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1、1.5 事件的独立性一、两事件独立,定义 1.5.1 设A、B是两事件，若 P(AB)P(A)P(B)则称事件A与B相互独立。,注：当P(A)0,式(1.4.3)等价于：P(B)P(B|A),从一付52张的扑克牌中任意抽取一张，以A表示抽出一张A，以B表示抽出一张黑桃,问:,定理、以下四件事等价(1)事件A、B相互独立；(2)事件A、B相互独立；(3)事件A、B相互独立；(4)事件A、B相互独立。,EX,二、多个事件的独立,定义2、若三个事件A、B、C满足：(1)P(AB)=P(A)P(B),P(AC)=P(A)P(C),P(BC)=P(B)P(C),则称事件A、B、C两两相互独立；,若在此基
2、础上还满足：(2)P(ABC)P(A)P(B)P(C),则称事件A、B、C相互独立。,注:两两独立未必相互独立!例:从分别标有1,2,3,4四个数字的4张卡片中随机抽取一张,以事件A表示“取到1或2号卡片”;事件B表示“取到1或3号卡片”;事件C表示“取到1或4号卡片”.则事件A,B,C两两独立但不相互独立.,一般地，设A1，A2，An是n个事件，如果对任意k(1kn),任意的1i1i2 ik n，具有等式 P(A i1 A i2 A ik)P(A i1)P(A i2)P(A ik)则称n个事件A1，A2，An相互独立。,设事件A、B、C、D相互独立，则,思考,一般地，设A1，A2，An是n个
3、事件，B1，B2，Bm是m个事件如果对任意k(1kn),任意的1i1i2 ik n，及任意l(1lm),任意的1 1j1j2 jl m，有 P(A i1 A i2 A ik B j1 B j2 B jl)P(A i1 A i2 A ik)P(B j1 B j2 B jl)则称事件组A1，A2，An与事件组B1，B2，Bm相互独立。此时事件函数F(A1，A2，An）与事件函数G(B1，B2，Bm)相互独立。,例如图，1、2、3、4、5表示继电器触点,假设每个触点闭合的概率为p,且各继电器接点闭合与否相互独立，求L至R是通路的概率。,n架轰炸机独立地飞往目标投弹.已知每架飞机能够飞到目标上空的概率
4、为p1,在目标上空投弹,命中目标的概率为p2.求目标被命中的概率.,EX,解:设Ai-第i架飞机命中目标,i=1,n;B-目标被命中.,第一章 小结,本章包括 六个概念:（随机试验、样本空间、事件、概率、条件概率、独立性）四个公式:（加法公式、乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式）和一个概型:（古典概型）,1.1 基本概念一、基本内容1.随机试验2.随机事件、样本点、样本空间3.事件间的关系及运算、运算律二、注意要点1.判断随机试验的三个条件2.事件间的关系及运算的定义要精确把握3.注意摩根律的使用三、应会做的题型1.给出一个随机试验应会写出样本点及样本空间2.会利用事件间的关系及运算化简复杂事件
5、,第一章 随机事件 习题课,一、内容回顾1.频率的定义及性质2.概率的定义及性质二、注意要点1.概率的统计背景2.对概率性质的把握三、应会做的习题会利用事件间的关系及运算、运算律化简复杂事件，并利用概率性质求概率,1.2 事件的概率,一、内容回顾1.古典概率模型定义2.古典概率的计算3.加法原理及乘法原理二、注意要点古典概率计算时，随机事件及样本空间包含的样本点数计算时所用的是排列还是组合必须一致三、应会做的习题简单古典概率的计算,1.3 古典概率模型,一、内容回顾1.条件概率的定义及性质2.条件概率的计算公式：a 在缩减的样本空间下的计算公式；b 在原来的样本空间下的计算公式3.乘法公式、全
