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1、第八章 机械优化设计应用实例,连杆机构的优化设计弹簧的优化设计,8.1连杆机构的优化设计,连杆机构运动学设计的基本问题，可以归结为实现已知运动规律和已知运动轨迹两大类。目前，对连杆机构的运动综合问题采用优化方法已经很普遍。,本节通过一个铰链四杆机构实现主，从动构件给定函数关系的设计问题，来说明最优化方法在连杆机构运动学综合方面的应用。,设，分别为对应于摇杆在右极限位置时曲柄和摇杆的位置角，见下图。他们是以机杆架AD为基线逆时针度量的角度。,要求设计以曲柄摇杆机构，当曲柄由 转至 度时，实现摇杆的输出角 与曲柄转角 之间的如下函数关系,并要求在给定的范围内，机构最小传动角不得小于许用值，取 求此
2、问题最优解，做法如下。,一，建立优化问题的数学模型,1，确定设计变量,铰链四杆机构按主从动连架杆给定的角度对应关系进行设计时，各杆长度按同一比例缩放并不影响主，从动杆转角的对应关系。因此可把曲柄长度作为单位长度，即令 L1=1，其余三杆表示为曲柄长度的倍数，用其相对长度l2，L3，l4作为变量。一般考虑，本问题与初始角，也有关系，所以变量本应为l2，l3，l4，和 五个。但是两转角变量并不是独立变量，而是杆长的函数。写出如下式,可见，和 已由机构的相对杆长所决定，独立变量只有l2，l3，l4三个,为了进一步缩减设计变量，还可以在这三个独立变量中预先选定一个。根据机构在机器中的许可空间，可以适当
3、预选机架的长度，本题取l4=5。,最后确定该优化问题的设计变量,2，建立目标函数,机构学理论已经证明，用铰链四杆机构实现两链架杆对应转角的函数关系，由于机构独立的参数的数目最多为五个，因此近似的实现预期的运动要求。在本题中，从动摇杆欲实现输出角的函数关系，而机构实际上只能实现下图虚线所示的近似关系。,输出角函数图,对于该机构设计问题，可以取机构输出角的平方偏差最小为原则建立目标函数。为此，将曲柄转角为,的区间分成n等分，从动摇杆输出角也有相对,应的分点。若各分点标号记作i，以各分点输出角的偏差平方和作为目标函数，则有,式中的有关参数按如下步骤及公式计算,曲柄各等分点的转角,i=0，1，2，n,
4、期望输出角,i=0，1，2，n,实际输出角,按下页图计算,其中，式中的角度右下图可得到,由以上几个式子构成了一个目标函数的表达式。对应于每一个机构设计方案x，即可算出输出角的偏差平方和F(x)。,3，确立约束条件,本题的设计受到两个方面的限制，其一是保证铰链四杆机构满足曲柄存在的条件，其二是在传递运动过程中的最小传动角大于45度。,按传动角要求建立约束条件,由余弦定理a图,整理得约束条件,同理由上页b图传动角最小位置写出,整理得约束条件,按曲柄存在条件建立约束条件,写成约束条件有,用全部约束条件画成次下图所示的平面曲线，则可见，g3(x)g7(x)均是消极约束。而可行域D实际上只是由g1(x)
5、与g2(x)两个约束条件围成的。综合上述分析，本题的优化数学模型如下,D：,二，选择优化方法及结果分析,该题维数较低，用哪一种优化方法都适宜。这里选用约束坐标轮换法。,计算时，曾用若干组不同的初始数据进行计算，从中选出其中三组。见课本表8.1,由其中的计算结果可以看出，第二次计算结果应为最优解。,，为相对杆长。最后，根据机构的结构设计需要按一定的比例尺求出机构实际杆长L1，L2，L3，L4。,下面对表中第一，三次结果进行分析。,第一次计算：初始步长，输出结果为，离实际最优点甚远。产生这种情况的原因是 取得太大。当迭代点到达上述位置时，由于此处目标函数等值线是下凹的，在该点四周的迭代点均失败，因
