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1、1,6.1 数字滤波器的基本概念,6.2 模拟滤波器的设计,6.3 用脉冲响应不变法设计IIR DF,6.4 用双线性变换法设计IIR DF,6.5 数字高通、带通和带阻滤波器的设计,第六章 IIR数字滤波器的设计,2,数字滤波器(DF,Diginal Filter)，是一种具有频率选择性的离散线性系统，即选频滤波器。它在确定信号与随机信号的数字处理中有着广泛的应用。数字滤波器的设计是确定其系统函数H(z)并实现的过程。,6.1 数字滤波器的基本概念,3,数字滤波器和模拟滤波器一样，从频率响应上可以分为低通，高通，带通和带阻四类。但要注意，DF的幅频特性是序列的傅立叶变换，而序列的傅立叶变换具
2、有以为周期的周期性，DF的幅频特性也具有这一特性。,4,DF的理想幅频特性,低通频带位于2的整数倍附近,高通频带位于的奇数倍附近,5,理想滤波器是物理不可实现的。（由于从一个频带到另一个频带之间的突变）要物理可实现：应从一个带到另一个带之间设置一个过渡带且在通带和止带内也不应该严格为1或0。应给以较小容限。我们在进行滤波器设计时，需要确定其性能指标。,1、数字滤波器的设计指标,6,在大多数应用中，关键的问题是用一个可实现的系统函数去逼近给定的滤波器幅频响应指标，而滤波器的相位响应可以通过级联全通滤波器来校正。在设计数字滤波器前，通常要事先给定DF的频域指标，即频域容差图。一个实际DF 的幅度特
3、性在通带内允许有一定的波动（或起伏），阻带内衰减大于给定的衰减，且在通带与阻带间有一定宽度的过渡带。,7,在通带(0p)范围内，起伏不超过（通带容限）在阻带(s)范围内，起伏不超过（阻带容限）在过渡带(ps)范围内，一般要单调下降 设计时要给出：通带截止频率p，阻带截止频率s，通带允许的最大衰减P，阻带允许的最小衰减s。,（1）低通滤波器的技术指标,8,一般情况下都规定|H(ej0)|被归一化为。,P，s通常用dB来表示，其定义分别为：,当|H(ejw)|下降到 时，P=3dB，w=wc，故称wc为3dB截止频率。,9,（2）高通滤波器的性能指标,ws,wp,1,w,|H(ejw)|,通带截止
4、频率：wp，又称为通带下限频率。通带衰减：阻带截止频率：ws，又称阻带上限截止频率。阻带衰减：,0,10,（3）带通滤波器的性能指标,ws1,wp1,1,w,|H(ejw)|,通带截止频率：上限截止频率wp2，下限截止频率wp1。通带衰减：阻带截止频率：上限截止频率ws2，下限截止频率ws1。阻带衰减：,wp2,ws2,0,11,（4）带阻滤波器的性能指标,ws1,wp1,1,w,|H(ejw)|,通带截止频率：上限截止频率wp2，下限截止频率wp1。通带衰减：阻带截止频率：上限截止频率ws2，下限截止频率ws1。阻带衰减：,wp2,ws2,0,12,1)按任务要求确定频域容差图；2)理想滤波
5、器是非因果的、不可实现的，因此，我们要用一因果（可实现的）稳定的系统函数去逼近理想滤波器；,确定阶数N、M，所有的ak、bk,确定N，h(n)=bn,IIR:,FIR:,3）用有限精度算法实现该系统，包括网络结构、系数的量化、运算中间过程的存储；4）指标的验证。,2、数字滤波器的设计步骤,13,脉冲响应不变法 IIR:AF的Ha(s)DF的H(z)双线性变换法 窗函数法FIR:频率采样法,3、数字滤波器的设计方法,IIR滤波器的设计是将一个模拟的原型系统函数转换为一个数字的系统函数；FIR滤波器的设计则是基于对指定幅度响应的直接逼近。,14,FIR 滤波器可以设计为线性相位，并且总是稳定的。在
