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1、电磁场中带电粒子的拉格朗日量和哈密顿量,1，电磁场中带电粒子的运动方程2，拉格朗日形式3，哈密顿形式4，非相对论情形,1，电磁场中带电粒子的运动方程,在相对论力学中，力学基本方程可写为协变式：其中，Ku为四维力矢量，Pu为动量和能量构成的四维矢量。在低速运动的情形下，作用于速度为v的物体上的四维力矢量 所以，在相对论协变的力学方程包括：上式可改写为：,在电磁场中，带电粒子受到的洛伦磁力为：,所以，洛伦磁力也满足相对论协变要求。,综上得，带电粒子在电磁场中的运动方程为：,2，拉格朗日形式,在理论力学中，拉格朗日的基本形式为：其中 为广义动量，为广义速度，Qa为广义力。,对保守力系来讲：,因为势能
2、V中一般并不包含广义速度，所以令L=T-V来代表体系的动能与势能之差。,所以得到保守力系下的拉格朗日方程为：,在电动力学中，电磁场也是一个保守力场，所以也满足上面的保守力系下的拉格朗日方程。,电磁场中的带电粒子的运动方程为：,（1）,其中粒子的机械动量p是：,（2）,现在我们试探能否找到一个拉格朗日量L使运动方程（2）化为拉格朗日形式。,（3）,（4）,把（3）和（4）代入（1）式中，得,（5）,由于电子运动，在时间dt里有位移dx，所以矢势A有增量,因此，作用于粒子上的矢势总变化率为：,（6）,所以（5）可写为：,（7）,动量p和矢势A可以写为,所以拉格朗日量L为：,（8）,则运动方程（7）
3、可以写为拉格朗日形式：,（9）,对L的几点说明：,把（8）式乘以自由粒子的状态由速度确定，所以只能由协变量四维速度 决定。当粒子在电磁场中运动时，除了 之外，还依赖于四维势，则它们可以构成一个不变量，因此，当vc时，带电粒子在电磁场中的运动的拉格朗量L为（8）,得：,上式右边是洛伦兹不变量，因此上式左边也是洛伦兹不变量。,因此 只能是一个洛伦兹不变量，当 时，则自有粒子的拉格朗日函数为：,3，哈密顿形式,对于用拉格朗日量L描述的动力学系统，广义动量 定义为,（10）,则系统的哈密顿量为：,（11）,用哈密顿量可以把运动方程表为正则形式：,（12）,和,（13）,对于电磁场中的带电粒子运动情形，由（8）式，正则动量P是：,即,（14）,由（11）式，带电粒子的哈密顿量为:,但是H应该用正则动量P而不是用速度v表出。所以哈密顿量表示为：,（15）,（16）,引入四维正则动量：,则哈密顿量H与Pu的第四分量联系：,（17）,（18）,不难验证哈密顿方程（12）和（13）相当于原运动方程（1）,4，非相对论情形,当vc时，以上给出的拉格朗日量和哈密顿量就变为非相对论情形下相应的量。拉格朗日量（8）式当vc时变为：,（19）,哈密顿量（16）式变为：,（20）,可以看出H和L仍然满足关系式（11），,所以非相对论的情形下，拉格朗日量和哈密顿量即为分析力学中的情形。,
