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1、三重积分的轮换对称性:,1.(两字母轮换)如果将x,y换为y,x积分域不变,则,2.(三字母轮换)如果将x,y,z换为y,z,x积分域不变,则,3.(三字母轮换)如果将x,y,z换为y,z,x积分域不变;当被积函数f(x,y,z)中x,y,z依次轮换，函数的形式不变;而f=f1+f2+f3,且x,y,z依次轮换时，f1，f2，f3依次轮换，则,其中为球面x2+y2+z2=1所围成的区域.,例,例 计算三重积分,其中：0 x 1，0y1，0z1,解,错解,解,正确做法,分析 积分区域和被积函数都具有轮换对称性,?,三重积分习题课,重点：1.计算；2.应用,上边界曲面（上顶）,下边界曲面（下底）,
2、xOy 坐标面上的投影区域,一、利用直角坐标系计算三重积分,“先一后二”,（一）先投影，再确定上、下面,c1,c2,.,“先二后一”,（二）截面法,c1,c2:向 z 轴的投影区间,Dz:过 zc1,c2且垂于z轴的平面截 得到的截面,M(x,y,z)M(r,z),z,r,P(x,y,0),x,y,z,柱面坐标 M(x,y,z),M(r,z),z=z,.,.,二、利用柱面坐标计算三重积分,dr,r,rd,d,z,底面积：r drd,元素区域由六个坐标面围成：,半平面 及+d;半径为 r 及 r+dr 的圆柱面；平面 z及 z+dz；,dz,dV=,.,柱面坐标下的体积元素,.,dV,M(x,y
3、,z)M(r,),r,P,y,x,z,.,.,.,球面坐标,三、利用球面坐标计算三重积分,r,dr,d,x,z,y,0,d,rd,元素区域由六个坐标面围成：,rsind,球面坐标下的体积元素,.,半平面 及+d；半径为r及r+dr的球面；圆锥面及+d,r 2 sin,drdd,dV,dV=,(一)平面区域的面积,设有平面区域D,(二)体积,设曲面方程为,则D上的曲顶柱体体积为:,则其面积为:,占有空间有界域的立体的体积为:,重积分在几何上的应用,曲面S的面积元素,曲面S的面积公式,(三)曲面的面积,(1)平面薄片的质心,三、重积分在物理上的应用,(一)质(重)心,(2)空间物体的重心,设物体占
4、有空间域,有连续密度函数,重心,(1)平面薄片的转动惯量,(二)转动惯量,(2)空间物体的转动惯量,则转动惯量为,设物体占有空间域,有连续密度函数,设物体占有空间区域V,体密度为,区域 V 之外有一质量为 m 的质点 A(a,b,c),求物体 V 对质点 A 的引力.,(三)引力,于是引力F在三个坐标方向上的分量为,其中G为万有引力系数，,例1,解,利用球面坐标,例题,（画图）,1,化为球系下的方程,r=2 cos,.,M,.,r,画图,1,1,Dxy,Dxy:,x=0,y=0,x+2y=1 围成,1,.,.,.,例2：,x+2y+z=1,Dxy,I=,1,1,Dyz,.,.,.,例3：,x+y+z=1,I=,解,直接积分困难，考虑改变积分次序,例4,解,例5,解,例6,解,Dxy,解,例7,法1,先二后一,法2,解,例8,计算,其中,是由抛物面,和球面,所围成的空间闭区域.,a,例9,D,S=,D:,.,.,.,例10,.,.,.,例10,解,S=,球面坐标,a,.,.,.,用哪种坐标？,r=a,.,例11,例12 计算极限,其中,具有连续导数,且,解:,测 验 题,作业,(118页),自测题8,5.6.7.9.,
