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1、2023/6/28,1,第 4 章数据的概括性度量,第1 节 集中趋势的测度 第2节 离散程度的测度第3 节 偏态与峰态的测度,2023/6/28,2,一、教学目的与要求 掌握集中趋势各测度值的计算方法；掌握集中趋势各测度值的特点及应用场合；掌握离散程度各测度值的计算方法；掌握离散程度各测度值的特点及应用场合；了解偏态与峰态的测度方法 会用Excel计算描述统计量并进行分析二、教学重点与难点 1、教学重点：集中趋势各测度值的的特点及计算方法；离散程度各测度值的的特点及计算方法。2、教学难点：各测度值的的特点及计算。,2023/6/28,3,三、教学过程与内容,利用图表显示数据，可以对数据分布特
2、征和规律有一个大概的了解，但要全面把握数据的特征和规律，还需要找出反映数据分布特征的代表值。一般来说，数据分布的特征可以从三个方面进行测度和描述。,2023/6/28,4,数据分布的特征,集中趋势：反映各数据向其中心靠拢和聚集的程度,离散程度：反映各数据远离中心的趋势,2023/6/28,5,分布形状：反映数据分布的偏态和峰态,2023/6/28,6,数据分布特征的测度,2023/6/28,7,第1 节 集中趋势的度量,一.分类数据：众数二.顺序数据：中位数和分位数三.数值型数据：均值四.众数、中位数和均值的比较,2023/6/28,8,集中趋势(Central tendency),集中趋势:
3、一组数据向其中心值靠拢的倾向和程度.测度趋势就是寻找数据水平的代表值或中心值。注意：不同类型的数据用不同的集中趋势测度值；低层次数据的测度值适用于高层次的测量数据，但高层次数据的测度值并不适用于低层次的测量数据。,2023/6/28,9,一、众数,众数：出现次数最多的变量值。它不受极端值的影响。一般用M0 表示注意：一组数据可能没有众数或有几个众数；主要用于分类数据，也可用于顺序数据和数值型数据。,2023/6/28,10,原始数据:10 5 9 12 6 8,原始数据:6 5 9 8 5 5,原始数据:25 28 28 36 42 42,例4.1,无众数,一个众数,多于一个众数,2023/6
4、/28,11,解：这里的变量为“饮料品牌”，这是个分类变量，不同类型的饮料就是变量值。在所调查的50人中，购买可口可乐的人数最多，为15人，占总被调查人数的30%，因此众数为“可口可乐”这一品牌，即 Mo可口可乐,例4.2,2023/6/28,12,解：这里变量为“回答类别”，该数据为顺序数据。甲城市中对住房表示不满意的户数最多，为108户，因此众数为“不满意”这一类别，即 Mo不满意,例4.3,2023/6/28,13,二、中位数和分位数,（一）中位数(median)1、中位数定义中位数：排序后处于中间位置上的值。一般用Me表示。,注意：它不受极端值的影响.主要用于顺序数据，也可用数值型数据
5、，但不能用于分类数据。各变量值与中位数的离差绝对值之和最小，即,2023/6/28,14,设一组数据为：,其中n为数据个数,2、中位数位置的确定,按从小到大排列为：,2023/6/28,15,3、中位数数值计算公式,数值的确定,2023/6/28,16,例4.4求下述问题的中位数（顺序数据的 例题分析）,解：中位数的位置为:从累计频数看，中位数在“一般”这一组别中。因此:Me=一般,2023/6/28,17,例4.5求下列数值型数据的中位数(9个数据的算例),1）9个家庭的人均月收入数据 原始数据:1500 750 780 1080 850 960 2000 1250 1630 排 序:750
6、 780 850 960 1080 1250 1500 1630 2000 位 置:1 2 3 4 5 6 7 8 9,Me 1080,2023/6/28,18,2）10个家庭的人均月收入数据排 序:660 750 780 850 960 1080 1250 1500 1630 2000位 置:1 2 3 4 5 6 7 8 9 10,2023/6/28,19,（二）四分位数(quartile),1、四分位数定义四分位数：排序后处于25%和75%位置上的值。它不受极端值的影响。,注意：主要用于顺序数据，也可用于数值型数据，但不能用于分类数据。,2023/6/28,20,2、四分位数位置的确定,
