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1、 2 反常积分的收敛判别法,一. 无穷限积分收敛的Cauchy准则:,定理8.2.1 (Cauchy收敛原则),反常积分 收敛,绝对收敛,收敛而不绝对收敛的无穷积分为条件收敛.,绝对收敛收敛，反之不成立,反例,二 非负函数无穷积分判敛法:,比较判别法,比较判敛法的极限形式:,推论(比较判敛法的极限形式) 设在区间 上函数 则 同敛散 : ,Cauchy判敛法:,在比较判敛法中, 以 为比较对象, 即取则得到以下的Cauchy判敛法. 以下取 a 0 .,定理8.2.3 (Cauchy判敛法 ) 设 在 上恒有 为正常数. (1) 若 (2) 若,例 讨论,的敛散性.,推论(Cauchy判敛法的
2、极限形式) 设是在 上恒有 且 则 (2),Cauchy判敛法的极限形式:,例 讨论积分 的敛散性.,比较判别法是对所给的被积函数做适当的放大(如果预判为收敛)或缩小(如果预判为发散),将不易判别的函数转化成易于判定敛散性的函数甚至是已知敛散性的函数,所谓适当，即是放大后的无穷积分应为收敛的，而缩小后的无穷积分应为发散的,对于简单的函数进行适当的放大或缩小是可能的，但若被积函数比较复杂,则要适当放缩就不易了，可用极限形式的判别法,三. 一般函数反常积分的收敛判敛法:,定理8.2.4 ( 积分第二中值定理) 设函数 f(x) 在区间a,b上可积 , g(x) 在 a,b 上单调. 则 使,证 只
3、就函数f(x) 在区间a,b上连续 , g(x) 在 a,b上可导的特殊情况施证.,若g(x) 在 a,b 上单调增加, 且 则 使 若g(x) 在 a,b单调减少, 且 则 使,积分第二中值定理的特例:,Abel 判别法: 设积分 收敛 , g(x) 在 a,b 上单调有界, 则积分 收敛.,Dirichlet 判别法: 设 在区间 上有界, g(x) 在 a,b 上单调有界且 , 则积分 收敛.,Abel 判别法和Dirichlet 判敛法统称为 AD 判别法。,定理8.2.5,例 讨论积分 的敛散性.,例 讨论积分 的敛散性.,四. 无界函数反常积分收敛判敛法:,无穷区间反常积分的结论都
4、可以平行地用于无界函数的反常积分. 以只有一个奇点 为例, 列出相应的结果如下:,定理8.2.1 (Cauchy收敛原则) 反常积分 收敛,定理8.2.3 (Cauchy判敛法) 设在a,b)上有 若当x 属于b 的某个左邻域 时, 存在正常数K, 使 (1) 若 (2) 若,推论(Cauchy判敛法的极限形式) 设在 上恒有 且 则 (2),定理 8.2.5 (1) Abel 判别法: 设积分 收敛, g(x) 在 a,b 上单调有界, 则积分 收敛.,Dirichlet 判别法: 设 在区间 上有界, g(x) 在 a,b) 上单调有界且 , 则积分 收敛.,例 讨论积分 的敛散性.,例 证明积分 当 时收敛.,例：讨论反常积分 的敛散性：,