6、多数情况下，FIR滤波器的阶数 NFIR 显著大于具有等效幅度响应的IIR滤波器阶数NIIR。NFIR/NIIR 通常为10的量级或更高。IIR 滤波器通常计算更简便。在很多应用中，并不要求滤波器具有严格的线性相位，此时通常会因计算简便而选择IIR滤波器。,4、滤波器类型的选择,15,借助模拟滤波器(AF)来设计数字滤波器(DF)。典型的 AF：巴特沃斯Butterworth、切比雪夫ChebyshevAF的设计：给定AF的技术指标，设计一个传输函数Ha(s)使其满足技术指标。因为 P，s和幅度平方函数|Ha(j)|2 有关，因此根据幅度平方函数可以确定Ha(s)。,6.2 模拟滤波器的设计,
7、16,根据FT的共轭对称性：|Ha(j)|2=Ha(j)Ha(-j)，令s=j：|Ha(s)|2=Ha(s)Ha(-s)由此，给定|Ha(j)|2的形式，即可得到Ha(s)。,17,零点：s=j5(二阶）；极点：s=7;s=6，所以,(2)求系统的增益k0：,(1)令j=s 即=s/j 代入等式，得：,解：,18,一、Butterworth滤波器的设计,其中：N为滤波器的阶数；c 为3dB 截止角频率。,归一化频率,1、Butterworth滤波器的特性：最大平坦幅度特性,Butterworth滤波器的幅度平方函数为：,19,给定Ha(j)，求Butterworth滤波器的系统函数Ha(s):
8、,P=0,1,2,2N-1,（1）令s=j，代入幅度平方函数，得：,20,2N 个极点以 2/2N=/N 等间隔均匀分布在半径为c 的圆上，这一圆称Butterworth圆。所有的极点以虚轴（即j 轴）为对称轴，成轴对称分布，且没有根落在j 轴上（落在此轴上是临界稳定的）。当N是奇数时，实轴上有2个极点；当N是偶数时，实轴上无极点。,（3）为了得到稳定的Ha(s)，取全部左半平面的极点：,21,当 c时，随增加，幅度迅速下降，下降的速度与阶数N有关，N愈大，幅度下降越快，过渡带越窄。,Butterworth低通滤波器的幅度特性,22,由幅频特性可以看出Butterworth滤波器的特性：(1)
9、最大平坦性：可以证明Butterworth 函数在=0点附近一带范围内“最平直”，所以滤波器具有最大平坦幅度特性。也就是Butterworth滤波器是以原点的最大平坦性来逼近理想低通滤波器的。(2)通带、阻带下降的单调性：因而这种滤波器具有良好的相频特性（相对于切比雪夫来讲）。(3)3dB不变性：不管N是多少,所有特性都通过 3dB点。,23,2、Butterworth 低通滤波器的设计方法1)首先确定技术指标：通带截止频率 p 和通带允许的最大衰减p 阻带截止频率 s 和阻带允许的最小衰减s2)确定阶数N：,24,25,3)确定3dB 截止频率：,(N取大于该值的最小整数),或,26,4)求
10、N个极点Sp(左半平面）：,5)写出:,4）查表6.2.1（P157）得归一化系统函数：5）写出实际的系统函数：,27,3、举例已知通带截止频率fp=5 kHz,通带最大衰减阻带截止频率fs=10 kHz，阻带最小衰减=30 dB,试根据以上要求设计Butterworth 低通滤波器。,解：,(1)求阶数,28,(3)求极点,(2)求,(4)写出系统函数,29,3、举例已知通带截止频率fp=5 kHz,通带最大衰减阻带截止频率fs=10 kHz，阻带最小衰减=30 dB,试根据以上要求设计Butterworth 低通滤波器。,解二：,用MATLAB函数实现。,（1）buttord()（2）bu
11、tter(),P160,30,二、chebyshev滤波器的设计 其中：表示通带内起伏大小的系数，越大，通带内波动越大。CN(x)是阶切比雪夫多项式。切比雪夫 型滤波器：通带等波纹，与理想低通逼近的一种方式切比雪夫 型滤波器：阻带等波纹切比雪夫 型滤波器：椭圆滤波器,幅度平方函数,31,切比雪夫滤波器所需要的阶数比巴特沃斯低，因而结构上简单；通带有等波纹起伏，使得相位非线性失真比巴特沃斯大。,32,chebyshev 型低通滤波器的设计方法1)首先确定技术指标：通带截止频率 p 和通带允许的最大衰减p 阻带截止频率 s 和阻带允许的最小衰减s2)确定阶数N和参数：,33,3)求归一化极点pk和
