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1、重积分,第二节 二重积分的计算方法,第二节 二重积分的计算方法,一.在直角坐标系中的计算方法,在直角坐标系中,用平行于坐标轴的直线将积分区域D分成n份小矩形,可知:,利用几何意义-曲顶柱体的体积 研究其计算方法:,将曲顶柱体看作已知平行截面面积的立体,利用定积分计算.,化成两次定积分,1.设,X型域,先对y后对x的二次积分,在D内任取一点x,作平行于 yoz 面的截面.,曲边梯形,A(x),2.设,Y型域,同理可得:,先对x后对y的二次积分,注:(1).如果D 既是X 型域又是Y 型域,则,(2).如果D 既不是X 型域又不是Y 型域,则用平行于坐标轴的 直线将D 分成若干子域,利用积分的可加
2、性进行计算.,选择积分域和积分次序是计算的关键,例如:,分块越少越好,积分要易于计算,解一：,解二：,解一:,X 型域,解二:,Y 型域,解一:,Y型域,解二:如果选择 X 型域,需要将 D 分成两部分,显然复杂.,分块越少越好,如果先对 y 积分,无法进行,因此先对 x 积分,积分要易于计算,例6.交换积分次序:,二.在极坐标系中的计算方法,在极坐标系中,设D的边界与过极点的射线相交不多于两点,化成两次定积分,用过极点的射线和以极点为圆心的圆周将D分成若干子域,如图可知:,基本类型:,(2).如果D是曲边扇形:,(3).如果D包含极点:,注:(1).只研究先对 后对 的积分次序;,例6 计算,例7 计算,此题若采用直角坐标系方法无法积分,注意:下列情形适合用极坐标计算:,(1).积分区域适于极坐标表示,例如:圆,圆环;,(2).被积函数形如;,(3).用直角坐标系计算不出时.,例8.化为极坐标形式:,难题解析,
