x,h)的分布密度为,解：,x 和h 不独立.,问x 和h 是否独立？,练习(习题40)设(x,h)的联合分布密度为：,(1)写出x 和h 的边际密度函数;(2)讨论x 与h 是否相互独立.,解,例 设二维正态随机变量(x,h)的分布密度为,则其边缘概率密度为,于是,因此 对于二维正态随机变量(x,h),x 和h 相互独立的充要条件是参数 r=0,P166 习题3.2 37、38,作业,3 协方差及相关系数,定义
43、3.15,称为随机变量x 与h 的相关系数,而,若(x,h)是二维随机变量,且Ex、Eh、Dx、Dh 都存在，则,称为随机变量x 与h 的协方差,Cov(x,h),E(x-Ex)(h-Eh),r,此部分内容只作介绍,协方差的计算公式,Cov(x,h),=E(xh)-Ex Eh,协方差用于衡量两个随机变量的总体误差。,(5)Cov(x,x)=D(x),协方差的性质,(6)若随机变量x 和h 相互独立,r,|r|值越接近1，x,h 之间的线性相关程度越高；,则相关系数 r=0,反之不成立，即相关系数 r=0时，x 和h 不一定独立,相关系数反映了x,h 之间线性关系的密切程度。,|r|值越接近0，
44、x,h 之间的线性相关程度越低。,(参见P213 一元线性回归),例4 设x N(0,1),h=x 2,r=0 却不独立,证 不相互独立是显然的,即有r=0,例 设(x,h)N(m1,m 2,s12,s22,r),即,结论,二维正态分布密度函数中,参数 r 代表了x与h 的相关系数;,(1),二维正态随机变量x 与h 相关系数为零等价于x与h 相互独立.,(2),则,例(习题44).设,证,5.独立随机变量之和的分布,此部分内容不作要求，只给出下面结论。,由数学期望和方差的性质可知,Ez=E(x+h)=Ex+E h=m 1+m 2,Dz=D(x+h)=Dx+Dh=s22+s22,推论:,有限个
45、相互独立的正态随机变量的线性组合仍然服从正态分布.,例 设x i N(10,32)，(i=1,2,6)且x i 相互独立，,(1)写出z 所服从的分布；(2)求P(z 11)。,解 因为x i N(10,32)，且x i 相互独立，i=1,2,6，,所以,于是,例(习题45）,解,3.2.4 大数定律与中心极限定理,随机现象的规律性只有在相同的条件下进行大量重复试验时才会呈现出来，,研究大量的随机现象，常常采用极限形式，由此导致对极限定理进行研究.,大数定律与中心极限定理,要从随机现象中去寻求必然的法则，应该研究大量随机现象.,极限定理最重要的有两种:,1.切比雪夫()不等式,定理3.7,设随
46、机变量x 有期望Ex 和方差Dx，,证 仅就连续型r.v.情况证,则对于任意给定的e 0,恒有,例(习题49)已知正常男性成人血液中,每一毫升白细胞数平均是7300,均方差是700,利用切比雪夫不等式估计每毫升血含白细胞数数在5200到9400之间的概率p.,设mn是n重贝努里试验中事件A发生的次数,p 是事件A发生的概率，,定理3.8（伯努里大数定律）,2.大数定理,则对任给的 0，有,证,于是,由切比雪夫不等式,可知,故,伯努里大数定律表明，当重复试验次数n充分大时，事件A发生的频率mn/n与事件A的概率p有较大偏差的概率很小.,伯努里大数定律提供了通过试验来确定事件概率的方法.,例1 当
47、抛掷一枚均匀硬币时,需掷多少次,能够保证正面出现的频率在0.4与0.6之间的概率不小于90%.,解 n重伯努利试验,p=P(A)=0.5,mn为出现正面的次数,mn/n为频率,由切比雪夫不等式:,设随机变量序列x1,x2,独立同分布，具有有限的数学期E xi=,Dxi=s 2,i=1,2,，则对任给 0，,定理3.9 弱大数定律(辛钦大数定律),证 不难验证,此大数定律告诉我们,不论相互独立的随机变量属于何种分布,随着n的增大,算术平均值越来越集中在共同均值m 的附近.,于是有,此定律为寻找随机变量的期望值提供了一条实际可行的途径.,例如要估计某地区的平均亩产量，则收割某些有代表性的地块，例如
48、n 块.计算其平均亩产量，则当n 较大时，可用它作为整个地区平均亩产量的一个估计.,例(习题51),由切比雪夫不等式,可知,3.中心极限定理,客观背景,在实际问题中，常常需要考虑许多随机因素所产生总影响.,例如：炮弹射击的落点与目标的偏差，就受着许多随机因素的影响.,空气阻力所产生的误差，,对我们来说重要的是这些随机因素的总影响.,如瞄准时的误差，,炮弹或炮身结构所引起的误差等等.,观察表明，如果一个量是由大量相互独立的随机因素的影响所造成，而每一个别因素在总影响中所起的作用不大.则这种量一般都服从或近似服从正态分布.,自从高斯指出测量误差服从正态分布之后，人们发现，正态分布在自然界中极为常见
49、.,在概率论中，习惯于把和的分布收敛于正态分布这一类定理都叫做中心极限定理.,我们只讨论几种简单情形.,定理3.10(棣莫佛拉普拉斯中心极限定理）,记m n是n重伯努利试验中事件A发生的次数,定理表明，当n充分大时，二项变量m n的分布近似地服从正态分布 N(np,np(1-p).,则,例2 从一大批产品中任抽20件,发现有3件次品,试估计这批产品次品率与次品频率0.15之间的最大偏差e,使得,(由棣莫佛拉普拉斯中心极限定理),例(习题53)保险公司利润问题.有10000人参加了某种寿险,每人每年付12元保险费,如果在一年内投保人死亡,则其家属可向保险公司领取1000元赔偿费,已知一年内这类人
50、死亡率为0.006,求:(1)保险公司没有利润的概率;(2)保险公司在一年内利润不少于60000元的概率.,解 设一年内投保人死亡数 为x,p=0.006,n=10000,由棣莫佛拉普拉斯中心极限定理,由3准则，此项为0,由3准则，此项为1,例(供电问题)某车间有200台车床,在生产期间由于需要检修等原因常需停车.设开工率为0.6,并设每台车床的工作是独立的，且在开工时需电力1千瓦.,问应供应多少千瓦电力就能以99.9%的概率保证该车间不会因供电不足而影响生产?,用x 表示在某时刻工作着的车床数，,解：对每台车床的观察作为一次试验，,则x B(200,0.6),问题即为：,P(xN)0.999
