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1、例.非均匀分布立体的质量,设有空间立体,当的质量是均匀分布时,则的质量M=的体密度 的体积.,若的质量不是均匀分布的,则不能上述方式算质量M.,设空间立体.其质量非均匀分布,体密度(x,y,z)连续,求的质量 M.,第二节三重积分,一、三重积分的概念及性质,(i)将分成 n 个小立体 1,2,n,记 Vi 表示的i 的体积,i=1,2,n.,由于(x,y,z)连续,从而当i很小时,在i上(x,y,z)的变化不大.可近似看作不变.,(ii)即,(i,i,i)Di,以(i,i,i)作为 i 的体密度.从而,i的质量,mi(i,i,i)V i,(iii)因此,的质量,(iv),设R3为有界闭区域,f
2、(x,y,z)是定义在上的有界函数.,将任意分成 n 个无公共内点的小区域 i,(i=1,2,n),用Vi表示i的体积.并记,如果对任意的分法和任意的取法,当 0时,和式,则称 f(x,y,z)在,上可积,记为f(x,y,z)R(),定义1,并称此极限值I为f(x,y,z)在上的三重积分,记作,其中“”称为三重积分号,称为积分区域,f(x,y,z)称为被积函数,dv称为体积元素,三重积分也记为,即,三重积分的性质与二重积分性质完全类似,比如若 f(x,y,z)在上连续,则 f(x,y,z)在上可积;常数因子可从积分号中提出来;和的积分等于积分之和;积分的可加性;积分的保号性;积分中值定理等.,
3、1.直角坐标系下三重积分的计算.,类似于二重积分,三重积分可化为三个定积分计算(三次积分).,设是R3中一母线平行于z 轴,上,下底分别为 z=z2(x,y),z=z1(x,y)的柱体.在xy面上的投影区域记为Dxy.,如图,二、三重积分的计算,则,为x型区域),y=y1(x),y=y2(x),即为y型区域.,则,应用时先画出的草图,看 z 是从哪一曲面变到哪一曲面.确定最里层积分上,下限.,然后到Dxy上作二重,口诀:从里到外,面面,线线,点点.,积分.,注：1.当是一柱体,但侧面的母线平行于 y 轴,它在xz面上的投影区域为Dxz,则可选择先对 y 积分,然后到Dxz上作二重积分.,2.当
4、是一柱体,但侧面的母线平行于 x 轴,它在yz面上的投影区域为Dyz,则可选择先对x 积分,然后到Dyz上作二重积分.,3.当的母线退缩成一点时,此时不是柱体.,比如.,但作三重积分时,仍可将其当作前面情形的特殊情形来处理,:x2+y2+z2 1.则 Dxy:x2+y2 1.,例1.,y=0,z=0 和 x+y+z=1所围成的四面体.,解:,在xy面上的投影区域为,Dxy:0 y 1x,0 x 1.,沿 z 轴方向,下方曲面:z=0,上方曲面:z=1 x y.,类似,例2.,解:,若先对 z 积分,由于沿 z 轴方向的下方曲面和上方曲面均由两片曲面组成,且在xy面上投影区域相对复杂.积分较繁.
5、改为先对 y 积分.,沿 y 轴方向,求在xz面上的投影区域Dxz.,消去 y,故 Dxz:,注意,由于先对 x,再对 y,再对 z 的积分,里面的两个定积分(二次积分)本质上就是一个二重积分,因此,在很多情形下可先做一个二重积分,再做一个定积分,称为“先二后一”的积分,相应地称前面的方法为“先一后二”的积分.,设空间有界闭区域 满足C1 z C2,并且以平行于 xy 面的平面 z=常数(z)截 所得平面区域为Dz,则,(特别,若 f(x,y,z)=g(z),例3.,解:c z c,(x,y)Dz,y,z,x,0,c,c,Dz,椭圆面积为ab.,关于利用对称性积分.,设有界闭区域的形状关于xy
6、面对称,且 f(x,y,z)=f(x,y,z),若 f(x,y,z)=f(x,y,z),其中 1是中处于xy面上方部分.,类似可得关于xz面对称,而 f(x,y,z)关于y 是奇,偶函数的结论,以及 关于 yz 面对称,而 f(x,y,z)关于x 是奇,偶函数的结论.,(1)若 关于平面 y=x 对称,则 f(x,y,z)满足什么条件时,有上述两个结论?,2.三重积分换元法.,设变换T:x=x(u,v,w),y=y(u,v,w),z=z(u,v,w)将*变到,且函数x(u,v,w),y(u,v,w),z(u,v,w)C1(*),雅可比行列式,定理1,问：是否有,?,我们知道,在定积分中,但在二
7、,三重积分中,这一结论一般不对,不过,当满足某些条件时,结论成立。,证：由对称性知,则,1*：y2+z2+x21,y 0,z 0,x 0,即1*1,故,1：x2+y2+z21,x0,y0,z0.,作变量代换,令x=y,y=z,z=x.,故,一般,若在的表达式中,以y代x,以z代y,以x代z后,的表达式不变(即具有“轮换性”),则,(教材P89,第三行结论可由此证明),3.利用柱面坐标求三重积分.,设点M=(x,y,z)R3,它在xy面上的投影点为P=(x,y,o),显然,任给一点M,可唯一确定点P和竖坐标z,反之,在xy面上任给点P和数z,可唯一确定M.因点P可用其极坐标确定,故M可由P的极坐
