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1、课前练习：的通解,在 连续，且满足 求f(t),答案：,2.知识点：1）二重积分（极坐标）；2）变上限求导；3）一阶线性方程求解；4）常数c的确定。,微分方程解题思路,一阶方程,分离变量法,齐次方程,公式法,常数变易法,10.5 二阶常系数线性微分方程,一、二阶常系数线性齐次方程,二、二阶常系数线性非齐次方程,10.5二阶常系数线性微分方程,标准形式,齐次线性方程的标准形式,非齐次线性方程的标准形式,一、二阶常系数线性齐次方程的通解,1.二阶齐次方程解的结构定理:,注意:常数，若 常数,证明时，应先证明y是解，然后说明是通解,定理也可描述为：,齐次方程（1）的通解是它的两个线性无关特解的线性组
2、合。,2、特征方程,故有,特征方程,将其代入上方程,思考：哪一类函数可能是方程（1）的解？,练习：写出下列微分方程的特征方程,得,满足特征方程的r值，构成的 就是方程（1）的解,特征方程,练习：写出下列微分方程的特征方程,特征方程（二次方程）的解称为特征根,特征根,并求特征根,3、解的形式,1.）有两个不相等的实根,方程(1)两个特解,常数，,得齐次方程的通解为,故两个特解，线性无关,如微分方程 的特征方程,特征根,通解：,2.）有两个相等的实根,一特解为,得齐次方程的通解为,3.）有一对共轭复根,利用欧拉公式得另一形式的两个根,得齐次方程的通解为,齐次方程（1）的通解公式：,例1,解,特征方
3、程为,特征根,故通解为,解,特征方程为,特征根,故通解为,例2,例3,解,特征方程为,特征根,故所求通解为,解,特征方程为,特征根,故所求通解为,例4：,注意这种类型，往往容易写成 错了！,练习,解,特征方程为,特征根,通解为,将 分别代入上两式，得：,故原方程所求特解为,作业：P405，3（1，2）4(3),小结,二阶常系数齐次微分方程求通解的一般步骤:,（1）写出相应的特征方程;,（2）求出特征根;（3）根据特征根的不同情况,得到相应的通解.,二、二阶常系数非齐次线性方程通解,1、解的结构定理:,非齐次的两个特解之差是齐次方程的解,证明:(同学们试一试),非齐次通解齐次通解非齐次特解,怎样求？,定理可简单描述为：,2、非齐次方程特解的求法试解函数检验法,根据非齐次项，假设其解函数，检验后，求出待定系数，得其特解。,试解函数Q(x),f(x),说明:1、不论f(x)是几项多项式,Q(x)必须是“同 次完全多项式”。,2、不论f(x)是否只含正弦、余弦，Q(x)都要设为其线性组合。,3、f(x)是两类函数乘积,Q(x)也是对应两类函数乘积,若有，则将试解函数乘以 x,再检验，直到没有同类项为止。,最后，将试解函数代入原方程，求各个待定系数。,检验：试解函数中是否与齐次通解有同类项？,练习：P406 6 写出特解的形式,
