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1、6 高 斯 公 式,一、高斯公式,定理,设空间闭区域,由分片光滑的闭曲面,所围成，,函数,在,则有,或,这里,取外侧，,为,上点,处的法向量的方向余弦。,证,先证：,(1),简单情形,这时，,：,(1),(2)一般情形,都是简单情形的,闭区域，,因此，在,上有(1)式成立，,即,两式左右相加，即得(1)式。,同理可证：,(2),(3),(2)(3)(1)三式左右相加，得,证毕。,例1 利用高斯公式计算,其中,为,所围成的,立体的整个边界曲面的外侧。,解,（高斯公式）,(柱坐标),例2 利用高斯公式计算,其中,为锥面,介于平面,及,之间的部分的下侧，,为,上点,处的法向量的方向余弦。,解,不是封
2、闭曲面，,不能直接应用高斯公式,添上一个面,（取上侧）,则,构成封闭曲面。,设,所围的闭区域为,.,由高斯公式得,(对称性),即,(,),取上侧,，,，,例3,设,在闭区域,上具有一阶、二阶连续偏导数，证明:,这里,为,沿,的外法线方向的,方向导数，,为,的边界曲面外侧。,证,设,的外法线的法向量,的方向余弦为,（高斯公式）,即,二、通量与散度,定义1,又,具有一阶连续偏导数，则称,为向量场,的散度，记为,即,给了向量场,高斯公式：,记向量场,又,则上式变为,(,),(,),这就是高斯公式的向量表示形式。,定义2,又,具有一阶连续偏导数，,为向量场,内的一片有向曲面，,为,上点,处的单位法向量，即：,则称,为向量场,沿曲面,的,指定一侧通过,的通量，,记为,，,即,给了向量场,说明,通量,当,是封闭曲面时，,可考虑用高斯公式来计算,.,练习题：,利用高斯公式计算,其中,为上半球面,的上侧。,练习题答案：,提示：,添加一个面,（取下侧）,使,构成封闭曲面，,从而，可在,上应用高斯公式，计算出,然后，再减去,即得所求积分。,作业：,P236,1(1)(3)(4),2(2),3(1),P228,3(3),4,