7、注:见 P90,2023/6/28,21,3）例题分析 顺序数据的四分位数,解：QL位置=(300)/4=75 QU位置=(3300)/4=225 从累计频数看，QL在“不满意”这一组别中；QU在“一般”这一组别中。因此 QL=不满意 QU=一般,2023/6/28,22,数值型数据的四分位数,9个家庭的人均月收入数据原始数据:1500 750 780 1080 850 960 2000 1250 1630排 序:750 780 850 960 1080 1250 1500 1630 2000位 置:1 2 3 4 5 6 7 8 9,2023/6/28,23,即QL在第2个数值（780）和第
8、3个数值（850）之间0.25的位置上，所以：,因为QU在第6个数值（1250）和第7个数值(1500)之间0.75的位置上，所以：,2023/6/28,24,【例4.7】：10个家庭的人均月收入数据,排 序:660 750 780 850 960 1080 1250 1500 1630 2000位 置:1 2 3 4 5 6 7 8 9 10,2023/6/28,25,三、数值型数据：均值（mean),均值：是集中趋势的最常用测度值，它是一组数据的均衡点所在。注意：均值体现了数据的必然性特征；易受极端值的影响；用于数值型数据，不能用于分类数据 和顺序数据。,2023/6/28,26,（一）简
9、单均值与加权均值(simple mean/weighted mean),设一组数据为：x1，x2，xn各组的组中值为：M1，M2，Mk 相应的频数为：f1，f2，fk,简单均值：,加权均值：,2023/6/28,27,例题分析 例4.8,2023/6/28,28,例4.9,甲乙两组各有10名学生，他们的考试成绩及其分布数据如下：甲组：考试成绩（x）:0 20 100 乙组：考试成绩（x）:0 20 100,人数分布（f）：1 1 8,人数分布（f）：8 1 1,权数对均值的影响,2023/6/28,29,注意：均值的数学性质,1.各变量值与均值的离差之和等于零,2.各变量值与均值的离差平方和最
10、小,2023/6/28,30,（二）调和平均数(harmonic mean),调和平均数：是均值的另一种表现形式。它易受极端值的影响。计算公式为：,2023/6/28,31,例题分析：调和平均数,【例4.10】某蔬菜批发市场三种蔬菜的日成交数据如下表，计算三种蔬菜该日的平均批发价格.,解:由公式,2023/6/28,32,（三）几何平均数(geometric mean),几何平均数：n 个变量值乘积的 n 次方根。它适用于对比率数据的平均。主要用于计算平均增长率.计算公式为：,注：可看作是均值的一种变形：,2023/6/28,33,例题分析,【例4.11】某水泥生产企业1999年的水泥产量为1
11、00万吨，2000年与1999年相比增长率为9%，2001年与2000年相比增长率为16%，2002年与2001年相比增长率为20%。求各年的年平均增长率。,年平均增长率114.91%-1=14.91%,2023/6/28,34,【例4.12】一位投资者购持有一种股票，在2000、2001、2002和2003年收益率分别为4.5%、2.1%、25.5%、1.9%。计算该投资者在这四年内的平均收益率。,算术平均：,几何平均：,2023/6/28,35,四、众数、中位数和均值的比较,1）众数、中位数和均值的关系,2023/6/28,36,2）众数、中位数和均值的特点和应用,众数：不受极端值影响；具
12、有不唯一性；数据分布偏斜程度较大时应用。中位数：不受极端值影响；数据分布偏斜程度较大时应用。均值：易受极端值影响；数学性质优良；数据对称分布或接近对称分布时应用。,2023/6/28,37,数据类型与集中趋势测度值,2023/6/28,38,第2 节 离散程度的测度,分类数据：异众比率顺序数据：四分位差数值型数据：方差及标准差相对位置的测量：标准分数相对离散程度：离散系数,2023/6/28,39,离中趋势,数据分布的另一个重要特征;反映各变量值远离其中心值的程度（离散程度）;从另一个侧面说明了集中趋势测度值的代表性（即代表程度）;不同类型的数据有不同的离散程度测度值。,2023/6/28,4
