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1、7.2.1 利用直角坐标 计算二重积分,Double integrals in rectangular coordinates,The Type I Region,D,a,b,x,X型区域,X型区域,The Type II Region,D,c,d,y,Y型区域,X型&Y型,X型，非Y型,非X型，非Y型,划分为若干X型区域,(1)X型区域上的二重积分,X型区域,求二重积分,回忆：,求立体体积的“切片法”,已知：平行截面的面积,则立体的体积为：,x 视为常数,二次积分,累次积分,Iterated integral,积分次序：,视为常数,先 y,后 x,第一次积分中，将 x 视为常数，对 y 积分
2、（偏积分）,(2)Y型区域上的二重积分,Y型区域,求二重积分,y 视为常数,二次积分,积分次序：先 x 后 y,视为常数,积分次序：,先 x,后 y,第一次积分中，将 y 视为常数，对 x 积分（偏积分）,矩形区域,先 y 后 x,先 x 后 y,(3)矩形区域上的二重积分,Fubinis Theorem,Fubinis Theorem,特别地，如果,即分别计算两个定积分，再相乘,（3）定限：确定两次定积分的上限和下限，将二重积分化为二次积分；,计算二重积分的步骤,（1）作图：作出积分区域 D 的图形；,（2）确定积分次序：根据 D 的类型，选择方便、可行的积分次序：,X型：先 y 后 x,Y
3、型：先 x 后 y,X型&Y型：选择方便、可行的次序,（4）计算：计算二次积分。,Example,Find,解 利用公式,第一次积分中，将 x 视为常数，对 y 积分,另解,解,第一次积分中，将 y 视为常数，对 x 积分,视D为Y型区域：先 x 后 y,解,X型区域,另解,Y型区域,将D视为Y型区域：,例,计算,解,作图,交点：(1,1),quxian:=implicitplot(y=1/x,x=0.1.2.22,y=0.2.2,thickness=3,scaling=constrained):x_axis:=implicitplot(y=0,x=-0.4.2.55,y=-0.1.0.1,t
4、hickness=3,scaling=constrained,color=black):y_axis:=implicitplot(x=0,x=-0.1.0.1,y=-0.1.2.2,thickness=3,scaling=constrained,color=black):display(quxian,x_axis,y_axis);,(1/2,2),(2,2),比较麻烦,按X型区域定限,按Y型区域定限,此题按Y型区域定限较简单,例,计算,解,quxian:=implicitplot(y2=2*x+6,x=-4.6,y=-5.5,thickness=3,scaling=constrained):x
5、_axis:=implicitplot(y=0,x=-4.6,y=-0.1.0.1,thickness=3,scaling=constrained,color=black):y_axis:=implicitplot(x=0,x=-0.1.0.1,y=-5.5,thickness=3,scaling=constrained,color=black):display(quxian,x_axis,y_axis);,作图,求交点：,quxian:=implicitplot(y2=2*x+6,x=-4.6,y=-5.5,thickness=3,scaling=constrained):x_axis:=i
6、mplicitplot(y=0,x=-4.6,y=-0.1.0.1,thickness=3,scaling=constrained,color=black):y_axis:=implicitplot(x=0,x=-0.1.0.1,y=-5.5,thickness=3,scaling=constrained,color=black):display(quxian,x_axis,y_axis);,宜按Y型区域定限,改变积分次序,将已知二次积分的积分次序改变成另一积分次序,Reversing the order of integration,改变积分次序的步骤,根据所给的二次积分上、下限画出积分区域
7、 D 的图形；,2.将 D 视为另一类型的区域，重新定限,解,X型区域,Y型区域,根据所给的二次积分上下限画出积分区域D的图形,将D视为另一类型的区域,重新定限,改变积分次序：,Y型区域,X型区域,原积分,合并,计算二次积分,解,若先积分,则“积不出”,原函数不是初等函数,常见的“积不出”的积分：,在二重积分中不要先去碰这些积分,怎么办？,改变积分次序，避开这个“积不出”的积分,X型,Y型,这下好办了！,视为常数！,例,圆环区域用直角坐标定限十分复杂,利用积分区域的对称性和被积函数的奇偶性计算二重积分,回忆：,二重积分有类似的结论,若D关于 y 轴(x=0)对称,当 f(x,y)关于 x 为奇
8、函数,当 f(x,y)关于 x 为偶函数,f(x,y)关于 x 为奇函数：,f(x,y)关于 x 为偶函数：,则,若D关于 x 轴(y=0)对称,当 f(x,y)关于 y 为奇函数,当 f(x,y)关于 y 为偶函数,f(x,y)关于 y 为奇函数：,f(x,y)关于 y 为偶函数：,则,若D关于 x 轴 和 y 轴都对称,且 f(x,y)关于 x 和 y 均为偶函数,则,若D关于直线 y=x 对称,且 f(x,y)关于 x 和 y 对称：,则,题,解,关于 x 轴和 y 轴均对称,关于 x 为奇函数,关于 y 为奇函数,只有D关于坐标轴对称而被积函数没有与之匹配的奇偶性则不能利用相应的公司,分段函数的二重积分,（B）题11,