6、概公式、贝叶斯公式二、注意要点1.条件概率也是概率，具有概率的一切性质2.注意计算条件概率的二种方法的合理使用3.乘法公式、全概公式、贝叶斯公式的使用场合三、会做的习题1.会判断所求概率是否为条件概率，并选择一种合适的方法计算之2.会判断使用乘法公式、全概公式、贝叶斯公式的场合、条件，正确使用之计算概率,1.4 条件概率,一、主要内容1.独立性的定义2.两个事件相互独立的四个等价命题3.随机事件组两两相互独立以及相互独立的定义4.随机事件组相互独立的等价命题二、注意要点1.独立性定义引入的意义2.事件之间是否独立是要根据实际问题的性质来判断的三、会做的习题1.会利用独立性及其等价命题简便计算复
7、杂事件的概率,1.5 事件的独立性,一.判断对错1.某种疾病的发病率为1%，则每100人必有一人发病2.A，B为两事件，则AB-A=B3.“A，B都发生”的对立事件是“A，B都不发生”4.P(A)0,P(B)0,若A，B互斥，则A，B不独立.5.若A=，则A与任何事件即互斥又相互独立.6.假如每个人的血清中含有肝炎病毒的概率为p，则由n个人的血清混合后的血清中含有肝炎病毒的概率为np.,课堂练习,二、填空,2.已知A与B相互独立，且互不相容则min(P(A),P(B)=(),1.设两个独立事件A和B都不发生的概率为1/9,A发生而B不发生的概率与B发生而A不发生的概率相等,则P(A)=().,
8、三、选择题,1.7若W表示昆虫出现残翅，E表示有退化性眼睛，且,求下列事件的概率：(1)昆虫出现残翅或退化性眼睛(2)昆虫出现残翅，但没有退化性眼睛(3)昆虫未出现残翅，也无退化性眼睛,四、计算题,一、课后习题部分,1.8设A、B是两个事件，,试问：(1)在什么条件下P(AB)达到最大值，最大值是多少？(2)在什么条件下P(AB)达到最小值，最小值是多少？,1.9 设P(A)=0.2,P(B)=0.3,P(C)=0.5,P(AB)=0,P(AC)=0.1,P(BC)=0.2,求事件A,B,C中至少一个发生的概率,1.10计算下列各题：,1.11把3个球随机地放入4个玻璃杯中，求有球最多的杯子中
9、球数是1，2，3的概率各是多少？,1.12 掷一颗匀称的骰子两次，求前后两次出现的点数之和是3，4，5的概率各是多少？,1.13 在整数0,1,2,9中任取三个数,求下列事件的概率:(1)三个数中最小的一个是5;(2)三个数中最大的一个是5,1.14 12个乒乓球中有四只是白色的,八只黄色的.现从这12只乒乓球中随机地取出两只,求下列事件的概率:(1)取到两只黄球;(2)取到两只白球;(3)取到一只白球,一只黄球,1.17 一批产品共20件,其中有5件次品,其余为正品.现从这20件产品中不放回地任意抽取三次,每次只取一件,求下列事件的概率:(1)在第一次第二次取到正品的条件下,第三次取到次品;
10、(2)第三次才取到次品;(3)第三次取到次品.,1.18 有两批相同的产品,第一批产品供14件,其中两件为次品,装在第一个箱子中;第二批有10件,其中有一件次品,装在第二个箱中.今在第一个箱中任意取出两件混入到第二箱中,然后再从第二箱中任取一件,求从第二箱中取到的是次品的概率.,1.19 某人决定去甲乙丙三国之一旅游.注意到这三国此季节内下雨的概率分别为1/2,2/3和1/2,他去这三国旅游的概率分别为1/4,1/4和1/2.请据此信息计算他旅游遇上雨天的概率是多少?,1.20 设男女两性人口之比为51:49,男性中的5%是色盲患者,女性中的2.5%是色盲患者.今从人群中随机地抽取一人,恰好是
