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1、第六章,二次型,一、二次型的 概念,二、化二次型为 标准型,三、正定二次型,在解析几何中，为了便于研究二次曲线,的几何性质，,可以选择适当的 坐标旋转变换,把方程化成标准形式,这类问题具有普遍性，在许多理论问题和 实际问题中常会遇到，本章将把这类问题一般化，讨论 个变量的 二次齐次式的化简问题。,引入,当 时，,1 二次型的概念,二次型写成对称形式,记,其中A为实对称矩阵。,在二次型的矩阵表示中，任给一个二次型，就唯一地确定一个对称矩阵；反之，任给一个对称矩阵，也可唯一地确定一个二次型这样，二次型与对称矩阵之间存在一一对应的关系,二次型的矩阵及秩,解,例,定义2 设A,B是n阶矩阵，如果存在一
2、个n阶可逆矩阵C，使得,则称 B与A是合同的（congruent）。,注：1、合同关系满足反身性，对称性和传递性。,2、合同矩阵具有相同的秩。,3、若A为对称矩阵，则B也为对称矩阵。,设有可逆线性变换,对于二次型，我们讨论的主要问题是：寻求可逆的线性变换，将二次型化为标准形,对称矩阵,2 化二次型为标准型,由于 是实对称的，,令,用正交变换化二次型为标准形的具体步骤：,解,例2,解,例3,所用变换矩阵为,1.若二次型含有 的平方项，则先把含有 的乘积项集中，然后配方，再对其余的变量同样进行，直到都配成平方项为止，经过非退化线性变换，就得到标准形；,拉格朗日配方法的步骤,2.若二次型中不含有平方
3、项，但是 则先作可逆线性变换,化二次型为含有平方项的二次型，然后再按1中方法配方。,解,例4,由于所给二次型中无平方项，所以,再配方，得,所用变换矩阵为,注：(1)正交变换法化的标准型系数是A 的特征值，而配方法则与它无关(2)使用不同的方法，所得到的标准形可能不相同(标准型不唯一）.（3）标准形中含有的项数必定相同，项数等于所给二次型的秩。而且，其中所含的正项的个数（负项的个数）是固定的，称为二次型的正（负）惯性指数。,为正定二次型,为负定二次型,例如,3 正定二次型,定理2 n元实二次型 为正定的充分必要条件为：它的标准形中的正惯性指数等于n。,推论对称矩阵 为正定的充分必要条件是：的特征值全为正,定理3 实对称矩阵A正定的充要条件是 和 合同。,例1 设A正定，则A可逆，且 也正定。,证明：因为A是正定矩阵，所以存在可逆C，使得,这个定理称为霍尔维茨定理,定理4 对称矩阵 为正定的充分必要条件是：的各阶顺序主子式全为正数，即,解,它的顺序主子式,故上述二次型是正定的.,解,二次型的矩阵为,用特征值判别法.,故此二次型为正定二次型.,即知 是正定矩阵，,