6、此就误作为最优输出。此解称为为最优解。消除此故障的办法是，规定足够小的正数，当步长 时，即使四周迭代点均失败也不终止迭代，而是将 减半，直至达到 为止。,第三次计算，步长虽然很小，但所得结果仍很差，原因是在给定 及 的条件下迭代点达到了邻近约束边界的死点。在它四周的迭代点或是函数值增大，或是落入非可行域，于是终止迭代，输出了伪最优解。这就是在约束坐标轮换法中曾阐明的退化现象。克服这一弊病的办法是采取不同的初始点和步长，进行多次运算后则其最优的方案作为问题的最优解，迭代路线见下页图。,8.2弹簧的优化设计,本节只介绍普通圆柱压缩螺旋弹簧的优化设计。,实例：,有一气门弹簧。已知：安装高度h1=50
7、.8mm，初载荷F1=272N，最大工作载荷F2=680N，工作行程h=10.16mm弹簧工作频率fr=50Hz，弹簧丝材料为50CrVA，油淬回火，喷丸处理；弹簧工作温度为126oC，弹簧中径范围：20mmD250mm，总圈数：4n150，支撑圈数n2=1.75旋绕比C6，安全系数取1.2，弹簧刚度相对误差不超过0.01试按重量最轻原则选出弹簧的参数方案。,一，确立弹簧优化模型,确定设计变量,影响弹簧重量的参数有弹簧钢丝直径d，弹簧中径D2，弹簧总圈数n1。他们都是独立的参数。故取这三个参数为设计变量。,先按连续变量处理。,建立目标函数,该问题是追求弹簧重量最轻为目标，因此，以弹簧重量作为目
8、标函数,其中，为钢丝材料的密度，,将 具体数值代入，并用x1，x2，x3代表设计变量，可写出目标函数,确立约束条件,按照弹簧的使用要求，依据对圆柱形压缩螺旋弹簧的设计与计算公式，可列出如下各项设计约束,疲劳强度条件,按题目要求，疲劳强度安全系数S不小于许用的安全系数Smin，即满足,取,式中，为弹簧材料的剪切屈服极限，可取,为抗拉强度极限,为弹簧材料的脉动循环疲劳极限，考虑到弹簧的材料，工作温度，可靠度，热处理等因素，确定为,为剪应力幅,为平均剪应力,其中：,K为曲度系数，按近似式计算有,为应力修正系数，按下式确定,为载荷幅，,为平均载荷,将，带入，中，得,经整理得约束条件,稳定性条件,防止失
9、稳的条件是最大工作载荷F2不大于压缩弹簧稳定性的临界载荷FC，即,F2FC,临界载荷按下式计算,式中，H0为弹簧自由高度，它等于压并高度Hb与压并变形量 之和，即,其中,取,为弹簧的最大变形量,K为弹簧要求具有的刚度,为弹簧的最大变形量,为长度折算系数，按一端固定，一段铰支考虑，取,D2位弹簧中径。,于是有约束条件,无共振条件,弹簧在高频率变载荷的作用之下，为避免发生共振现象，应进行共振条件的验算，设弹簧工作频率为fr，一阶自振频率为f，无共振的条件为,已知，两端固定钢制弹簧自振频率为,于是得约束条件为,弹簧致并圈的条件,为了保证弹簧在最大工作载荷作用下不发生并圈现象，则要求弹簧在最大载荷F2
10、作用下的高度H2大于压并高度Hb，即,于是有约束条件,刚度误差要求,设按弹簧的受力与变形要求，弹簧应有的刚度为K，而按已选参数使计算得的弹簧实际刚度为。题意规定其相对误差不超过0.01。即,弹簧实际刚度表示为,式中，G为材料剪切弹性模量，合金钢,n为弹簧工作圈数，弹簧两端磨平，支撑圈数取1.75，则n=n1-1.75,得约束条件为,旋绕比条件,设计要求旋绕比C6（C=D2/d）,则有约束条件,其他界限约束,弹簧中径范围20D250，则有约束条件,弹簧总圈数限制,二，选择优化方法并进行计算,该问题维数较低，可采用约束随机法。选取初始点,给定初始步长,三，计算结果,最优点,最优值,上面的最优解是连续性的，需进一步离散化处理，从略。,
