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1、二、估计量的评选标准,一、点估计,第6讲,参数估计,三、区间估计,四、正态总体均值与方差的 区间估计,参数估计是统计推断的基本问题之一，,问题中，,并不一定要求密度函数，,而只要知道参数那么,在许多实际,分布就决定了。,考察灯泡厂生产的灯泡质量，,由于种种随机,易知灯泡使用寿命是随机变量，,记为,且,引例1,因素的影响，,知道了参数2的值，那么寿命X的分布就完全,确定了.,参数估计要解决问题:,总体分布函数的形式为已知,需要确定未知参数。,这类问题称为参数估计问题。,只有当参数 确定后，,才能通过,概率密度函数计算概率。,对于未知参数，,如何应用样本,所提供的信息去对其一个或多个未知参数进行估
2、计。,对未知参数估计的两种方法：,通过样本,1、点估计,2、区间估计,1 点估计,点估计问题：,1.矩估计法,2.最大似然法,二、寻求估计量的方法,1.矩估计法,建立的一种估计方法.,基于“替换”思想,理论依据:,这种估计量称为矩估计量；矩估计量的观察值称为矩估计值。,例 1 设某炸药厂一天中发生着火现象的次数X服从,例2：,解：,由矩法,解得,解,标准差,例5 某厂生产螺母，,从某日的产品中随机抽取 8 件，,量得内径（毫米）如下：,15.3 14.9 15.2 15.1 14.8 14.6 15.1 14.7,试估计该日生产这些螺母内径的均值和标准差。,解:由密度函数知,具有均值为 的指数
3、分布,故 E(X-)=,D(X-)=,例6,是在总体类型已知条件下使用的一种参数估计方法.,2.极大似然法,极大似然法的基本思想,先看一个简单例子：,一只野兔从前方窜过.,是谁打中的呢？,某位同学与一位猎人一起外出打猎.,如果要你推测，,你会如何想呢?,只听一声枪响，野兔应声倒下.,你就会想，只发一枪便打中,猎人命中的概率一般大于这位同学命中的概率.看来这一枪是猎人射中的.,这个例子所作的推断已经体现了极大似然法的基本思想.,以上这种选择一个参数使得试验结果具有最大概率的思想就是极大似然法的基本思想.,2.极大似然估计法,(4)在最大值点的表达式中,用样本值代入 就得参数的极大似然估计值.,(
4、1)由总体分布导出样本的联合分布律(或联合密度);,(2)把样本联合分布律(或联合密度)中自变 量看成已知常数,而把参数 看作自变量,得到似然函数L();,(3)求似然函数L()的最大值点(常常转化 为求ln L()的最大值点)，即 的MLE;,求极大似然估计(MLE)的一般步骤是：,两点说明,2、用上述求导方法求参数的MLE有时行不通，这时要用极大似然原则来求.,下面举例说明如何求极大似然估计,L(p)=,设X1,X2,Xn是取自总体 Xb(1,p)的一个样本，求参数p的极大似然估计.,解：似然函数为:,例1,对数似然函数为：,对p求导并令其为0，,=0,得,即为 p 的MLE.,解：似然函
5、数为,对数似然函数为,设X1,X2,Xn是取自总体X的一个样本,求 的极大似然估计.,其中 0,例2,求导并令其为0,=0,从中解得,即为 的MLE.,对数似然函数为,似然函数为：,-它与矩估计量是相同的。,极大似然估计不变性,解：似然函数为,i=1,2,n,例4,对数似然函数为,解：似然函数为,i=1,2,n,求导方法无法求参数 的MLE.,是,对,故使 达到最大的 即 的MLE，,取其它值时，,且是 的增函数,由于,这时要用极大似然原则来求.,即 为 的MLE.,由于估计量作为样本的函数是一个随机变量,对于不同的样本值,估计值也不同,因此评价一个估计量的优劣就不能仅由一个观测值来确定,而要
6、根据估计量的统计性质来评价.通常一个好的估计量其观测值应在待估计参数的真值附近波动,且波动的幅度越小越好,即要使估计量与待估计参数在某种统计意义下非常“接近”.,常用的几条标准是：,1无偏性,2有效性,3相合性,这里我们重点介绍前面两个标准.,第2节 估计量的评选标准,而它的期望值等于未知参数的真值.,则称 为 的无偏估计.,1无偏性,估计量是随机变量，,对于不同的样本值会得到不同的,估计值.,我们希望估计值在未知参数真值附近摆动，,这个标准.,这就导致无偏性,定义,无偏性的意义是：用 来估计 时无系统偏差。,例如 设总体X的数学期望 存在，,是X的样本，求证,均为的无偏估计。,为2 的无偏估
7、计量,不是2 的无偏估计量,证,用Sn2来估计2有系统偏差。,例2 设,一个未知数可以有不同的无偏估计量。,解,例3,例：由大数定律知,一致性说明：对于大子样，由一次抽样得到的估计量 的值可作的近似值,3有效性,都是参数 的无偏估计量，若有,定义3,则称 较 有效.,例4 设总体,的数学期望和方差都存在,是 X 的样本,证明统计量,都是总体均值,的无偏估计量,并确定哪个估计量更有效.,解 设,故,都是总体均值,的无偏估计量.,又由于,估计量,更有效.,下面讨论无偏估计方差的下界，达到这个下界的无偏估,量称为优效估计量（最小方差无偏估计）。,定理：罗克拉美不等式,罗克拉美不等式,右端为罗克拉美下界，记为,类似：d.r.v,注：有时能找到无偏估计使它的方差达到这个下界，有时达不到,估计量的标准的总结,求极大似然估计的一般步骤：,写出似然函数,2.对似然函数取对数,3.对j(j=1,m)分别求偏导,建立似然方程(组),解得,分别作为 的极大估计值.,易出错点：似然函数的构造过程中，连乘号的运用,练习,解,由于总体X 的分布为二项分布，因此,和极大似然估计。,解,似然函数为,令,即,X的概率密度为：,为2 的无偏估计量,也是2 的无偏估计量,例题,解答,
