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1、工程力学 第九章,弯曲内力,中国石油大学（北京）,2,弯曲内力,3,力学主要概念,外力：面积力，体积力，集中力，力偶（进而求出支反力）内力：轴力FN（N）、剪力FQ（Q）、弯矩M(画在受拉一侧)应力内力集度：正应力，剪应力应变：正应变 剪应变位移（变形）：u、v联系外力和支座反力是平衡方程联系外力和内力也是平衡方程内力应力，物理综合联系应力和应变是物理方程联系应变和位移是几何方程,主要方程平衡方程物理方程几何方程,4,一、弯曲的概念,1.弯曲:杆受垂直于轴线的外力或外力偶矩矢的作用时,轴线变成了曲线，这种变形称为弯曲。,2.梁：以弯曲变形为主的构件通常称为梁。,弯曲的概念和实例,5,3.工程实
2、例,弯曲的概念和实例,6,弯曲的概念和实例,7,弯曲的概念和实例,8,4.平面弯曲：杆发生弯曲变形后，轴线仍然和外力在同一 平面内。,对称弯曲（如下图）平面弯曲的特例。,弯曲的概念和实例,9,非对称弯曲 若梁不具有纵对称面，或者，梁虽具有纵对称面但外力并不作用在对称面内，这种弯曲则统称为非对称弯曲。下面几章中，将以对称弯曲为主，讨论梁的应力和变形计算。,弯曲的概念和实例,10,二、梁的计算简图,梁的支承条件与载荷情况一般都比较复杂，为了便于分析计算，应进行必要的简化，抽象出计算简图。,1.构件本身的简化 通常取梁的轴线来代替梁。,2.载荷简化 作用于梁上的载荷（包括支座反力）可简化为三种类型：
3、集中力、集中力偶和分布载荷。,3.支座简化,弯曲的概念和实例,11,固定铰支座 2个约束，1个自由度。如：桥梁下的固定支座，止推滚珠轴承等。,可动铰支座 1个约束，2个自由度。如：桥梁下的辊轴支座，滚珠轴承等。,弯曲的概念和实例,12,固定端 3个约束，0个自由度。如：游泳池的跳水板支座，木桩下端的支座等。,4.梁的三种基本形式,简支梁,悬臂梁,弯曲的概念和实例,13,外伸梁,5.静定梁与超静定梁,静定梁：由静力学方程可求出支反力，如上述三种基本 形式的静定梁。超静定梁：由静力学方程不可求出支反力或不能求出全部支反力。,弯曲的概念和实例,14,例1贮液罐如图示，罐长L=5m，内径 D=1m，壁
4、厚t=10mm，钢的密度为：7.8g/cm，液体的密度为：1g/cm,液面高0.8m，外伸端长 1m，试求贮液罐的计算简图。,解：,弯曲的概念和实例,15,弯曲的概念和实例,16,一、弯曲内力：,举例已知：如图，P，a，l。求：距A端x处截面上内力。,l,A,A,B,B,解：求外力,梁的剪力和弯矩,17,求内力截面法,A,Q,M,M,Q,弯曲构件内力,1.弯矩：M 构件受弯时，横截面上其作用面垂直于截面的内力偶矩。,C,C,梁的剪力和弯矩,18,2.剪力：Q 构件受弯时，横截面上其作用线平行于截面的内力。,3.内力的正负规定:,剪力Q:绕研究对象顺时针转为正剪力；反之为负。,弯矩M：使梁变成凹
5、形的为正弯矩；使梁变成凸形的为负弯矩。,Q(+),Q(),Q(),Q(+),M(+),M(+),M(),M(),梁的剪力和弯矩,19,例2：求图（a）所示梁1-1、2-2截面处的内力。,解：截面法求内力。1-1截面处截取的分离体 如图（b）示。,图（a）,Q1,A,M1,图（b）,梁的剪力和弯矩,20,2-2截面处截取的分离体如图（c）,图（a）,q,Q2,B,M2,图（c）,梁的剪力和弯矩,21,1.内力方程：内力与截面位置坐标（x）间的函数关系式。,2.剪力图和弯矩图：,梁的剪力和弯矩,22,例3 求下列各图示梁的内力方程并画出内力图。,解：求支反力,写出内力方程,P,YO,L,根据方程画
