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1、第十二章 弯曲变形,山西农业大学工学院,挠度：直梁发生弯曲变形时，其横截面的形心在垂直于弯曲前的轴线方向所产生的线位移，如下图所示。,在小变形情况下,第 12 章 弯曲变形,1.研究梁的挠度和转角的目的：,(1)对梁作刚度校核，即检查梁弯曲时的最大挠度是否超过按要求所规定的容许值；,(2)解超静定梁。如下图所示梁。,2.求梁位移的基本方法,根据挠曲线的近似微分方程式通过积分求挠度方程：w=w(x),和转角方程：,具体分析，在纯弯曲情况下：,观察下梁,纯弯曲情况下，M与所对应的挠曲线的曲率1/r的关系为：,(1),对于下图横力弯曲的梁有,由解析几何知识知：一根平缓的曲线w=w(x)，其曲率1/r
2、 近似地等于w(x)对于x的二阶导函数，即,(3),将(3)代入(2)，考虑到曲率半径总是正的，对图示坐标有,因此，对于某根具体的梁，只要列出它的弯矩方程M=M(x)，将其代入上式，对x连续积分后有：,利用梁的位移条件确定式中的积分常数，就得转角方程q=q(x)=w(x)和挠度方程 w=w(x)，从而也就可以求某个具体横截面处的转角和挠度了。,求图示悬臂梁的转角方程q=q(x)和挠度方程 w=w(x)，并求最大转角qmax及最大挠度 wmax。梁在竖直平面内弯曲时的抗弯刚度EI 为已知。,例题 12-1,解：,(1),(3)固定端处转角为零,即,则将C1=0，C2=0代入(3)、(4)式有,(
3、4),3.按叠加原理计算位移,为了方便，对于简单的梁在简单荷载作用下，其最大挠度和最大转角事先列出了他们的计算公式（教材和手册中可查到）。,利用这些公式可按叠加原理较方便地计算某些受力较复杂情况下梁的挠度和转角。,梁在线性弹性范围内工作，且变形微小,图示简支梁，求 wC 和 qB。,例题 12-2,由叠加原理得：,查表可知：,求下图B处的挠度和转角。,思考题 12-1,求图示等截面简支梁内的弯曲应变能，并求跨中截面C 的挠度wC。,例题 12-2,于是整个梁之弯曲应变能为：,(2)外荷载所作的功,因为 W=Ve，,故,得,此结果与采用积分法求解所得的结果一致！,超静定梁,工程实际中，为减少梁内
4、的应力和位移需要附加多余约束，这样就会产生多余未知力，如下图所示：,上图为二次超静定问题，亦即其不可单由平衡方程得出结果。,再如：,上图为“一次超静定问题”，其解同样也不能单由平衡方程求解得到，还需要变形相容条件，即：,求下图所示超静定梁A、B处的约束力及 qB、wC，并画出该梁的剪力图和弯矩图。,解：(1)求A、B处的约束力,设B处为多余约束，列补充方程：,例题 12-3,(3),将(2)，(3)式代入方程(1)有：,由,得,由,(2)绘剪力图和弯矩图：,(3)求：(叠加原理),(a),利用右图所示的相当系统,(b),则,从而有：,如下图所示梁，已知：E，I。求。,思考题 12-3参考答案,作剪力图和弯矩图。,思考题 12-4,由,得,思考题9-14参考答案：,A1B梁用A2C梁加固，两梁的EI相同，试求两接触处的压力。,思考题 12-5,上梁C 处：,因 为：,即：,求解得到：,思考题12-5参考答案:,*没有加固梁时设为 加固梁后设为,思考题 12-6,荷载 作用在梁AB及CD的连接处。试求每个梁在连接 处受多大的力。设已知它们的跨长比和刚度比分别为。,查表有：,思考题 12-6参考答案：,协调条件：,则：,求解：,第12章结束,