8、标r,以及z唯一确定,称为柱面坐标.,所以在柱面坐标中 r=常数,则在直角坐标系中的图形为圆柱面,点M的直角坐标(x,y,z)和它的柱面坐标(r,z)的关系为：x=r cos,y=r sin,z=z,其中0 r+,0 2(或)z+.,易见,在柱面坐标中,x2+y2=a2 化为 r=a(a0),y=kx 化为 tg=k 即,=常数.,而=常数,则在直角坐标系中的图形为过z轴的平面,z=常数为平行于xy面的平面.,设变换T：x=rcos,y=r sin,z=z将柱面坐标系中的区域*变成直角坐标系中的区域,易算得,从而,一般,若是一母线平行于z 轴的柱面,z1(x,y)z z2(x,y),(x,y)
9、Dxy,在 xy 面上的投影区域 Dxy 适合用极坐标处理(如圆,曲边扇形等),则可考虑用柱面坐标求三重积分.,并可将其化为先对z,再对r,再对的三次积分(即先对z积分,然后在Dxy上用极坐标做二重积分).,例5.计算,其中：x2+y2+z2 1,且z0.,解：是上半球体,它在xy面上的投影区域是单位圆x2+y2 1.,令 x=rcos,y=rsin,z=z,则平面 z=0 和球面,即0 z,且0 r 1,0 2,其中由x2+y2=2z及z=2所围成.,例6.求,解：一般,若的表达式中含有x2+y2,则可考虑用柱面坐标积分.,令x=rcos,y=rsin,z=z,注：常用的二次曲面有,球面,椭
10、球面,柱面.a(x2+y2)=z(旋转抛物面),ax2+by2=z(椭圆抛物面),a2(x2+y2)=z2(圆锥面).,4.利用球面坐标计算三重积分.,则当OM的方向确定时,唯一确定,反之亦然.,故M与数组(,)一一对应.,称(,)为点M的球面坐标,规定0+,0,0 2(或),由图知,直角坐标与球面坐标的关系为x=rcos=sin cos,y=rsin=sin sin,z=cos.,用球面坐标,可将x2+y2+z2=a2化为=a(a0)，,将圆锥面a(x2+y2)=z2化为=常数,将y=kx化为=常数.,即=常数,=常数=常数分别表球面,圆锥面,过 z轴的半平面.,若变换T:x=rsincos
11、,y=rsinsin,z=rcos将*变到,易算得,从而,右端一般化为先对r,再对,再对 的三次积分.,注：本教材用字母r表示.即x=rsincos,y=r sinsin,z=rcso.(此处r与柱面坐标中的r意义不同).,确定r,的变化范围的方法(与用极坐标算二重积分类似),(1)若由两曲面围成,其球面坐标方程为r=r1(,),r=r2(,).,以原点为起点作向量穿过,先遇到的曲面为r=r1(,),后遇到的曲面为r=r2(,),则r1(,)rr2(,).,的变化范围要由其几何意义视具体情况确定.,(2)若原点在的边界上,以原点为起点所作的穿过的向量只遇到一片曲面,其球面坐标方程为r=r(,)
12、,(3)若包含原点,围成的曲面方程为r=r(,),则0 rr(,),0,02.,的变化范围可根据它们的几何意义,视具体情况确定.,则0 r r(,),例7.求由半径R的球面x2+y2+z22Rz=0和半顶角为的圆锥面ctg2(x2+y2)=z2围成的立体的体积V,其中位于圆锥面上方,球面下方.,解:的体积V,用球面坐标求这个三重积分.,令x=rsincos,y=rsinsin,z=rcos.则,x2+y2+z22Rz=0的球面坐标方程为r22Rrcos=0,即:r=2Rcos,ctg2(x2+y2)=z2的球面方程为ctg2(r2sin2cos2+r2sin2sin2)=r2cos2,即:=.
13、,由前面的(2)及的形状知,0r2Rcos,0,因在xy面投影区域为圆,故02.,的体积,一般,若的表达式中含x2+y2+z2,则可考虑用球面坐标.,例8.计算,解:的表达式中含x2+y2+z2,可用球面坐标求积分.,令 x=r sin cos,y=rsinsin,z=rcos.则,且两球面方程分别为r=b和r=a,(ab).,由上面的(1)及的形状知,arb,0,02.,例9.求椭圆球体:的体积V,a,b,c,大于0.,解:,令,(广义球面坐标),可得,椭圆球面方程为r=1,且0 r1,0,02.,一般,(1)若的表达式中含x2+y2,可考虑用柱面坐标积分.,比如,球面与圆柱面,球面与旋转抛
14、物面,但不绝对.,(2)若的表达式中含x2+y2+z2,可考虑用球面坐标.,比如,球面与圆锥面,但不绝对.,例10.设f(u)可导,且 f(0)=0,求,解:这是一个极限问题,分母趋于0.另外,当(球)的半径 t 0时,分子也是趋于0的.,因此它是一个型的极限问题,可用罗必塔法则求.,注意到分子是一个三重积分,在一定的条件下可化为三个是积分之积,故先化三重积分.,故原式=,(罗彼塔法则),(注意 f(0)=0),例11.设 f(u)连续,证明,证:,即以平面 ax+by+cz=0的单位法向量作u轴,以平面ax+by+cz=0上两个互相垂直的单位向量分别作v轴和w轴,对xyz坐标系作正交变换.,