6、内力图,Q(x),M(x),x,x,P,PL,梁的剪力和弯矩,23,解：写出内力方程,根据方程画内力图,L,q,Q(x),x,qL,梁的剪力和弯矩,24,解：求支反力,内力方程,q0,RA,根据方程画内力图,RB,x,梁的剪力和弯矩,25,一、剪力、弯矩与分布荷载间的关系,对dx 段进行平衡分析，有：,q(x),q(x),M(x)+d M(x),Q(x)+d Q(x),Q(x),M(x),dx,A,y,剪力图上某点处的切线斜率等于该点处荷载集度的大小。,剪力、弯矩与分布荷载集度间的关系及应用,26,q(x),M(x)+d M(x),Q(x)+d Q(x),Q(x),M(x),dx,A,y,弯矩
7、图上某点处的切线斜率等于该点处剪力的大小。,弯矩与荷载集度的关系是：,剪力、弯矩与分布荷载集度间的关系及应用,27,外力,无外力段,均布载荷段,集中力,集中力偶,Q图特征,M图特征,水平直线,斜直线,自左向右突变,无变化,斜直线,曲线,自左向右折角,自左向右突变,与m反,剪力、弯矩与分布荷载集度间的关系及应用,28,简易作图法:利用内力和外力的关系及特殊点的内力值来作 图的方法。,例4 用简易作图法画下列各图示梁的内力图。,解:利用内力和外力的关系及 特殊点的内力值来作图。,特殊点:端点、分区点（外力变化点）和驻点等。,剪力、弯矩与分布荷载集度间的关系及应用,29,左端点：,分区点A：,M 的
8、驻点：,右端点：,Q,x,x,M,剪力、弯矩与分布荷载集度间的关系及应用,30,例5 用简易作图法画下列各图示梁(L=3a)的内力图。,解：求支反力,左端点A：,B点左：,B点右：,C点左：,M 的驻点：,C点右：,右端点D：,q,qa2,qa,RA,RD,Q,x,qa/2,qa/2,qa/2,A,B,C,D,qa2/2,x,M,qa2/2,qa2/2,3qa2/8,剪力、弯矩与分布荷载集度间的关系及应用,31,一、叠加原理：多个载荷同时作用于结构而引起的内力等于每个载荷单独作用于结构而引起的内力的代数和。,适用条件：所求参数（内力、应力、位移）必然与荷载满 足线性关系。即在弹性限度内满足虎克
9、定律。,按叠加原理作弯矩图,32,二、材料力学构件小变形、线性范围内必遵守此原理 叠加方法,步骤：分别作出各项荷载单独作用下梁的弯矩图；将其相应的纵坐标叠加即可（注意：不是图形的简单拼凑）。,按叠加原理作弯矩图,33,例6按叠加原理作弯矩图(AB=2a，力P作用在梁AB的中点）,q,P,P,=,+,A,A,A,B,B,B,=,+,按叠加原理作弯矩图,34,三、对称性与反对称性的应用：对称结构在对称载荷作用下，Q图反对称，M图对称；对称结构在反对称载荷作用下，Q图对称，M图反对称。,按叠加原理作弯矩图,35,例7 作下列图示梁的内力图。,P,PL,PL,0.5P,0.5P,0.5P,0.5P,P
10、,0,0.5P,0.5P,0.5P,P,按叠加原理作弯矩图,36,P,PL,PL,0.5P,0.5P,0.5P,0.5P,P,0,M,x,M1,x,M2,x,0.5PL,PL,0.5PL,0.5PL,按叠加原理作弯矩图,37,例8 改内力图之错。,a,2a,a,q,qa2,A,B,Q,x,x,M,qa/4,qa/4,3qa/4,7qa/4,qa2/4,49qa2/32,3qa2/2,5qa2/4,按叠加原理作弯矩图,38,例9 已知Q图，求外载及M图（梁上无集中力偶）。,Q(kN),x,1m,1m,2m,2,3,1,5kN,1kN,q=2kN/m,M(kNm),x,1,1,1.25,按叠加原理
11、作弯矩图,39,一、平面刚架,1.平面刚架：同一平面内，不同取向的杆件，通过杆端相 互刚性连接而组成的结构。特点：刚架各杆的内力有：Q、M、N。,2.内力图规定：剪力图及轴力图：可画在刚架轴线的任一侧（通常正值画在刚架的外侧），但须注明正、负号。弯矩图：画在各杆的受拉一侧，不注明正、负号。这个规定是为了与结构力学对应，书中弯矩画在受压一侧，学生作题的时候，如果弯矩画在受拉一侧，不必注明；如果画在受压一侧，必须注明弯矩画在受压一侧,平面刚架和曲杆的内力图,40,例10 试作图示刚架的内力图。,P1,P2,a,l,A,B,C,N 图,Q 图,M 图,P1a+P2 l,平面刚架和曲杆的内力图,41,