13、0,一、异众比率(variation ratio),异众比率：是对分类数据离散程度的测度。即非众数组的频数占总频数的比率。主要用于分类数据的测度。计算公式为：,注意：用于衡量众数的代表性,2023/6/28,41,例4.13,在所调查的50人当中，购买其他品牌饮料的人数占70%，异众比率比较大。因此，用“可口可乐”代表消费者购买饮料品牌的状况，其代表性不是很好,2023/6/28,42,二、四分位差(quartile deviation),四分位差：是对顺序数据离散程度的测度。又称为内距或四分间距，即上四分位数与下四分位数之差。主要用于顺序数据的测度。QD=QU QL它反映了中间50%数据的离
14、散程度。注意：它不受极端值的影响，主要用于衡 量中位数的代表性,2023/6/28,43,例4.14,解：设非常不满意为1,不满意为2,一般为3,满意为 4,非常满意为5 已知 QL=不满意=2 QU=一般=3四分位差：QD=QU-QL=3 2=1,2023/6/28,44,三、方差和标准差,方差和标准差主要用于数值型数据的测度（一）极差(range)：一组数据的最大值与最小值之差。它是离散程度的最简单测度值；易受极端值影响；未考虑数据的分布。,R=max(xi)-min(xi),算公式为：,2023/6/28,45,（二）平均差(mean deviation),平均差：各变量值与其均值离差绝
15、对值的平均数。它能全面反映一组数据的离散程度；但数学性质较差，实际中应用较少。,计算公式为：,未分组数据：,组距分组数据：,2023/6/28,46,例4.15,解：,即每一天的销售量与平均数相比，平均相差17台,2023/6/28,47,说明:,平均差以平均数为中心，反映了每个数据与平均数的平均差异程度，它能全面准确反映一组数据的离散状况。平均差越大，说明离散程度越大，反之，说明离散程度越小。为了避免离差之和等于零，而无法计算平均差这一问题，平均差在计算时取了绝对值，以离差的绝对值来表示总离差，但这给计算带来了不便。,2023/6/28,48,（三）方差和标准差(variance and s
16、tandard deviation),1、基本概念 方差：各变量值与均值离差平方的平均数；标准差：方差的平方根即为标准差。注意：方差和标准差是数据离散程度的最常用测度值；它反映了各变量值与均值的平均差异；根据总体数据计算的，称为总体方差或标准差；根据样本数据计算的，称为样本方差或标准差,2023/6/28,49,2、样本方差和标准差计算公式(simple variance and standard deviation),未分组数据：,分组数据：,未分组数据：,分组数据：,方差的计算公式,标准差的计算公式,2023/6/28,50,3、样本方差自由度(degree of freedom),样本方
17、差自由度：一组数据中可以自由取值的数据的个数。当样本数据的个数为 n 时，若样本均值x 确定后，只有n-1个数据可以自由取值，其中必有一个数据则不能自由取值。例如，样本有3个数值，即x1=2，x2=4，x3=9，则,2023/6/28,51,当 x=5 确定后，x1，x2和x3有两个数据可以自由取值，另一个则不能自由取值，比如x1=6，x2=7，那么x3则必然取2，而不能取其他值。样本方差用自由度去除，其原因可从多方面来解释，从实际应用角度看，在抽样估计中，当用样本方差s2去估计总体方差2时，s2是2的无偏估计量。,2023/6/28,52,4、总体数据方差和标准差计算公式,未分组数据：,分组
18、数据：,未分组数据：,分组数据：,方差的计算公式,标准差的计算公式,2023/6/28,53,5、样本标准差(例题分析),即每一天的销售量与平均数相比，平均相差21.58台。,2023/6/28,54,四、相对位置的度量(standard score),1、标准分数：也称标准化值或Z分数，是变量值与其平均数的离差除以标准差的所得值。标准分数是对某一个值在一组数据中相对位置的度量。可用于判断一组数据是否有离群点,2023/6/28,55,1）计算公式,这个公式就是常用的统计标准化公式，在对多个具有不同量纲的变量进行处理时，常常用它对变量的进行标准化处理。例如，计算9个家庭人均月收入的标准分数。,
19、设标准分数为Z，则有：,由上述公式得每个家庭人均月收入的标准分数如下表：,解：已知：,2023/6/28,56,从上表可见：收入最低的家庭人均收入比平均数低1.042个标准差；而收入最高的家庭人均收入比平均数高1.853个标准差。,2023/6/28,57,2）标准分数的性质,1）均值等于02）方差等于1,2023/6/28,58,所以z分数只是将原始数据进行了线性变换，它并没有改变一个数据在该组数据中的位置，也没有改变该组数分布的形状，而只是将该组数据变为均值为0，标准差为1。比如，一组数据为25，28，31，34，37，40，43，其均值为34，标准差为6,2023/6/28,59,其变换
