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1、第六章 定积分的概念及应用,第一节 定积分的概念,第二节 平面图形的面积,第三节 体积,数学分析电子教案 西电科大,第四节 平面曲线弧长,第五节 功、水压力和引力,第六节 平均值,习题课,数学分析电子教案 西电科大,例1 求曲边梯形的面积,一、问题的提出（引例）,中学学习过：三角形，圆形，矩形，平行四边形，梯形等规则图形面积的计算。,那么不规则图形的面积怎么来求呢?,下面将介绍任一图形面积的计算方法，例如：,第一节 定积分的概念,X,A,a,b,a,b,A2,a,b,曲边梯形（三条直边，一条曲边）,0,y,面积 A=A1-A2,故问题为求出两个曲边梯形的面积,如何去求曲边梯形的面积呢？下面将展
2、开讨论：,1,第一节 定积分的概念,设一曲边梯形由直线x=a,x=b,y=0及曲线,解：step1：分割 在a,b中任意插入n-1个分点,把a,b分成n个小区间xi-1,xi(i=1n),区间长度为,(i=1n),所围成，求面积A,其中f(x)在a,b上连续。,step2:近似,step3:求和,第一节 定积分的概念,step4:取极限,第一节 定积分的概念,用矩形面积近似取代曲边梯形面积,显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积,第一节 定积分的概念,例2（求变速直线运动的路程）,思路：把整段时间分割成若干小段，每小段上速度看作不变，求出各小段的路程再相加，便得到路程的近似值，最后通过
3、对时间的无限细分过程求得路程的精确值,第一节 定积分的概念,（1）分割,（2）求和,（3）取极限,路程的精确值,第一节 定积分的概念,上面两例可以看出：,两个不同问题所求的量，,采用了同样的计算方法，最终都归结为具有相同结构的和式极限。,抛开这些问题的具体意义，在,数学上就抽象出定积分的概念。,第一节 定积分的概念,二、定积分的定义,定义,第一节 定积分的概念,记为,积分上限,积分下限,积分和,积分符号,第一节 定积分的概念,注意：,由定积分定义，例1，例2分别为：,1。极限存在指：任意分割，任一取点，和式极限存在且相等。,2。定积分是个数，与积分变量的符号无关，,即,3。规定：,4。,错误！
4、为什么？,第一节 定积分的概念,定理1,定理2,三、存在定理,且只有有限个间断点,（第一类间断点），,第一节 定积分的概念,曲边梯形的面积,曲边梯形的面积的负值,四、定积分的几何意义,曲边梯形面积的代数和,如图：,第一节 定积分的概念,五、小结练习,定积分的实质：特殊和式的极限,定积分的思想和方法：,第一节 定积分的概念,练习,例1,解：由几何意义,例2,计算：,计算：,解：如图,第一节 定积分的概念,例3,利用定义计算,解：,1。将0，1n等分，,2。,3。求和,4。,即,第一节 定积分的概念,例4,解：,第一节 定积分的概念,一.直角坐标系情况,所围图形面积，如图:,解:1。画图，求出交点
5、；,2。选积分变量，,3。,4。,特别的:,曲边梯形面积,第二节 平面图形的面积,第二节 平面图形的面积,例1.,解:画图，求得交点(-1,1)及(3,9),例2.,解:画图，求得交点(2,-2)及(8,4),选为积分变量，则,问:若选x为积分变量如何？,第二节 平面图形的面积,二.参数方程情况,例3.,解:由对称性,一般的，,第二节 平面图形的面积,例4.,解:,第二节 平面图形的面积,三.极坐标情况,解:1。,2。,3。,第二节 平面图形的面积,例5.,解:,另解:,第二节 平面图形的面积,一.旋转体的体积,定义:由一个平面图形绕平面内一条直线旋转一周而成的立体，叫旋转体。,第三节 体积,
6、第三节 体积,以上旋转体的体积在中学已经会计算，下面讨论一般的旋转体的体积。,例1.,解:1。,2。,3。,下面将结论推广:,第三节 体积,如图:,类似的，若旋转体是曲边梯形绕y轴旋转而成的,y=f(x),y=g(x),第三节 体积,例2.,解:(1)绕x轴,(2)绕y轴,第三节 体积,例3.,解:(1)绕x轴旋转,第三节 体积,(2)绕y轴旋转,第三节 体积,(2)绕y=2a旋转,所求体积即是中间喇叭状的体积,第三节 体积,二.平行截面面积为已知的立体体积,如图，,解:1。,2。,3。,第三节 体积,例4.,解:建立坐标如图，,第三节 体积,定积分概念的出现和发展都是由实际问题引起和推动的。