12、二、曲杆：轴线为曲线的杆件。内力情况及绘制方法与平面刚架相同。,例11 已知：如图所示，P及R。试绘制Q、M、N 图。,P,解：建立极坐标，O为极点，OB 极轴，q表示截面mm的位置。,A,B,平面刚架和曲杆的内力图,42,P,A,B,M图,Q图,N图,2PR,P,P,平面刚架和曲杆的内力图,43,一、内力的直接求法：求任意截面 A上的内力时，以 A 点一侧部分为研究对象，用平衡方程计算内力,弯曲内力习题课,剪力、弯矩与分布荷载间的关系：,q(x),44,二、简易作图法:利用内力和外力的关系及特殊点的内力值来作图的方法。,弯曲内力习题课,45,三、叠加原理：多个载荷同时作用于结构而引起的内力等
13、于每个载荷单独作用于结构而引起的内力的代数和。,四、对称性与反对称性的应用：对称结构在对称载荷作用下，Q图反对称，M图对称；对称结构在反对称载荷作用下，Q图对称，M图反对称。,弯曲内力习题课,46,外力,无外力段,均布载荷段,集中力,集中力偶,Q图特征,M图特征,水平直线,x,Q,Q0,Q,Q0,x,斜直线,增函数,x,Q,x,Q,降函数,x,Q,C,Q1,Q2,Q1Q2=P,x,Q,C,自左向右突变,无变化,斜直线,x,M,增函数,x,M,降函数,x,M,x,M,x,M,x,M,曲线,坟状,盆状,自左向右折角,折向与P反向,M1,M2,自左向右突变,与m反,弯曲内力习题课,47,例1 绘制下
14、列图示梁的弯矩图。,=,+,=,+,2Pa,2Pa,Pa,(1),弯曲内力习题课,48,(3),PL/2,=,+,=,+,PL/2,PL/4,PL/2,PL/2,弯曲内力习题课,49,(4),50kN,20kNm,=,+,=,+,20kNm,50kNm,20kNm,20kNm,20kNm,20kNm,30kNm,20kNm,弯曲内力习题课,50,第九章弯曲内力,作 业,刘鸿文材料力学第四版 习题：P.128 4-6，4-7c，4-9，4-13d,第四章弯曲内力,梁静定梁：由静力学方程可求出支反力超静定梁：由静力学方程不可求出支反力或不能求出全部支反力。梁的剪力和弯矩梁的内力有剪力和弯矩,任一截
15、面上的剪力和弯矩都可以表示为截面位置x的函数，称为剪力方程和弯矩方程剪力:绕研究对象顺时针转为正剪力；反之为负弯矩：使梁变成凹形的为正弯矩；使梁变成凸形的为负弯矩剪力图和弯矩图剪力图：剪力方程的几何表示弯矩图：弯矩方程的几何表示,载荷集度剪力弯矩之间的微分关系和积分关系,平面刚架：同一平面内，不同取向的杆件，通过杆端相互刚性连接而组成的结构。平面刚架特点：刚架各杆的内力有弯矩、剪力和轴力平面刚架内力图规定：弯矩图：画在各杆的受拉一侧，不注明正、负号。剪力图及轴力图：可画在刚架轴线的任一侧（通常正值画在刚架的外侧），但须注明正、负号。,习题4.6a图示组合梁BE段受到均布载荷作用,求支座A、B、
16、D的反力和DC中点的弯矩,解：本题结构为静定组合梁,以CE段为研究对象,CE梁通过铰接点C对AD的作用力,以AC段为研究对象,DC中点的弯矩,下沿受拉,习题4.6求支座反力和AD中点的弯矩,解：本题结构为静定组合梁,以BC段为研究对象,则AB梁在B点给BC向上的作用力是25kN,或者说则BC梁在B点给AB向下的作用力是25kN,以AB段为研究对象,AD中点的弯矩,习题4.7c求支座反力和EC中点的弯矩,解：此题为平面刚架,EC中点的弯矩,下沿受拉,习题4.13d载荷和几何尺寸如图所示，求支座反力和指定AB中点的弯矩。,解:本题结构为静定组合梁,以BD段为研究对象,AB梁在B点对BD梁的作用力,BD梁在B点对AB梁的作用力,以AB段为研究对象,上沿受拉,AB中点的弯矩,下沿受拉,