20、如下,2023/6/28,60,2、经验法则,经验法则表明：当一组数据对称分布时约有68%的数据在平均数加减1个标准差的范围之内；约有95%的数据在平均数加减2个标准差的范围之内；有99%的数据在平均数加减3个标准差的范围之内。据此讨论P101例4.13表4-4的结果,2023/6/28,61,3、切比雪夫不等式(Chebyshevs inequality),当一组数据不是对称分布时，则使用切比雪夫不等式假设k=2，3，4，该不等式的含义是 至少有75%的数据落在平均数加减2个标准差的范围之内；至少有89%的数据落在平均数加减3个标准差的范围之内；至少有94%的数据落在平均数加减4个标准差的范
21、围之内。,2023/6/28,62,五、相对离散程度：离散系数(coefficient of variation),方差和标准差是反映数据分散的绝对值，它一方面与变量水平有关，另一方面与原变量的计量单位有关。为了消除变量水平高低与计量单位不同对离散程度测度值的影响，需要计算离散系数。,2023/6/28,63,离散系数,1.离散系数：是标准差与其相应的均值之比。其计算公式为：,它是对数据相对离散程度的测度。优点：消除了数据水平高低和计量单位的影响。适用于对不同组别数据离散程度的比较,2023/6/28,64,例题分析,【例】某管理局抽查了所属的8家企业，其产品销售数据如表。试比较产品销售额与销
22、售利润的离散程度。,2023/6/28,65,解：,由于销售额与利润额的数据水平不同，不能直接用标准差进行比较，需要计算离散系数。,2023/6/28,66,同理有：,因为v1v2，所以产品销售额的离散程度小于销售利润的离散程度。,2023/6/28,67,数据类型与离散程度测度值,2023/6/28,68,第3 节 偏态与峰态的测度,一.偏态及其测度二.峰态及其测度,2023/6/28,69,偏态与峰态分布的形状,偏态,峰态,2023/6/28,70,一、偏态(skewness),统计学家K.Pearson于1895年首次提出数据分布偏斜程度的测度。当偏态系数sk=0时为对称分布；当偏态系数
23、sk 0时为右偏分布；当偏态系数sk 0时为左偏分布。注意：偏态系数大于1或小于-1，被称为高度偏态分布；偏态系数在0.51或-1-0.5之间，被认为是中等偏态分布；偏态系数越接近0，偏斜程度就越低,2023/6/28,71,1、偏态系数(skewness coefficient),1）原始数据计算公式：,2）分组数据计算公式：,2023/6/28,72,例题分析,2023/6/28,73,因为偏态系数为正值，但与0的差异不大，说明电脑销售量为轻微右偏分布。,解：,2023/6/28,74,偏态与峰态(从直方图上观察),按销售量分组(台),结论：1.为右偏分布 2.峰态适中,某电脑公司销售量分
24、布的直方图,2023/6/28,75,二、峰态(kurtosis),统计学家K.Pearson于1905年首次提出数据分布扁平程度的测度。当峰态系数k=0时为扁平峰度适中；当峰态系数k 0时为尖峰分布。,2023/6/28,76,峰态系数(kurtosis coefficient)的计算,1）根据原始数据计算：,2）根据分组数据计算：,2023/6/28,77,例题分析,2023/6/28,78,解：,因为峰态系数为负值，但与0的差异不大，说明电脑销售量为轻微扁平分布。,2023/6/28,79,用Excel计算描述统计量,将120的销售量的数据输入到Excel工作表中，然后按下列步骤操作：第1步：选择“工具”下拉菜单第2步：选择“数据分析”选项第3步：在分析工具中选择“描述统计”，然后选择“确定”第4步：当对话框出现时 在“输入区域”方框内键入数据区域 在“输出选项”中选择输出区域 选择“汇总统计”选择“确定”实例计算,2023/6/28,80,总结：数据分布特征和描述统计量,2023/6/28,81,作业：,一、课后上机用Excel计算描述统计量二、讨论：P110 练习题4.7 三、书面：P108 思考题 4.5 P108 练习题 4.1 P111 4.9,
