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1、第八章 相量法,内容：,复数,正弦量,相量法的基础,电路定律的相量形式,8.1 复数,一、复数的几种形式：,1、代数形式：F=a+j b,a=Re F b=Im F,2、三角形式：F=|F|(cos+jsin),3、指数形式：F=|F|,欧拉公式：,极坐标形式：F=|F|,一、复数的运算：,则 F1F2=(a1a2)+j(b1b2),(1)加减运算直角坐标,若 F1=a1+jb1，F2=a2+jb2,加减法可用图解法。平行四边形法,(2)乘除运算极坐标（指数形式）,除法：模相除，角相减。,乘法：模相乘，角相加。,则:,例1.,解:,例2.,解：上式,(3)旋转因子：,复数 ejq=cosq+j
2、sinq=1q,A ejq 相当于A逆时针旋转一个角度q，而模不变。,8.2 正弦量,一.正弦量：按正弦规律变化的量。,瞬时值表达式：,i(t)=Imsin(w t+y),波形：,周期T(period)和频率f(frequency):,频率f：每秒重复变化的次数。,周期T：重复变化一次所需的时间。,f=1/T,单位：Hz，赫(兹),单位：s，秒,(1)幅值(amplitude)(振幅、最大值)Im：反映正弦量变化幅度的大小。,(2)角频率(angular frequency)w：每秒变化的角度(弧度)，反映正弦量变化快慢。,二、正弦量的三要素：,(3)初相位(initial phase ang
3、le)y：反映了正弦量的计时起点。,(wt+y)表示正弦量随时间变化的进程,称之为相位角。它的大小决定该时刻正弦量的值。,2,t,单位：rad/s，弧度/秒,i(t)=Imsin(w t+y),峰-峰值：2 Im,同一个正弦量，计时起点不同，初相位不同。,=0,=/2,=-/2,一般规定：|。,一个电路中的许多相关的正弦量，计时零点必须相同。,三、正弦量的性质：,正弦量的微分、积分，同频正弦量的代数和等运算，结果仍为一个同频率的正弦量。,四、周期量的有效值,周期性电流、电压的瞬时值随时间而变，为了衡量其大小工程上采用有效值来表示。用大写字母表示。,物理意义：周期性电流 i 流过电阻 R，在一周
4、期T 内吸收的电能，等于一直流电流I 流过R,在时间T 内吸收的电能，则称电流 I 为周期性电流 i 的有效值。,均方根值,正弦电流、电压的有效值,设 i(t)=Imsin(t+),同理，可得正弦电压有效值与最大值的关系：,若一交流电压有效值为U=220V，则其最大值为Um311V；,U=380V，Um537V。,工程上说的正弦电压、电流一般指有效值，如设备铭牌额定值、电网的电压等级等。但绝缘水平、耐压值指的是最大值。因此，在考虑电器设备的耐压水平时应按最大值考虑。,测量中，电磁式交流电压、电流表读数均为有效值。,*注意 区分电压、电流的瞬时值、最大值、有效值的符号。,五、同频率正弦量的相位差
5、(phase difference)。,设 u(t)=Umsin(w t+y u),i(t)=Imsin(w t+y i),则 相位差 即相位角之差：j=(w t+y u)-(w t+y i)=y u-y i,j 0，u 领先(超前)I j 角，或i 落后(滞后)u j 角(u 比 i 先到达最大值)；,j 0，i 领先(超前)uj 角，或u 落后(滞后)i j 角(i 比 u 先到达最大值)。,恰好等于初相位之差,j=0，同相：,j=(180o)，反相：,规定：|y|(180)。,特殊相位关系：,=p/2：u 领先 i p/2,不说 u 落后 i 3p/2；i 落后 u p/2,不说 i 领
6、先 u 3p/2。,同样可比较两个电压或两个电流的相位差。,8.3 相量法的基础,正弦稳态电路的特点：激励和稳态响应统一频率。,相量法是分析求解正弦电流电路稳态响应的一种有效工具。,加一个小圆点是用来和普通的复数相区别(强调它与正弦量的联系)，同时也改用“相量”，而不用“向量”，是因为它表示的不是一般意义的向量，而是表示一个正弦量。,为正弦量 i(t)对应的相量。,正弦量的相量表示:,相量的模表示正弦量的有效值相量的幅角表示正弦量的初相位,同样可以建立正弦电压与相量的对应关系：,1、相量：,已知,例1.,试用相量表示i,u.,解：,例2.,试写出电流的瞬时值表达式。,解：,2、相量图(相量和复
7、数一样可以在平面上用向量表示)：,我们用相量和一个正弦时间函数对应看看它的几何意义：,ej t 为一模为1、幅角为 t 的相量。随t的增加，模不变，而幅角与t成正比，可视其为一旋转因子，当t从0T时，相量旋转一周回到初始位置，t 从02。,3、相量运算,(1)同频率正弦量相加减,故同频的正弦量相加减运算就变成对应的相量相加减运算。,这实际上是一种变换思想,可得其相量关系为：,例,同频正弦量的加、减运算可借助相量图进行。相量图在正弦稳态分析中有重要作用，尤其适用于定性分析。,首尾相接,(2).正弦量的微分，积分运算,微分运算:,积分运算:,相量微分:,相量积分:,（3）、相量法的应用,求解正弦电
8、流电路的稳态解(微分方程的特解),例,一阶常系数线性微分方程,自由分量(齐次方程解)：Ae-R/L t,强制分量(特解)：Imsin(w t+y i),解:,用相量法求：,取相量,小结,相量法只适用于激励为同频正弦量的非时变线性电路。,相量法可以用来求强制分量是正弦量的任意常系数 线性微分方程的特解，即可用来分析正弦稳态电路。,8.4 电路定律的相量形式,VCR、KCL和KVL,一、电阻、电感和电容的VCR,1.电阻,时域形式：,相量形式：,相量模型,有效值关系：UR=RI,相位关系u=i(u,i同相),相量关系：,瞬时功率：,波形图及相量图：,瞬时功率以2交变。但始终大于零，表明电阻始终是吸
9、收（消耗）功率。,2.电感,时域形式：,相量形式：,相量模型,1.相量关系：,=0时，相当于短路,功率：,波形图：,瞬时功率以2交变，有正有负，一周期内刚好互相抵消。,3、电容,时域形式：,相量形式：,相量模型,有效值关系：IC=w CU,相位关系：i=u+90(i 超前 u 90),=0时，相当于开路,功率：,波形图：,瞬时功率以2交变，有正有负，一周期内刚好互相抵消。,4、受控源,时域形式：,相量形式：,二、基尔霍夫定律的相量形式,同频率的正弦量加减可以用对应的相量形式来进行计算。因此，在正弦电流电路中，KCL和KVL可用相应的相量形式表示：,由KVL：,其相量关系也成立,例1：,列KVL，一般设电流相量为参考相量,例2：列KCL方程,书上例8-4，187页,列KCL，一般设电压相量为参考相量,
