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1、运动学,理论力学,第七章 刚体的平面运动,平行于固定平面的运动。,7-1 刚体的平面运动方程,A：基点,平面运动方程,x=f1(t)；,y=f2(t)；,f=f3(t)；,平面运动方程:x=f1(t);y=f2(t)；f=f3(t)；,讨论：,1.f=c；x=f1(t)；y=f2(t)；,平动。,2.x=c1；y=c2；f=f3(t)；,定轴转动。,平动。,f f=q,w,a与基点无关。,v与基点有关。,7-2 平面图形上各点的速度,一、基点法(合成法),1.vA平动速度；,vAB=w*AB;,二、投影法,vBAB=vAAB;,1.瞬时状态；2.可解二个未知量(大小，方向)。,2.vAB相对转
2、动速度;,例71：椭园规机构如图示，杆0C绕0作匀角速度转动，巳知:OC=AC=AB=R，=300,求:滑块A,B的速度。,解:,A 基点法,x:vAcos600=vCcos300;,vC=Rw0;,B 基点法,y:vBCcos300=vCcos300;,vB=vC=Rw0;,x:vBcos300=vCcos300;,vBC=vC=RwCB;,w0=wCB=wAB;,同样可以A点为基奌求B点速度.,是否可以0点为基奌求B点速度.,例72：机构如图示，杆0A绕0作匀角速度转动，巳知:DC=6r，OA=ED=r,求:滑块F的速度和杆ED的角速度。,解:,A 基点法,CD:vCcos600=vDco
3、s300;,vA=rw;,BC作平动:,vB=vC=vF;,AB作瞬时平动:,vA=vB;,C 基点法,x:vDcos600=v DCvCcos300;,三、瞬时速度中心法,vP=vAvAP=0;,PA=vA/w;,速度瞬心:P；,不同瞬时，不同瞬心；,瞬心位置确定,例71A：椭园规机构如图示，杆0C绕0作匀角速度转动，巳知:OC=AC=AB=R，=300,求:滑块A,B的速度。,解:,瞬心法,vc=Rw0;,vD=PD wAB;,P点为基奌求D点速度.,例72A：机构如图示，杆0A绕0作匀角速度转动，巳知:0A=r,DC=6r，,求:滑块F的速度和杆ED的角速度。,解:,vC=PC wCD=
4、6rcos300 wCD;,vA=rw;,BC作平动:,vB=vC;,AB作瞬时平动:,vA=vB;,vD=6rcos600 wCD;,例73：0AB杆做匀速转动带动A、B摩檫轮,B摩檫轮与外曲面做纯滚动，巳知:w=3 1/s,0E=8cm,r=4cm,R=9cm,求:A轮P处速度。,解:,h,vB=w(0E+r+R)=63;,vh=wB2R=126;,vE=0Ew=24;,A 瞬心法,x=0.9240;,wA=25.5,wAr=wB2R?,wB=,例74：滑槽机构如图所示，B、C是滑块推杆连结,巳知:v1,v2,求图示位置:v3,w4。,解:,B:,t:v1 sin=vAB+v2 cos；,
5、t:v3cos=vAC+v2 cos；,C:,73 平面图形上各点的加速度,指向A；,aABt=a*AB;,基点法(合成法),aABn=w2*AB;,垂直AB；,提问：为什么没有哥氏加速度?,1.瞬时状态；2.可解二个未知量(大小，方向。,aAB=ar;,aA=ae;,aB=aa;,是否有加速度投影法,速度矢量图,加速度矢量图,例75：往复机构如图示，杆0A绕0作匀角速度转动，巳知:0A=r,=600，求:滑块B的速度，加速度。,解：,vA=rw,aAt=ar=0；,aAn=w2 r；,x:aB=aABt cos600+aABn cos300+aAncos600；,y:aABt cos300+
6、aABn cos600 aAncos300=0；,如以AB轴投影方程,例76：园轮做纯滚动，巳知:半径=r,轮心速度，加速度,求:园轮边缘任意点M的加速度。,解:,讨论：1.求M1的加速度;=0;,F r=x;,w r=vc;,a r=ac;,aMCt=a r=ac;,x:aMx=aC+aMCt sin+aMCn cos；,y:aMy=aMCt cos aMCn sin；,2.求M2的加速度;=-p/2;,纯滚动条件：,ax=aCaC=0;,ay=v02/r;,M2是速度瞬心，但加速度不等于零。,aMCn=w 2r=,例77：园轮在曲面做纯滚动，0A杆做匀速转动，巳知:w=10 1/s,0A=
7、r=10cm,AB=l=40cm,R=20cm,求:园轮,杆AB的角加速度。,解:,vA=vB=10w;,wB=vB/r=w;,aAn=w2r=1000;,aBn=v B2/(R+r)=333.3;,AB:aBtcos f aBn sin f=aAn sin f；,aBAn=0;,y:aBn=aABt cosf+aAn；,aABt=688.5；,aB=aBt/r=17.2 1/s2;,aAB=aABt/l=17.2 1/s2;,w AB=0;,例78：图示半径R=0.2m园盘作纯滚动，使杆0A绕0轴绕动,巳知:vC=0.8m/s;aC=0.2m/s2,0A=0.4m,求:0A杆的角速度,角加速
