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1、第三章经济系统的状态空间分析,第一节 离散时间函数与Z变换原理第二节 离散时间经济系统的描述第三节 离散时间经济系统的求解,第一节 离散时间函数与Z变换原理,3,一、离散时间函数,在离散时间系统中存在一个取整数值的变量k(k=0、1、2)，而系统中的其它变量随k的变化而变化，即为k的函数，表示为x(k)。,如：x(0)、x(1)、x(2)表示向量x(k)在k=0、1、2时的值，此时，K称为时间，X(K)称向量函数X在k时刻的值。,4,二、Z变换的定义和性质,解：,5,二、Z变换的定义和性质,6,1、线性定理,Z变化是一种线性变化,满足齐次性和叠加性,式中，c1、c2为任意常数，f1(k)、f2
2、(k)是任意的可求Z变化的 时间序列离散函数。,7,2时移定理（位移定理）,如果f(k)的Z变化是F(z)，则f(k+N)的Z变化为：,8,2时移定理（位移定理）,如果f(k)的Z变化是F(z)，则f(k+N)的Z变化为：,9,2时移定理（位移定理）,n=1、2、3,如果f(k)的Z变化是F(z)，则f(k+N)的Z变化为：,10,3初值定理,11,4终值定理,有了初值定理和终值定理可以在不求出Z反变换的条件下，得到f(k)的初值和终值。,12,例2：,解：,13,三、离散时间系统的控制元件,14,（1）向量延迟器,15,（2）向量函数发生器,特别注意函数关系,16,（3）矩阵增益放大器,17
3、,（4）向量求和器,第二节离散时间经济系统描述,19,一、离散系统的输入输出描述,20,设k为现在时刻，已知与现在时刻k相邻的前j个时刻的输出值y(k-1)、y(k-2)y(k-j)；已知现在时刻及与现在时刻相邻的前i个时刻的输入值u(k)、u(k-1)、u(k-2)u(k-i)；则可唯一地确定现在时刻k的输出值y(k)。,表达式含义：,21,线性定常输入输出方程,22,例1：储蓄贷款问题,某人每月初到银行存一定数量的钱，第k个月的存款额为u(k)元，银行每月支付利息的利率为i，按复利方式计息。求：该储户在第k个月初的本利和y(k)？,调查,23,解：,第k个月初的本利和y(k)的构成,24,
4、二、经济系统的状态空间描述,现代控制理论研究系统内部的变化特征，故提出下列概念：状态状态变量状态空间状态空间描述,1、状态：系统过去、现在和将来的运行状态。,25,2、状态变量,指能够用来描述系统状态的个数最少的一组变量。,n表示变量的个数,26,系统状态变量的特点：,（满足两个条件）,当初始状态给定，时，系统在输入u(k)作用下的行为就完全由状态变量确定。,对任何给定的时刻 k0，能表示系统在k0时刻的状态，称初始状态。,27,状态变量的表示：,28,3、状态空间,是以状态变量为坐标所构成的n维空间。,状态向量x(k)在给定时刻k0时的值x(k0)是状态空间中的一个点。,29,4、状态方程,
5、描述系统状态变量与输入变量之间关系的一阶差分方程组（离散时间系统）称为系统的状态方程。,5、输出方程,描述系统输出变量与系统状态变量和输入变量之间关系的代数方程称为输出方程。,30,6、状态空间描述,用状态空间法描述系统的“输入状态输出”,状态方程：x(k+1)=fx(k),u(k)输出方程：y(k)=gx(k),u(k),状态空间法既研究系统的内部结构又研究系统的外部作用。,31,注意：,对于同一个系统，状态空间的描述不是唯一的，即状态方程和输出方程可以有多种形式，但维数是相同的，它们反应同一个系统。,使用状态空间模型时，并不要求每一个状态分量都具有直接的经济解释。,32,线性定常离散时间系
6、统状态空间描述的标准模型：,x(k+1)=fx(k),u(k)=Ax(k)+Bu(k)系统的状态方程y(k)=gx(k),u(k)=Cx(k)+Du(k)系统的输出方程式中：x(k)时刻k的状态向量u(k)时刻k的输入向量，又称控制向量y(k)时刻k的输出向量，又称测量向量,33,线性定常离散时间系统,A称为系统矩阵，B称为输入矩阵，C称为输出矩阵，D称为前馈矩阵。,34,方框图,35,例1：五日移动平均价格原理,状态方程：,输出方程：,36,写成矩阵形式：,37,五日移动平均价格控制方框图,38,例2：动态乘数加速数模型,加速原理：是凯恩斯的继承者汉森对乘数原理的发展，研究了国民收入的增加对
