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1、二、由参数方程所确定的函数的导数,一、隐函数的导数,2.4隐函数和参数方程求导,三、相关变化率,一、隐函数的导数,显函数与隐函数 形如yf(x)的函数称为显函数 例如 ysin x yln xex 都是显函数 由方程F(x y)0所确的函数称为隐函数,把一个隐函数化成显函数 叫做隐函数的显化,例如 方程xy310确定的隐函数为,隐函数的求导法 把方程两边分别对x求导数 然后从所得的新的方程中把隐函数的导数解出.,例1 求由方程eyxye0所确定的隐函数y的导数,(ey)(xy)(e)(0),即 eyyy+xy0,方程中每一项对x求导得,解,例2 求由方程y52yx3x70所确定的隐函数yf(x
2、)在 x0处的导数y|x0,因为当x0时 从原方程得y0 所以,5y4y2y121x60,方程两边分别对x求导数得,解,例3.求椭圆,在点,处的切线方程.,解:椭圆方程两边对 x 求导,故切线方程为,即,解,上式两边再对x求导 得,方程两边对x求导 得,y f(x)ln f(x)对数求导法适用于求幂指函数yu(x)v(x)的导数及多因子之积和商的导数,此方法是先在yf(x)的两边取对数 然后用隐函数求导法求出y的导数,设yf(x)两边取对数 得ln yln f(x)两边对x 求导 得,对数求导法,例5 求yx sin x(x0)的导数,解法二,这种幂指函数的导数也可按下面的方法求.,解法一,上
3、式两边对x 求导 得,两边取对数 得,ln ysin xln x,yx sin xe sin xln x,上式两边对x求导 得,说明 严格来说 本题应分x4 x1 2x3三种情况讨论 但结果都是一样的,例6,先在两边取对数 得,解,设xj(t)具有反函数tj-1(x)且tj-1(x)与yy(t)构成复合函数yyj-1(x)若xj(t)和yy(t)都可导 则,二、由参数方程所确定的函数的导数,解,再求速度的方向 设a是切线的倾角 则轨道的切线方向为,于是抛射体在时刻 t 的运动速度的大小为,x(t)=v1,y(t)=v2-gt,速度的水平分量与铅直分量分别为,先求速度的大小,解,讨论:已知xj(
4、t),yy(t)如何求y对x的二阶导数y?,例9.设,求,例10.设,且,求,解:,解:,的函数yf(x)的二阶导数,解,(t2np n为整数),三、相关变化率,为两可导函数,之间有联系,之间也有联系,称为相关变化率,相关变化率问题解法:,找出相关变量的关系式,对 t 求导,得相关变化率之间的关系式,求出未知的相关变化率,例12.一气球从离开观察员500 m 处离地面铅直上升,其速率为,当气球高度为 500 m 时,观察员,视线的仰角增加率是多少?,解:设气球上升 t 分后其高度为h,仰角为,则,两边对 t 求导,已知,h=500m 时,作业：p-110 习题2-4,1(1),(4);2;3(3),(4);4(2),(4);5(2);6;7(2);8(2),(4);9(2);10;12,
