《高等代数课件第三章线性方程组167;3.6线性方程组解的结构.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高等代数课件第三章线性方程组167;3.6线性方程组解的结构.ppt（17页珍藏版）》请在三一办公上搜索。
1、3.6 线性方程组解的结构,一、齐次线性方程组解的结构,1解的性质,性质1(1)的两个解的和还是(1)的解;,性质2(1)的一个解的倍数还是(1)的解;,性质3(1)的解的任一线性组合还是(1)的解,2 基础解系,定义 齐次线性方程组(1)的一组解1,2,r，若满足,1)1,2,r线性无关；,2)齐次线性方程组(1)的任意一解都可由1,2,r线性表出；,则称1,2,r为齐次线性方程组(1)的一个基础解系；,4 基础解系存在性,定理 在齐次线性方程组(1)有非零解的情况下，它有基础解系，并且基础解系所含解向量的个数等于nr,其中r 为方程组系数矩阵的秩。,证：若r=n,方程组只有零解，不存在基础
2、解系,若R(A)=rn，不妨设,则(1)可写成,我们知道自由未知量的任意一组值都确定了方程组(1)的一个解。,用组数(1,0,0),(0,1,0),(0,0,0)来代替自由未知量(xr+1,xn),就得到(2)的解，也就是(1)的nr个解:,要证明(3)是(1)的基础解系，需证,1,2,n-r线性无关,令k11+k22+kn-rn-r=0,则k11+k22+kn-rn-r=(*,*,k1,k2,kn-r)=0，从而k1=k2=kn-r=0,所以1,2,n-r线性无关。,任取(1)的一个解,可由1,2,n-r线性表出,由于1,2,n-r是(1)的解,所以线性组合cr+11+cr+22+cnn-r
3、也为(1)的解，比较二者的后n r个分量可知，自由未知量相同，故二者是同一个解，即是,设=(c1,c2,cn)是(1)的任意一个解,=cr+11+cr+22+cnn-r,由，为(1)的一个基础解系,例1求齐次线性方程组,的基础解系,推论 任一线性无关的与(1)的某一基础解系等价的向量组都是(1)的基础解系,二、一般线性方程组解的结构,如果b1=b2=bs=0,则得到方程组(1)，,称齐次方程组(1)为方程组(4)的导出组。,性质1 线性方程组(4)的任意两个解的差为其导出组(1)的解,性质2 线性方程组(4)的任意一个解与导出组(1)的任意一个解之和是线性方程组(4)的解.,解的结构,定理 若0为(4)的一个特解，则方程组(4)的任一解皆可表成=0+,其中为其导出组(1)的一个解,从而,方程组(4)的一般解为=0+k11+k22+knrn r其中0为(4)的一个特解，1,2,n r 为导出组的一个基础解系,推论 方程组(4)在有解的条件下,有唯一解(4)的导出组(1)只有零解,求一般线性方程组(4)的一般解,步骤：,1）求出其导出组的基础解系 1,2,nr,2）求出(4)的一个特解0；,3）写出(4)的一般解为=0+k11+k22+knrn r,例求解方程组,