12、归一化系统函数Ga(p)：,(k=1,2,N),4)求实际的系统函数Ha(s)：,34,三、模拟高通、带通、带阻滤波器的设计如果要设计模拟高通滤波器，可以通过频率转换关系，将高通指标转换为低通指标，先设计出一低通，再转换成高通。,35,例：设计巴特沃斯高通滤波器，要求fp=200Hz,fs=50Hz,p=3dB,s=10dB。,解：,（1）确定高通滤波器技术指标：,归一化频率：,p=3dB,s=10dB,（2）确定相应低通滤波器技术指标：,p=3dB,s=10dB,36,解：,（3）设计相应的归一化低通滤波器G(p)：,（4）频率转换，得到高通滤波器系统函数H(s)：,对巴特沃斯滤波器关于dB
13、截止频率归一化的系统函数称为归一化低通原型，记为G(p)。,37,带通滤波器：,38,DF的间接设计法，步骤：(1)先设计一模拟滤波器Ha(s)（上述方法）（s平面）(2)再按一定的转换关系，将Ha(s)转换成数字滤波器 H(z)(z平面),6.3 用脉冲响应不变法设计IIR数字低通滤波器,39,AF是因果稳定的，则转换后的DF也应该是。AF因果稳定，则Ha(s)的极点位于s平面的左半平面 DF因果稳定，则H(z)的极点位于z平面的单位圆内由Ha(s)到H(z)的转换应该使s平面的左半平面影射到z平面的单位圆内(2)s平面的虚轴（稳定不稳定的交界处)j 映射到z平面的单位圆上。,注意,这种映射
14、只适应于低通滤波器的映射关系。,40,已求得AF的传输函数Ha(s)，通过拉氏逆变换可求得它所对应的单位冲激响应 ha(t)；对单位冲激响应ha(t)等间隔采样，设采样间隔为T,得到ha(nT)=h(n)；将h(n)作为数字滤波器的单位脉冲响应，对h(n)的取z变换，即为DF的系统函数H(z)。,由雷道（Rader)、戈尔登(Golden)提出,脉冲响应不变法的思路：,41,设ha(s)只有单阶极点，且分母多项式的阶次高于分子多项式的阶次，它可表示为,（1）取Ha(s)拉氏逆变换，得到ha(t)：,1、变换方法,42,（2）对ha(t)等间隔采样，采样间隔为 T，得到h(n)：,（3）求h(n
15、)的z变换，得DF的系统函数H(z)：,对照Ha(s)和H(z):s平面的极点si，变成z平面的极点,43,例：一个RC模拟低通滤波器,Uo,Ui,则,这一低通 DF的网络结构：,R,C,44,2、优缺点,在w=的奇数倍附近，脉冲响应不变法的频谱产生混叠，因此，在此处DF的频率响应会偏离AF的频率响应，混叠的结果使频率特性在高频端严重失真。,模拟域：以 为周期的延拓,数字域：以 为周期的延拓,45,脉冲响应不变法的优缺点：,优点：（1）从时域出发，使得数字滤波器的冲激响应完全模仿模拟滤波器的冲激响应，也就是时域逼近良好。（2）AF DF的频率转换关系是w=T，是线性的，不会扭曲；缺点：高频端会
16、产生频率混叠现象，只适合低通、带通滤波器的设计，不适合高通、带阻滤波器的设计。对于带通和低通滤波器，需充分限带，若阻带衰减越大，则混叠效应越小。,46,当给定DF的技术指标时，采样周期T的取值对频谱混叠程序的影响很小，因此为了计算方便，一般取T=1s。,若要用脉冲响应不变法设计高通和带阻滤波器，则必须先对高通和带阻滤波器加一保护滤波器，滤掉高于折叠频率以上的频带。它会增加设计的复杂性和滤波器的阶数，因而只有在一定要追求频率线性关系时才使用。,47,3、设计举例设计一低通数字滤波器，要求在通带内频率低于0.2 rad时，容许幅度误差在1dB内，在频率0.3 到之间的阻带衰减大于15 dB。指定模