8、度。,解:,ve=vC;va=vA;,取A为动点,园盘为动系；,vr=vCsin600=0.69m/s;,va=vA=vC cos600=0.4m/s;,ve=vC=0.8m/s;,w0A=vA/0A=1 rad/s;,牵连运动为平动,加速度式；,arn=v2r/R=2.4m/s2;,aan=w20A 0A=0.4m/s2;,ae=ac=0.2 m/s2;,x:aat=acsin300+arn;,aat=2.5 m/s2;,a0A=aat/0A=6.25 m/s2;,例79：图示连杆机构，01A以匀角速度w=2rad/s转动,並带动滑块运动,巳知:01A=02B=CD=20cm,AB=0102
9、=40cm,求:CD杆中点E速度,加速度。,解:,P,1:求速度,vA=20w=40;,vA=vC=vB;,wCD=vC/CP=2 rad/s;,vC=vD;,解:,aAn=aCn=80cm/s2;,求E加速度有三个未知量aECt，aE大小,方向。,aECn=40cm/s2;,2:求加速度,aDCn=80cm/s2;,x:aCncos600aDCncos600 aDCtcos300=0,先求D点；D点:,aDCt=0;,E点:,n:aEn=aCncos600+aECn=80cm/s2;,t:aEt=aCncos300+aECt=69.2cm/s2;,是否可从D点求E点的加速度?,aDC=0;,
10、例79A：w=2rad/s,01A=02B=CD=20cm,AB=0102=40cm,求:aE。,例710：曲柄绕0匀速转动，已知:w,AB=BD=L,0A=r,求:w1。,解:,速度:B,vA=vB=vD=rw，,ve=vDsin600=rwsin600，,vr=vDsin300=rwsin600，,w1=ve/D0，,解:,加速度:D,n:0=anAatBAcos300=rw2LaABcos300，,aC=2vrw1;,t:anAsin300 atDAcos300=ateaC,anA=w2r;,atDA=2LaAB;,anAB=0;,例710A：曲柄绕0匀速转动，已知:w,AB=BD=L,
11、0A=r,求:a1。,例711：如图平面铰链机构。已知杆O1A的角速度是1，杆O2B的角速度是2，转向如图，且在图示瞬时，杆O1A铅直，杆AC 和O2B水平，而杆BC对铅直线的偏角；又O2B=b，O1A=b。试求在这瞬时C 点的速度。,解：,先求出A点和B点的速度,以A点为基点分析C 点的速度，有,另外，又以B作为基点分析C 点的速度，有,比较以上两式，有,上式投影到 x 轴得,方向如图,所以,于是得,例811A,把 式分别投影到x，y轴上,解：,1.求AB杆的角速度。,由速度合成定理,各速度矢如图所示。,动系固连于导套O。,动点 A点。,静系固连机座。,相对运动A点沿导套O的直线运动。,牵连
12、运动导套O绕定轴的转动。,绝对运动A点以匀速v 沿AC方向的运动。,由于杆AB在导套O中滑动，因此杆AB与导套O具有相同的角速度及角加速度。其角速度,例712：在示平面机构中，AC杆在导轨中以匀速v平动，通过铰链A带动AB杆沿导套O运动，导套O与杆AC的距离为l。图示瞬时AB杆与AC杆的夹角为，求此瞬时AB杆的角速度及角加速度。,例712A：2.求AB杆的角加速度。,由于A点为匀速直线运动，故其绝对加速度为零。A点的相对运动为沿导套O的直线运动，因此其相对加速度ar 沿杆AB方向，故由加速度合成定理有,式中，绝对加速度aa=0，科氏加速度,将上式投影到 ate方向得,从而求得AB杆的角加速度大
13、小为,动点、动系与静系的选取与上相同。,（顺时针转向）,例713：如图所示平面机构，AC杆铅直运动，BD杆水平运动，A为铰链，滑块B可沿槽杆AE中的直槽滑动。图示瞬时,AB=60 mm，,求:该瞬时槽AE杆的角速度及角加速度。,，vr方向沿AE，大小未知；,有三个待求量，无法作出速度平行四边形。,1.求槽杆AE的角速度。,解：,本题为刚体平面运动和点的合成运动综合问题。,先用点的合成运动理论分析，,由速度合成定理，有,再对作平面运动的槽杆AE，以A为基点，有,式vA中已知；vBA方向垂直上于AE，大小未知；vB 大小、方向均未知。,将上式分别投影到vBA及vr方向，有,从而解得,故槽杆AE的角
14、速度为,得,（顺时针）,联立上面（1）、（2）两式,再对作平面运动的槽杆AE，以A为基点，B点的加速度,ar方向沿AE，大小未知；,其大小和方向均未知。,式中,同理先用点的合成运动理论分析，,动点、动系与定系的选取与上相同，则有,2.求槽杆AE的角加速度。,联立上面（3）、（4）两式有,分别投影到atBA及ar方向，得,解得,（逆时针）,故槽杆AE的角速度,例714：在平面机构中，已知：.，.，0.4；在图示瞬时，杆和处于铅垂位置，、在同一铅垂线上，rad，rad2转向如图。试求此瞬时 杆的角速度C；直角三角板的角加速度.,解:,有v0.2,三角形作瞬时平动，故：DB。vv，,取点为基点，则有D点加速度aaaaa,y:aaacos,得:a,故:,方向为 tan.，.。,例715A：在平面机构中，已知：.，.，0.4；在图示瞬时，杆和处于铅垂位置，、在同一铅垂线上，rad，rad2转向如图。试求此瞬时 直角三角板顶点的加速度。,解:,又取点为基点，则有E点加速度aaaa,将上式向，轴投影:,得：aaa,.2,aya,aaa；,aE=8.2,本章结束,
