金融经济学第六讲.ppt

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1、金融经济学第六章,上海财经大学金融学院,第六章 离散时间套利定价理论,6.1 无套利机会与等价鞅（一个例子）Harris&Kreps(1979)等发现，如果一个价格系统不存在套利机会，那么该系统存在一个等价鞅测度，利用鞅测度，我们可以非常方便地定价各种衍生产品的价格。考虑两个简单例子，来说明等价鞅的存在及期权定价。例1：考虑一个两期模型，假定第一期标的资产价格为S=35，期权的执行价格为X=35，连续复利无风险利率为9.531%，因此，成熟期为一期。假定资产价格或者上升25%，或者下跌25%，即上升后价格为Su=43.75，下降后价格为Sd=26.25，其资产价格变化如下图6.1所示。由此一个

2、看涨期权的回报如图6.2所示。,第六章 离散时间套利定价理论,（图6.1）：一期资产价格树（图6.2）：一期看涨期权价格树,第六章 离散时间套利定价理论,构筑一个投资组合，利用期权来对该风险资产进行完全的套期保值，从而使得该组合成为一个无风险资产。假定我们出售H份标的在该资产上的看涨期权，使得该组合不存在风险，则其第一期成本为S-Hc，完全套期保值后的回报都是26.25，其回报过程可以用图6.3来刻画。（图6.3）：一期的无风险投资组合树,第六章 离散时间套利定价理论,1、出售的期权份额H：因为完全套期保值后成熟时的回报相同，因此我们有：，因此我们可以求解出H：；将相关数值代入，得H=2。2、

3、无套利机会时的期权价格：因为无套利机会存在，无风险组合的回报率应该等于无风险资产上的回报率，因此我们有：整理得：；此即欧式看涨期权价格，欧式看跌期权的价格可以根据看涨-看跌平价关系得到。,第六章 离散时间套利定价理论,3、等价鞅测度：事实上我们可以将上式改写为：，其中 相当于一个概率，称为一个等价鞅测度。在该测度下，期权价格等于未来受益的期望贴现，与个体偏好等因素无关。注：该测度仅是一个假想的测度，并不真正反映上升和下降出现的概率。,第六章 离散时间套利定价理论,例2：考虑一个四期的期权定价例子。假定标的资产的价格S=35，期权的执行价格X=35，成熟期为一年。连续复利无风险利率为9.525%

4、，因此；如果将一年分为四季，则有。假定资产价格变化如下图6.4所示。则u=1.10517，d=0.904837，R=1.024098，。由此我们可以求解各种欧式期权和美式期权的价格。(1)在第0期开始时发行的、成熟期为4、执行价格为35的欧式看涨期权价格，则个体只能在第4期执行该期权，其价格可以表示为：(2)计算在第一期当资产价格为38.68时发行的、第三期成熟的、操作价格为40的欧式看涨期权价格：以此类推。,第六章 离散时间套利定价理论,（图6.4）：资产价格和期权收益树,第六章 离散时间套利定价理论,6.2 无套利机会与等价鞅测度一、模型的建立 考虑一个多期证券市场经济，t=0,1,T。假

5、定在该经济中存在I位个体，。为简化讨论，假定经济中只有一种易腐烂的消费品，并将这种消费品作为计价单位，因此消费品的现货价格为1。信息结构：假定经济中有有限个自然状态，它们构成一个状态空间。假定经济中的信息是逐渐展示出来的，到T期个体才能知道真正的自然状态是中的哪一个。我们可以用一个事件树来刻画信息结构。定义：一个事件是 的一个子集。称两个事件不相交，如果这两个事件的交集是空集，即一个自然状态如果属于一个事件，它就不属于另一个事件。,第六章 离散时间套利定价理论,定义：的一个分割是一组事件 的集合，如果这些事件彼此不相交，且它们的并等于。称一个给定分割要比另一个分割更精细，如果后一个分割的任一事

6、件都是前一分割中事件的并。,第六章 离散时间套利定价理论,我们可以用 来记个体被赋予的公共信息结构，其中每一个 都是 的一个分割，满足：如果，则 比 更精细；，定义：一个随机过程是一个由时间t标识的随机变量序列。定义：称一个随机过程 关于 适应(adapted to)，如果对于任意的t，关于 可测。定义：称一个随机过程 关于 可料的(predictable to)，如果对于任意的t，关于 可测。资产结构：定义：一个时间事件或有权益(time-event contingent claim)是一种证券，在交易日、事件 发生时支付一单位消费品，在其它时间和情形下没有支付。,第六章 离散时间套利定价理

7、论,定义：一个复杂证券是由时间0消费品和一族时间事件或有权益构成的证券，它可以被表示为，其中 和 分别为以消费品衡量的时间0和时间t、事件 下的红利。定义：一个长生命证券(long-lived security)是一种在任意交易日都可以交易的复杂证券。假定经济中存在N+1种长生命证券，j=0,1,N。假定第0种资产是面值为1的T期贴现债券，其红利流可以表示为：，(6.2.1)记第0种资产的除息价格过程为，则有。假定其它N种资产是风险资产，第j种资产的随机红利流可以表示为：。(6.2.2)记第j种资产的除息价格过程为，则有。,第六章 离散时间套利定价理论,记，。显然，、和 关于 可测，因此红利过