11、色盲患者,求此人为男性的概率.,1.21 根据以往的临床记录,知道癌症患者对某种试验呈阳性反应的概率为0.95,非癌症患者对这试验呈阳性反应的概率为0.01.若被试验者患有癌症的概率为0.005,若某人对试验呈阳性反应,求此人患有癌症的概率.,1.22 仓库中有10箱同一规格的产品,其中2箱由甲厂生产,3箱由乙厂生产,5箱由丙厂生产,三厂产品的合格率分别为85%,80%和90%.(1)求这批产品的合格率(2)从这10箱中任取一箱,再从该箱中任取一件,若此件产品为合格品,问此件产品由甲乙丙三厂生产的概率各是多少?,1.23 甲乙丙三人独立地向同一目标各射击一次,他们击中目标的概率分别为0.7,0
12、.8,0.9,求目标被击中的概率.,1.24 在四次独立试验中,事件A至少出现一次的概率为0.5904，求在三次独立试验中，事件A出现一次的概率。,1 在数集1,2,3,100中随机地取一个数,已知取到的数不能被2整除,求它能被3或5整除的概率.,二、扩展习题部分,2 从5双不同的鞋子中任取4只，问这四只鞋子中至少有两只配成一双的概率是多少？,1.26 50只铆钉随机地取来用在10个部件上,其中有3只铆钉强度太弱.每个部件用3只铆钉.若将3只强度太弱的铆钉都装在一个部件上,则这个部件强度就不符合要求,问有一个部件强度不符合要求的概率是到少?,1.27 掷两颗骰子,已知两颗骰子点数之和为7,求其
13、中有一颗为1点的概率,1.28 根据以往的资料表明,一3口之家,患某种传染病的概率有以下规律:P(孩子得病)=0.6,P(母亲得病|孩子得病)=0.5,P(父亲得病|母亲及孩子得病)=0.4,求母亲及孩子得病但父亲未得病的概率.,1.29 某人忘记了电话号码的最后一个数字,因而他随意地拨号.求他拨号不超过三次而接通所需电话的概率.若已知最后一个数字是奇数,那么此概率又是多少?,1.30 某种产品的商标为“MAXAM”,其中有两个字母脱落,有人捡起随意放回,求放回后仍为原商标的概率.,1.31 将两信息分别编码为A和B传送出去,接收站收到时,A被误收作B的概率为0.02,而B被误收作 A的概率为
14、0.01.信息A与B传送的频繁程度为2:1.若接收站收到的信息是A,问原发信息是A的概率是多少？,1.32 病树的主人外出,委托邻居浇水,设已知如果不浇水,树死去的概率为0.8.若浇水则树死去的概率为0.15.有0.9的把握确定邻居会记得浇水.(1)求主人回来树还活着的概率.(2)若主人回来树已死去,求邻居忘记浇水的概率.,1.33 根据报道美国人血腥的分布近似地为:A型为27%,O型为44%,B型为13%,AB型为6%.夫妻拥有的血型是相互独立的.(1)B型的人只有输入B,O两种血型才安全.若妻为B型,夫为何种血型未知,求夫是妻的安全输血者的概率.(2)随机地取一对夫妇,求妻为B型,夫为A型
15、的概率.(3)随机地取一对夫妇,求其中一人为A型,另一人为B型的概率.(4)随机地取一对夫妇,求其中至少有一人是O型的概率.,1.34 各个元件独立工作,可靠性均为p,试求如下两个系统的可靠性:,1.35 如果一危险情况C发生时,一电路闭合并发出警报,我们可以借用两个或多个开关并联以改善可靠性.在C发生时这些开关每一个都应闭合,且若至少一个开关闭合了,警报就发出.如果两个这样的开关并联连接,他们每个具有0.96的可靠性(即在情况C发生时闭合的概率),问这时系统的可靠性(即电路闭合的概率)是多少?如果需要有一个可靠性至少为0.9999的系统,则至少需要用多少只开关并联?设各开关闭合与否是相互独立的.,1.36 三人独立地破译一份密码，已知各人能译出的概率分别为1/5，1/3，1/4问三人中至少有一人能将此密码译出的概率是多少?,1.37 袋中装有枚正品硬币,枚次品硬币(次品硬币的两面均印有国徽),在袋中任取一枚,将它投掷次,已知每次都得到国徽.问这枚硬币是正品的概率是多少?,
