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1、1,第九章 渐近法,力矩分配法的概念及基本运算多结点力矩分配法渐进运算无剪力分配法力矩分配法位移法联合应用超静定力影响线连续梁的最不利荷载及内力包络图,2,力矩分配法的,理论基础：位移法；计算对象：杆端弯矩；计算方法：逐渐逼近的方法；适用范围：连续梁和无侧移刚架。,1、转动刚度S：,表示杆端抵抗转动的能力。,使杆端发生单位转角时需在杆端施加的力矩。,SAB=4i,SAB=3i,SAB=i,SAB=0,SAB与杆的i（材料的性质、横截面的形状和尺寸、杆长）及远端支承有关，,SAB=4i,而与近端支承无关。,9-1 力矩分配法的基本概念及基本运算,3,因此，在确定杆端转动刚度时：近端看位移（是否为
2、单位位移）远端看支承（远端支承不同，转动刚度不同）。,下列那种情况的杆端弯矩MAB=SAB,4,1、转动刚度S：,表示杆端对转动的抵抗能力。,在数值上=仅使杆端发生单位转动时需在杆端施加的力矩。,SAB=4i,SAB=3i,SAB=i,SAB=0,SAB与杆的i（材料的性质、横截面的形状和尺寸、杆长）及远端支承有关，,SAB=4i,而与近端支承无关。,2、传递系数C：,杆端转动时产生的远端弯矩与近端弯矩的比值。即：,传递系数与远端支承有关,2i,i,0,C=1/2,C=1,C=0,远端支承,转动刚度,传递系数,固定,铰支,定向支座,4i,3i,i,1/2,1,0,5,3、单结点结构在集中结点力
3、偶作用下的力矩分配法,M,MiA=4i=SiA,MiB=3i=SiB,MiC=i=SiC,M=MiA+MiB+MiCM=0,a）分配系数和分配力矩,注：1）称为力矩分配系数，结点力矩按分 配系数分配与各杆近端。2）分配力矩是杆端转动时产生的近端 弯矩。3）=1 4）结点集中力偶荷载顺时针为正。,b）传递系数和传递力矩Mcji=CMuij j=A，B，C,注：1）传递力矩是杆端转动时产生的远端弯矩。2）只有分配弯矩才能向远端传递。,6,4、单结点结构在跨中荷载作用下的力矩分配法,1）锁住结点,150,150,90,2）放松结点,MB=15090=60,SBA=43i=12i,SBC=34i=12
4、i,BA=12i/24i=1/2,BC=12i/24i=1/2,30,30,15,3）叠加1）、2）得到最后杆端弯矩,1/2,1/2,150,mFij,150,90,30,30,15,Mij,165,120,120,M图（kN.m),不平衡力矩=固端弯矩之和,节点不平衡力矩要变号分配.,Mij=mFi j+Mui j+Mci j,7,例：用力矩分配法计算,画M图。,解：1）求,4/9,2/9,3/9,50,50,80,M+MA=mFAB+mFAD+mFAC,M,=508015=45,结点,B,A,C,D,杆端,分配系数,BA,AB,AD,AC,CA,DA,4/9,3/9,2/9,分配与传递,2
5、0,固端弯矩,50,50,80,10,15,10,10,最后弯矩,40,70,65,10,10,100,10,M图（kN.m),8,9-2 多结点力矩分配法渐进运算,128,128,75,取EI=8,BA=0.6,BC=0.4,CB=0.4,CD=0.6,76.8 51.2,25.6,31.4 47.2,15.7,9.4 6.3,25.6,分配系数,逐次放松结点进行分配与传递,固端弯矩,最后弯矩,0.6,0.4,0.4,0.6,128,128,75,51.2,76.8,25.6,31.4,47.2,15.7,6.3,9.4,3.2,1.3,1.9,0.7,0.3,0.4,0.2,0.1,0.1
6、,0,86.6,86.6,124.2,124.2,9,M图（kN.m),10,注 意：1）单结点力矩分配法得到精确解,多结点力矩分配法得到 渐近解。2）首先从结点不平衡力矩绝对值较大的结点开始。3）结点不平衡力矩要变号分配。4）结点不平衡力矩的计算：,结点不平衡力矩,（第一轮第一结点）,固端弯矩之和,（第一轮第二三结点）,固端弯矩之和 加传递弯矩,传递弯矩,（其它轮次各结点）,总等于附加刚臂上的约束力矩,5）不能同时放松相邻结点（因定不出其转动刚度和传递系数）但可以同时放松所有不相邻的结点，以加快收敛速度。,11,例题 求图示刚架 的弯矩图。,解：1）求分配系数SBA=3 SBC=4 SBE=