7、因此定级分得应用页非常广泛。本章主要介绍几何上，物理上实际问题的应用，例如：计算平面图形面积，曲线弧长，旋转体体积，引力，做功等。,基本思想：,实际问题所求量Q,转化为,求Q=,(积分模型),转化方法：,元素法（或微元法），即从局部到整体,微元法,为了说明小元素法，我们先来回顾一下曲边梯形面积转化为定积分的计算过程。,step1.分割：任意划分a,b为n个小区间,step2.近似：,第一节 定积分的元素法(或微元法),微元法,step3.求和：,step4.取极限：,分析：,在上述问题注意到:所求量(即面积)A满足：,1。与区间a,b及a,b上连续函数f(x)有关;,2。对a,b具有可加性，,
8、3。,实际上，引出A的积分表达式的关键步骤是第二步，因此求解可简化如下：,微元法,step1:选取积分变量及积分区间（如x属于a,b）,step2:取微区间x,x+dx 求出,step3:,这种方法称为定积分的元素法或微元法。,微元法,一般的，如果某一实际问题中所求量Q符合条件:,1。Q是与某一变量x的变化区间a,b有关的量；,2。Q对于a,b区间具有可加性；,3。局部量,那么，将Q用积分来表达的步骤如下:,step1.选取积分变量及积分区间,step2.取微区间x,x+dx，求出,step3.,微元法,例1.,写出长为l的非均匀细直棒质量的积分表达式,任一点的线密度是长度的函数。,解:建立坐
9、标如图,o,x,l,x,x+dx,则任意一点的密度为,step1.,step2.,step3.,下面用微元法讨论定积分在几何，物理中的一些应用。,微元法,一、曲线弧长概念,（1）分割:,（2）近似:,（3）求和:总弧长,（4）取极限:若极限,图1,第四节 弧长,第四节 弧长,二、直角坐标情况,解:（图一）,第四节 弧长,解:,第四节 弧长,解：,第四节 弧长,三、参数方程情况,第四节 弧长,解:,第四节 弧长,四、极坐标情况,第四节 弧长,解:,第四节 弧长,一、变力沿直线所作的功,例1:,第五节 功、水压力和引力,第五节 功 水压力和引力,解:,a处的电位（场强）,称为电场在,第五节 功 水
10、压力和引力,例2:,解:建立坐标如图,第五节 功 水压力和引力,注:若建立坐标如右图，则计算较烦,第五节 功 水压力和引力,二、水压力（液体的侧压力）,解:,第五节 功 水压力和引力,例3:,解:建立坐标如图,第五节 功 水压力和引力,例4:若在例3中水位为6m时，侧压力为多少？,解:建立坐标如图,第五节 功 水压力和引力,第五节 功 水压力和引力,三、引力,例5:,第五节 功 水压力和引力,解:建立坐标如图,第五节 功 水压力和引力,一、函数的平均值,例:,解:,第六节 平均值,第六节 平均值,二、均方根,定义:函数平方的平均值的开方成为均方根。,如:,例如:非恒定电流的电器上标明的电流值就
11、是指电 流的均方根。,第六节 平均值,例:,解:,第六节 平均值,小结:,1、几何应用:面积,旋转体,已知平面截 面立体体积,平面曲线弧长,2、物理应用:做功,侧压力,引力,3、平均值,均方根,定积分习题课,定积分习题课,例1:,解:画图，求出交点,定积分习题课,例2:,解:,定积分习题课,例3:,解:,定积分习题课,定积分习题课,例4:,解:,方法一:,定积分习题课,方法二:,定积分习题课,例5:,解:,定积分习题课,例6:,解:,定积分习题课,例7:,解:建立坐标如图,定积分习题课,方向:指向圆弧中点,定积分习题课,例8:洒水车上水箱是一横放的椭圆柱体（如图），当水箱装满水时，计算水箱的一个端面所受的 压力。,解:取截面,建立坐标如图,定积分习题课,定积分习题课,例9:半径为r的球沉入水中,球的上部与水相切,球 的比重与水相同。现将球从水中取出,需做功?,解:建立坐标如图,定积分习题课,例10:,解:,定积分习题课,定积分习题课,例11:,解:,定积分习题课,