7、投资的影响，即引致投资。,39,加速系数：,40,设：,Y(k)表示第k期的国民收入C(k)表示第k期的消费I(k)表示第k期的投资U(k)表示第k期的政府支出,政府收入的来源,41,四个变量之间有如下关系：,a加速系数，已知常数，a0，反应国民收入对投资的作用；b边际消费倾向，已知常数，0b1，表示消费对收入的比率；C0自发消费；I0 自发投资。,式中：,Y(k)=C(k)+I(k)+U(k),42,取状态变量：,状态变量的取法不惟一。,43,写成矩阵形式：,状态方程：,输出方程：,44,画结构图：,45,结论：,动态乘数加速数模型，是包含两个状态变量，一个输入变量和一个输出变量的线性定常离
8、散系统。,例宏观经济模型之一 经济学中萨缪尔森乘数加速模型。设y(k)，c(k)，I(k)，g(k)分别表示第k期的国民收入、消费水平、投资水平和政府财政支出。萨缪尔森乘数加速模型如下：,其中a，b为常数，a为加速数，b为边际消费倾向，a0,0b1.,该经济系统的输入为g(k)，输出为y(k)，将（1）的后两式代入第一式，整理得差分方程,上式为系统的输入输出方程。,如果取控制变量为u(k)=g(k)，状态变量x1(k)=c(k),x2(k)=I(k)，输出变量为y(k)，则该离散时间系统的状态空间描述为,48,三、输入输出描述和 状态空间描述的关系,区别：输入输出描述仅给出了系统的外部变换规律
9、；状态空间描述同时给出了系统的内部和外部的变换规律。,由于描述着同一个系统，故两者之间必然存在一定的联系。,49,状态空间描述与输入输出描述的转换,从状态方程和输出方程中,消去状态变量x(k)，得到系统的输入输出描述。,根据系统的输入输出描述求解系统的状态空间描述称之为系统的状态空间实现。,求出状态变量个数最少时的A，B，C，D，称为最小实现。,第三节线性离散时间系统的解,51,设有离散线性定常系统,解状态方程,问题的提出：,若已知系统的初始状态x(0)和所有时刻的输入u(k),k=0,1,2，要求系统任何时刻的y(k),k=0,1,2,52,一、迭代法求解差分方程,（1）首先讨论齐次解 令
10、u(k)0，k=0,1,2，不考虑输入,用迭代法：x(1)=Ax(0)x(2)=Ax(1)=A2x(0)x(3)=Ax(2)=A3x(0),k0，1，2,线性定常离散系统的齐次解,53,讨论：,a若x(0)=0，则x(k)0，k=0，1，2,b若k、L为任意时刻，且kL，则,54,(2)非齐次线性定常离散系统的解,假设系统有非零的输入u(k)，此时，系统的状态方程为,用迭代法：,55,(2)非齐次线性定常离散系统的解,系统对输入作用的响应,系统对初始状态的响应,56,子女上学费用：,按月存100元，年息3，1岁开始存，6岁上学使用。K512（月）U(k)=100元/月i=3%/12（月）Y(6
11、0)=(1+3%/12)Y(59)+100,如何计算？,57,用迭代法：,y(0)=0y(1)=（1.0025）y(0)+100y(2)=（1.0025）y(1)+100y(3)=（1.0025）y(2)+100y(4)=（1.0025）y(3)+100.y(60)=（1.0025）y(59)+100=6464.67 完毕,58,二、用Z变化法求解差分方程,设有：非齐次线性定常离散系统,初始条件为x(0)已知。,两边同时取Z变换：,移项整理得：,59,假设(zI-A)可逆，则:,求Z反变换：,二、用Z变化法求解差分方程,60,例1：x(k+1)-0.8x(k)=1，x(0)=2,解：取Z变换,代入初值合并，移项整理,得,求Z反变换，得到差分方程解的表达式为,61,例2：人口迁移问题,62,解：,则有：,初始条件：,63,写成矩阵形式：,64,用Z变化求方程的解:,65,用Z变化求方程的解:,66,用Z变化求方程的解:,67,齐次解为：,10年后，即k10时,B城2010年的人口数预计为2294万,68,第三章 小结（重点要求）,重点掌握的概念离散时间函数线性定常离散时间系统的求解离散时间系统控制元件重点理解的例题动态乘数-加速数模型重点训练的能力使用状态变量构建经济系统模型,69,谢 谢！,2023/6/26,