17、拟滤波器采用巴特沃斯低通，用脉冲响不变法求该DF的系统函数。,解：,1)确定数字滤波器的指标：,2)将DF的指标转换成AF的指标：,48,解：3)设计AF：,MATLAB中，用脉冲响应不变法将模拟滤波器转换成数字滤波器可用函数impinvar()实现。,4)利用脉冲响应不变法得DF的H(z)：,49,脉冲响应不变法的缺点是会产生频率混叠现象，而双线性变换法的优点之一是不会产生频率混叠。,双线性变换法采用非线性频率压缩方法。,6.4 用双线性变换法设计IIR数字低通滤波器,1、变换方法,由凯塞(Kaiser)和戈尔登(Golden)提出,双线性变换法：是从频域出发，使DF的频率响应与AF的频率响
18、应相似的一种变换法。,50,由上式得,合称为双线性变换法,则：已知Ha(s)，利用，可以直接求得H(z)。,由s平面到z平面的变换关系是：,51,例 已知模拟滤波器Ha(s)=2/(s+1),试利用双线性变换法将Ha(s)转换成 DF的H(z)。,解：,52,双线性变换主要用在：用反双线性变换来将数字滤波器的性能指标转换为模拟原型滤波器的性能指标用双线性变换来从模拟系统函数得到所希望的数字滤波器的系统函数H(z)参数T对H(z)的表达式没有影响，可以选择T=2来简化设计的过程。,53,采用这种转换方法得到的 H(z)是否满足技术要求？,54,、模拟角频率到数字频率 w的映射关系,s=j z=e
19、jw,55,s平面上的与z平面上的w成非线性正切关系，是一对一的转换。,反双线性变换,则,取T=2s：,56,正是因为这种非线性频率压缩关系，消除了高频端的频率混叠现象。,57,3、优缺点优点：（1）双线性变换没有任何混叠，都是单值一一对应关系。（2）可用于设计任意类型（低通，高通，带通，带阻）的 DF。缺点：双线性变换是非线性变换，因而给频率特性带来失真，这种失真还包括相位特性的失真，在要求线性相位的情况下，要考虑这种失真是否可以容忍，否则就不能应用。,58,4、设计举例,解：,（1）将DF的指标转换成AF的指标：,59,解：,（2）设计AF：,取N=3,60,三阶归一化低通Butterwo
20、rth系统函数：,解：,（2）设计AF：,低通Butterworth实际系统函数：,61,由双线性变换法得：,解：,（3）设计DF：,MATLAB中，用双线性变换法将模拟滤波器转换成数字滤波器可用函数bilinear()实现。,62,一、变换原理低通数字滤波器的设计：脉冲响应不变法，在滤波器的高频端产生混叠现象，因此只适应于低通滤波器的设计；而双线性变换法，可适用于任意种类的滤波特性，但存在非线性失真。如果希望设计一个数字高通、带通或带阻滤波器，有两种实现方法。,6.5 数字高通、带通和带阻滤波器的设计,63,第二条途径,先设计模拟低通,模拟滤波器数字化,所需数字滤波器,只能用双线性变换法,所
21、需数字滤波器,用脉冲响应不变法或双线性变换法,第一条途径,64,因为第二条途径由模拟低通 数字低通不受方法的限制（脉冲响应不变法或双线性变换法），因此比较灵活。数字频率变换方法，也就是由数字低通到其他所需要的数字滤波器的转换方法，可以直接查表得到。,二、设计举例,以数字高通设计为例，介绍第一条途径。,65,最后得到数字高通系统函数,数字高通滤波器设计步骤,66,例设计一个数字高通滤波器，要求通带截止频率p=0.7rad，通带衰减不大于3dB，阻带截止频率s=0.2rad，阻带衰减不小于12dB，希望采用Butterworth滤波器。,解：1）数字高通指标2）模拟高通指标3）模拟低通指标4）设计模拟低通G(p)5）将模拟低通转换成模拟高通Ha(s)6）用双线性变换法将模拟高通转换成数字高通H(z),67,IIR数字滤波器的设计方法除了以上借助于模拟滤波器的间接设计方法外，人们还提出了计算机辅助设计法（直接方法）。,6.6 IIR数字滤波器的直接设计法,（1）频域：利用幅度平方误差最小法直接设计IIR数字滤波器。（2）时域：根据性能指标和一定的逼近准则，利用计算机直接设计IIR数字滤波器。,68,变 换 表,69,P194：4(1)、8、9、10,作业（5月14日）,