7、43/4=3 SCB=4 SCD=3 SCF=41/2=2结点B：S=SBA+SBC+SBE,3+4+3=10,BA=3/10=0.3,BC=4/10=0.4,BE=3/10=0.3,CB=4/9=0.445,CD=3/9=0.333,CF=2/9=0.222,结点C：S=SCB+SCD+SCF,4+3+2=9,1）求固端弯矩,12,BA,BE,BC,CB,CF,CD,0.3,0.3,0.4,0.445,0.222,0.333,40,41.7,41.7,18.5 9.3 13.9,9.3,3.3 3.3 4.4,4041.79.3=11,2.2,1.0 0.5 0.7,0.5,0.15 0.1
8、5 0.2,43.4 3.5 46.5,24.4 9.8 14.8,EB,1.6,0.1,1.7,FC,4.7,0.2,4.9,13,43.4,46.9,24.4,14.6,9.8,4.9,3.5,1.7,M图（kN.m),14,静定伸臂的处理,例题 作图示梁的M图。,50,SBA=15,EI=常数,5,i=5,i=1,SBC=3,BA=5/6,BC=1/6,5/6,1/6,20.8,m,M,50,25,4.2,20.8,20.8,50,M图（kN.m),15,用力矩分配法计算，作M图。,取EI=5,20,0.263,0.316,0.421,0.615,0.385,0,0,0,31.25,20
9、.83,20.83,0,0,(20),2.74 3.29 4.39,1.37,2.20,MB=31.2520.83=10.42,MC=20.83202.2=1.37,0.84 0.53,0.27,0.42,0.10 0.14 0.18,0.05,0.09,A,B,C,E,F,16,0.06 0.03,0.02,0.03,0.01 0.01 0.01,M,0,1.42,2.85,27.80,24.96,19.94,0.56,0.29,计算之前,去掉静定伸臂,将其上荷载向结点作等效平移。有结点集中力偶时,结点不平衡力矩=固端弯矩之和结点集中 力偶(顺时针为正),17,4i,2i,SAG=4i,SA
10、C=4i,SCA=4i,SCH=2i,SCE=4i,AG=0.5,AC=0.5,CA=0.4,CH=0.2,CE=0.4,0.5,0.5,0.4,0.2,0.4,15,18,7.5 7.5,3.75,1.50 0.75 1.50,0.75,0.75,0.37 0.38,0.19,0.08 0.03 0.08,0.04,0.04,0.02 0.02,M,7.11,7.11,2.36,0.78,1.58,0.79,0.79,M图（kN.m),例题 9-6 求矩形衬砌在土压力作用下的弯矩图。,E,I1,I2,解：取等代结构如图。设梁柱的线刚度为i1，i2,2i1,2i2,20,M,M图,当竖柱比横梁
11、的刚度大很多时(如i220i1),梁端弯矩接近于固端弯矩ql2/12。此时竖柱对横梁起固定支座的作用。,当横梁比竖柱的刚度大很多时(如i120i2),梁端弯矩接近于零。此时竖柱对横梁起铰支座的作用。,由此可见：结构中相邻部分互为弹性支承，支承的作用不仅 决定于构造作法，也与相对刚度有关。如本例中只要横梁线刚度i1 超过竖柱线刚度i2的20倍时，横 梁即可按简支梁计算；反之只要竖柱i2 超过横梁线刚度i1的 20倍时，横梁即可按两端固定梁计算。,21,1、无剪力分配法的应用条件：刚架中除了无侧移杆外，其余的杆全是剪力静定杆。,2、剪力静定杆的固端弯矩：,求剪力静定杆的固端弯矩时先有平衡条件求出杆
12、端剪力；将杆端剪力看作杆端荷载，按该端滑动，另端固定的杆计算固端弯矩。,3、剪力静定杆的S和C：,A,A,B,MAB=4iA6i/l,MBA=2iA6i/l,FSBA=（MAB+MBA）/l=0 MBA=MAB，,MAB=iA,MBA=iA,剪力静定杆的 S=i C=1,/l=A/2,9-3 无剪力分配法,计算固端弯矩上端定向、下端固定；计算S和C上端固定、下端定向,例题 9-7用无剪力分配法计算刚架。,解：1、求分配系数SBC=3i1=12 SBA=i2=3BC=4/5 BA=1/5 BA杆的传递系数=1,2、求固端弯矩：,4/5,1/5,m,5.33,2.67,3.75,分传,1.28,5
