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1、角平分线的性质及应用,驶向胜利的彼岸,旧知回顾,角的平分线的定义是什么？,旧知回顾,已知一个角你会将它平分吗？说一说，你有哪些方法？有没有既简单又准确的方法。,A,画法：,以为圆心，适当长为半径作弧，交于，交于,分别以，为圆心大于 1/2 的长为半径作弧两弧在的内部交于,作射线,射线即为所求,1、怎样画一个已知角的角平分线,如图，要在S区建一个贸易市场，使它到铁路和公路距离相等，这个集贸市场应建在何处,解决问题,S,画一个AOB,用尺规作出AOB的平分线OP,过P作PD OA,PE OB问题：比较PD和PE 的大小关系（量一量）。PD=PE 再换一个新的位置看看情况会怎样？,(2)猜想:角的平
2、分线上的点到角的两边的距离相等.,1、怎样画一个已知角的角平分线,证明：OC平分 AOB（已知）1=2（角平分线的定义）PD OA，PE OB（已知）PDO=PEO（垂直的定义）在PDO和PEO中 PDO=PEO（已证）1=2（已证）OP=OP（公共边）PDO PEO（AAS）PD=PE（全等三角形的对应边相等）,已知：如图，OC平分AOB，点P在OC上，PDOA于点D，PEOB于点E求证:PD=PE,2、验证猜想：,角的平分线上的点到角的两边的距离相等.,已知：“一个点在一个角的平分线上”。结论：“这个点到这个角两边得距离相等”,角的平分线上的点到角的两边的距离相等,3、角的平分线的性质:,
3、PDOA，PEOB,OC是AOB的平分线,PDPE,用数学语言表述：,或：1=2,PD OA，PE OB PD=PE（角平分线的性质）,例：已知：如图，ABC中 C=90，AD是ABC的角平分线，DEAB于E，F在AC上BD=DF，求证：CF=EB。,证明：AD平分CABDEAB，C90（已知）CDDE(角平分线的性质)在tCDF和RtEDB中,CD=DE（已证）DF=DB（已知）RtCDFRtEDB(HL)CF=EB（全等三角形对应边相等）,练习1：已知:如图,在ABC中,AD是它的角平分线,且BD=CD,DEAB,DFAC,垂足分别是E,F.求证:EB=FC.,证明：AD平分CABDEAB
4、，DFAC(已知)DE=DF(角平分线的性质)在tBED和RtCFD中,BD=CD（已证）DE=DF（已知）Rt BED RtCFD(HL)BE=FC（全等三角形对应边相等）,练习2：如图，E是AOB的角平分线OC上的一点，EMOB垂足为M，且EM=3cm，求点E 到OA的距离,分析：点E 到OA的距离是过点E作OA的垂线段，再根据角的平分线的性质，可知点E到OA的距离。,解：过E作ENOA垂足为N E是AOB的角平分线上的一点，EMOB，ENOA，EM=EN又 EM=3cm，EN=3cm即点E 到OA的距离为3cm。,E,M,练习：如图，E是AOB的角平分线OC上的一点，EMOB垂足为M，且
5、EM=3cm，求点E 到OA的距离,分析：点E 到OA的距离是过点E作OA的垂线段，再根据角的平分线的性质，可知点E到OA的距离。,解：过E作ENOA垂足为N E是AOB的角平分线上的一点，EMOB，ENOA，EM=EN又 EM=3cm，EN=3cm即点E 到OA的距离为3cm。,E,M,练习3：如图，四边形ABCD中AB=AD，ABBC，ADCD，P是对角线AC上一点，求证：PB=PC,回味无穷,性质 角平分线上的点到这个角的两边距离相等.几何语言：OC是AOB的平分线,P是OC上任意一点 PDOA,PEOB,垂足分别是D,E(已知)PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边距离相等).,作业,课本：习题11.3 第5题,