8、程、价格过程都关于 适应。个体行为：假定每一位个体的偏好都具有von Neuman-Morgenster期望效用表示，假定个体效用函数 单调增、严格凹、充分光滑，假定。假定个体在各自然状态上被赋予的主观概率为：。在该主观概率下，记在给定事件 下，事件（）发生的条件概率为，根据Bayes公式，可以表示为：,第六章 离散时间套利定价理论,假定个体都是理性预期的，所有个体都相信当前资产价格是自然状态 和时间t的函数，即可以表示为 和。记个体被赋予的长生命证券的数量为：。个体的交易策略是一个N+1维的随机过程，可以简记为：，其中 和 代表个体在t-1期交易发生后，到t期交易发生前所持有的第0种资产和第

9、j种资产的数量。由于 和 是在t-1期被决定的，它们关于 可测，因此交易策略关于 适应。个体的消费计划是一个随机过程，可以简记为：。其中 是t期消费量。,第六章 离散时间套利定价理论,定义：称一个交易策略 是可接受的(admissible)，如果存在一个消费计划c，满足：，(6.2.3)对 成立，且有：。(6.2.4)相应地，我们也称该消费计划c是由交易策略 融资的，也称为上市的(marketed)。,第六章 离散时间套利定价理论,二、无套利条件和等价鞅测度定义：一个套利机会是一个由可行交易策略融资的消费计划c，满足：（1）c非负，且至少存在某个时期t和事件，有；（2）其成本非负，即。定义：一

10、个随机过程 被称为是一个在概率 下对 适应的鞅，如果它满足：，其中 是关于概率、给定 下的条件概率。定理：一个价格系统不允许存在任何套利机会，当且仅当经济中存在一个等价鞅。,第六章 离散时间套利定价理论,例6.2.1：假定经济中有三种长生命证券，j=0,1,2，它们只在t=2时支付红利，t=0、1时的价格和t=2时的红利支付如图6.6所示。在该经济中，第0种资产是一种无风险资产。下面我们通过构造一个等价鞅测度来说明该价格系统没有套利机会。此处无风险资产的价格在t=0和t=1时不为1，因此我们可以首先对该价格系统进行贴现，如图6.6所示。经计算可得，存在等价鞅测度：,第六章 离散时间套利定价理论

11、,(图6.6)：证券市场价格系统,第六章 离散时间套利定价理论,三、消费计划的鞅性质一个消费计划刻画了不同时间-事件下个体的消费量，而一个长生命证券由它在各时间-事件下的回报（消费品）刻画，因此一个长生命证券等价于一个消费计划。在无套利条件下，一个市场化了的消费计划或长生命证券的价格是唯一确定的，因为衍生产品是一种长生命证券，所以其价格也是唯一确定的，可以利用等价鞅测度来计算，衍生产品的这种定价方式称为套利定价。定理：一个消费计划有定义好了的价格，如果该消费计划是上市的，且经济中不存在套利机会。定理：如果价格系统(B,S)不存在套利机会，则上市的消费计划具有鞅性质。,第六章 离散时间套利定价理

12、论,例6.2.2：考虑一个如图6.8的消费计划，假定价格系统由图6.6所示。试计算该消费计划的价格。因为价格系统中不存在套利机会，所以该消费计划具有鞅性质，该消费计划的t期贴现价格等于未来消费贴现和关于鞅测度 的预期。所以我们有：所以该消费计划在时间t=0和t=1时的价格为：，。,第六章 离散时间套利定价理论,（图6.8）：一个上市的消费计划。,第六章 离散时间套利定价理论,6.3 Black-Scholes公式的推导（二叉树方法）一、模型的建立：考虑一个具有两个长生命证券的多周期证券市场经济，一个是普通股票，一个是无风险债券。假定该经济持续很长时间，我们仅考虑交易日t=0、1、2、T。假定该

13、经济满足如下假定：（1）不考虑标的资产的红利收益，假定资产的波动性相同且已知，资产价格满足一个二项随机游动，如图6.9所示。；，；。（2）假定在期权生命中短期无风险利率R已知，个体可以以一个相同的无风险利率进行借贷，假定无风险资产不支付红利，t期价格为。,第六章 离散时间套利定价理论,(图6.9)：二项随机游动和等价鞅测度。,第六章 离散时间套利定价理论,（3）不考虑交易成本和税收，允许证券卖空，在期权成熟前不考虑有价证券的转让等事件。（4）假定个体拥有的信息结构由股票价格生成。；有两个事件；有三个事件，；任意 的有两个子集，。假定个体可能有不同的主观概率，但每一事件上的主观概率都大于零。二、

14、等价鞅测度的求解 如果经济中不存在套利机会，则价格加上红利和构成的随机过程是一个鞅。考虑到此处不考虑标的资产的红利收益，因此我们有：由此可得：当时，因此经济中确实存在一个等价鞅测度，相应地，该价格系统不存在套利机会。,第六章 离散时间套利定价理论,三、Black-Scholes公式的推导 下面我们利用风险资产的二叉树结构，来推导出一个标的在普通股票上、操作价格为K、成熟期为T的欧式看涨期权的价格。在图6.9的二叉树中，从第0期出发，T期股票价格为 的概率为；从t期出发，T期股票价格达到 的条件概率为。考虑到该欧式看涨期权在T期的回报为，因此t期该看涨期权的贴现价格为：，,第六章 离散时间套利定价理论,所以t期该看涨期权的价格可以表示为：记j为满足 的正整数，则：从而,第六章 离散时间套利定价理论,记，则有由Cox、Ross和Rubinstein(1979)给出期权定价公式。当独立时间数趋向于无穷时，即在区间T-t中将时间间隔分得足够小，则二项分布趋向于正态分布，从而上式可以改写为标准的Black-Scholes公式：其中，r和 为无风险资产的连续复利和风险资产的标准差。,