13、.14,M,1.28,6.61,1.39,1.39,0,5.70,M图（kN.m),(2),(6),(4),M=0,24,1、求：大家算,2、求m：大家算,6.32 25.26 8.42,6.32,8.42,25.99 4.33,4.33,7.58 11.37 9.47,7.58,9.47,25,1.88 7.52 2.51,1.88,2.51,0.67 1.00 0.84,0.67,0.84,1.61 0.27,0.27,0.15 0.59 0.20,M,20.25,27.60,33.37,13.12,18.68,12.37,6.31,14.31,27.60,请自己完成弯矩图的绘制。,位移法
14、习题课,26,对于有线位移的结构，可联合应用力矩分配法和位移法求解，用位移法考虑线位移的影响，用力矩分配法考虑角位移的影响。首先，用位移法求解，取无侧移的刚架为基本体系，线位移为基本未知量，角位移不算作基本未知量。位移法方程为：,而弯矩可表示为：,其中：,可由力矩分配求解。r11，R1P可由弯矩图求得。,9-4 力矩分配法与位移法的联合应用,27,例题 9-10 试用联合法求 图示刚架的弯矩图。,设EI=1,28,BA,BE,BC,CB,CF,CD,0.3,0.3,0.4,0.445,0.222,0.333,1.125,0.338 0.338 0.449,0.225,0.122 0.061 0
15、.092,0.061,-0.019-0.019-0.023,0.319-0.806 0.487,0.340-0.436 0.096,EB,0.169,-0.009,-0.965,FC,0.031,0.001,0.468,1.125,0.5,0.5,-0.012,0.005 0.003 0.004,29,0.318,0.488,0.806,0.965,0.340,0.096,0.436,0.467,30,M图(kN.m),14.8,5.0,3.6,8.9,4.0,18.5,26.7,最后弯矩可表示为：,31,W12=Z111+PP1=W21,=0,Z1=P1/11,机动法作法:,Z1(x)=P1
16、(x)/11,1、撤去与约束力Z1相应的约束。2、使体系沿Z1的正方向发生位移，作出荷载作用点的挠度图P1 图，即为影响线的形状。横坐 标以上图形为正，横坐标以下 图形为负。3、将P1 图除以常数11，便确 定了影响线的竖标。,静定力的影响线对应于几何可变体系的虚位移图,因而是折线；超静定力的影响线对应于几何不变体系的虚位移图,因而是曲线。,9-5 超静定力的影响线（机动法）,MC,MC.I.L,MK,MK.I.L,K,RC.I.L,QC右.I.L,33,MCmin,跨中截面正弯矩最不利活载布置：本跨有活载,向两边每隔一跨有活载。支座截面负弯矩及支座反力最不利荷载布置：支座相邻两跨有活载,向两
17、边每隔一跨有活载。,9-6 连续梁的最不利荷载布置及内力包络图,34,连续梁的内力包络图：,求在恒载和活载联合作用下，各截面可能产生的最大正弯矩Mmax和最大负弯矩Mmin。,求Mmax和Mmin的原则：1、必有恒载作用，且永远出现。2、活载按最不利情况考虑。具体作法：1、把连续梁的每一跨分为若干等分，取等分点为计算截面。2、全梁布满恒载，绘制M恒。3、逐个的单独一跨布满活载，绘制各M活图。4、求出各计算截面的Mmax 和Mmin。,5、将各截面的Mmax值用曲线联结起来，将各截面的Mmin值用曲线联结起来，这两条曲线即形成弯矩包络图或弯矩范围图。,例：已知恒载集度q=12kN/m，活载集度p
18、=12kN/m。作M包络图。,Mmax,Mmin,0,0,210,M恒,M活1,M活2,M活3,100,120,100,210,0,60,260,30,260,60,0,36,120,弯矩图包络图（kN.m),将设计时不需要考虑的弯矩图，在弯矩图包络图用虚线表示。,37,超静定梁的影响线绘制（机动法）,Z1(x)=P1(x)/11,1、撤去与所求约束力Z1相应的约束。2、使体系沿Z1的正方向发生位移，作出荷载作用点的挠度图P1 图，即为影响线的形状。横坐标以上图形为正，横坐标以下图 形为负。3、将P1 图除以常数11，便确定了影响线的竖标。,先绘制支座弯矩的影响线：如MB,38,MB,杆端弯矩使梁下侧受拉为正。,产生111P的Mp,39,例题2-11 求图示连续梁支座弯矩MB的影响线。,0.5,AB:,BC:,CD:,MB=1,40,利用已作出的弯矩影响线,即可按叠加法求得连续梁上任一截面的弯矩、剪力以及支座反力影响线。,课间休息,单元练习,41,结 束,
