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1、第十四章 曲线积分与曲面积分,一、第一型曲线积分二、第二型曲线积分三、第一型与第二型曲线积分的关系四、格林公式五、曲线积分与路径无关的条件,第一节 曲线积分,引入 曲线形构件的质量,匀质之质量,分割,取近似,一.第一型曲线积分,取极限,设二元函数 在可求长曲线,有定义.用任意分法 将曲线,求和,分成n个小弧：,长度分别为：,积分和,1.定义 设二元函数 在可求长曲线,有定义，若当 时，二元函数,在曲线 的积分和存在极限,即,则称 是函数 在曲线C的第一型曲线,积分，表为,其中ds是弧长微元。,积分弧段,被积函数,积分和式,2.存在条件,3.推广,曲线形构件的质量,当在光滑曲线弧C上连续时，,在
2、C上的第一型曲线积分存在,.性质,第一型曲线积分跟曲线的方向无关,、对弧长曲线积分的计算,定理 若曲线,是光滑的，即在连续，且不,同时为零，函数在C连续，则函数,在C(A,B)存在第一型曲线积分，且,证明,设任意分法T,第k个小区间对应曲线C上第k个小弧,其长为,则,曲线C上对应点,作和,其中,由,的连续性,下面证明,在闭区间连续，则有界,在闭区间连续，则,一致连续即,有,有,当时，有,即,当时，有,当时，存在极限，即函数,在曲线C上存在第一型曲线积分，即,(1),(2),(3),其它形式的计算方法：,例 计算,其中,例 计算,其中 是圆周,例,推广 若三维欧氏空间 中光滑曲线,的参数方程是,则第一型曲线积分为,空间曲线 的弧长微分为,例 计算 其中C是圆柱螺旋线：,1.设是从到的,一段，计算第一型曲线积分,2计算 其中是曲线,的一段.,例,解,得,
