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二次型,一.化二次型为标准形,化二次型为标准形主要有两种方法：(1)正交变换法；(2)配方法.,注：将二次型 f 用正交变换化为标准形的一般步骤为：,写出二次型 f 的矩阵 A；,(2)求出 A 的全部相异特征值 1,2,m，对每一个 ri 重特征值i，求出对应的 ri 个线性无关的特征向量，并利用施密特正交化方法将其正交单位化，将上面求得的 r1+r2+rm=n 个两两正交的单位向量作为列向量，排成一个 n 阶方阵Q，则 Q 为正交阵且 Q1AQ=QTAQ=为对角阵；,作正交变换 x=Qy，即可将二次型化为只含平方项的标准形：f=xTAx=yT(QTAQ)y=yT y.,二.正定二次型及正定矩阵的判定,主要有三种方法(1)利用特征值判定；(2)利用充要条件判定；(3)利用计算顺序主子式判定.,1.利用特征值判定,注：当矩阵的特征值比较容易求时，用特征值来判定二次型或矩阵的正定性是很简便的一种方法.,2 利用充要条件判定,3.利用顺序主子式判定,注：这类题一定用顺序主子式做.,三.证明题,
