数理统计课后题标准答案.ppt

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1、第一章 抽样和抽样分布,1.子样平均数和子样方差的简化计算如下：设子样值x1,x2,xn的平均数 为和方差为作变换，得到y1,y2,yn,它的平均数为 和方差为。试证：。,解：由变换，即,2.在五块条件基本相同的田地上种植某种农作物，亩产量分别为92，94，103，105，106（单位：斤），求子样平均数和子样方差。解：作变换,3.设X1,X2,Xn是参数为的泊松分布的母体的一个子样，是子样平均数，试求E 和D。解：,4.设X1,X2,Xn是区间（-1，1）上均匀分布的母体的一个子样，试求子样平均数的均值和方差。解：,5.设X1,X2,Xn是分布为的正态母体的一个子样，求 的概率分布。解：,由

2、 分布定义，Y服从自由度为n的 分布。,16.设母体X具有正态分布N(0,1)，从此母体中取一容量为6的子样（x1,x2,x3,x4,x5,x6）。又设。试决定常数C,使得随机变量CY服从 分布。解：,亦服从N(0,3)且与Z1相互独立，,且与 相互独立。由 分布可加性，,7.已知，求证证明：令,8设母体,从中抽取容量n的样本 求（1）n=36时，解：,（2）n=64时，求,解：,第二章 参数估计1.设母体X具有负指数分布，它的分布密度为 f(x)=,其中。试用矩法求的估计量。解：f(x)=（）,用样本 估计Ex，则有,12.设母体X具有几何分布,它的分布列为PX=k=(1-p)k-1p,k=

3、1,2,先用矩法求p的估计量,再求p的最大似然估计.解:(1)矩法估计,(2)极大似然估计,13.设母体X具有在区间a,b上的均匀分布,其分布密度为 f(x)=,其中a,b是未知参数,试用矩法求a与b的估计量.解:用 和 分别估计EX和DX得,14.设母体X的分布密度为 f(x)=其中(1)求 的最大似然估计量;(2)用矩法求 的估计量.解:,(),1最大似然估计,2矩法估计用 估计EX,5.设母体X的密度为试求 的最大似然估计;并问所得估计量是否的无偏估计.解：,得,是 的无偏估计.,6.设母体X具有分布密度 f(x)=其中k是已知的正整数,试求未知参数的最大似然估计量.解:似然函数,7.设

4、母体X具有均匀分布密度,从中抽得容量为6的子样数值 1.3,0.6,1.7,2.2,0.3,1.1,试求母体平均数和方差的最大似然估计量的值.解:，的最大似然估计,8.设母体X的分布密度为 f(x)=,试求 的最大似然估计。解：,似然函数,为了使L达到最大，尽可能小，尽可能大，而,12设母体X服从正态分布 是从此母体中抽取的一个子样。试验证下面三个估计量（1）,（2）,（3）,都是 的无偏估计，并求出每个估计量的方差。问哪一个方差最小？解：,同理：都是 的无偏估计。,方差最小为有效,对形如,13.设X1,X2,Xn是具有泊松分布 母体的一个子样。试验证：子样方差 是 的无偏估计；并且对任一值也

5、是 的无偏估计，此处 为子样的平均数,解：,14.设X1,X2,Xn为母体 的一个子样。试选择适当常数C,使 为 的无偏估计。解：,18.从一批电子管中抽取100只,若抽取的电子管的平均寿命为1000小时,标准差s为40小时,试求整批电子管的平均寿命的置信区间(给定置信概率为95%).解:n=100,小时,s=40小时用 估计,构造函数,给定置信概率,有,即,整批电子管的平均寿命置信概率为95%的置信区间为(992.2,1007.8)小时.,19.随机地从一批钉子中抽取16枚,测得其长度(单位:cm)为2.14,2.10,2.13,2.15,2.13,2.12,2.13,2.10,2.15,2

6、.12,2.14,2.10,2.13,2.11,2.14,2.11。设钉长分布为正态的，试求母体平均数 的置信概率为90%的置信区间：（1）若已知（2）若 未知。解：n=16,(1)若已知，构造函数,给定置信概率90%，有,即,（2）若 未知构造函数,给定置信概率90%，查得，有,母体平均数 的置信概率为90%的置信区间为，即（2.1250.0075）,21.假定每次试验时，出现事件A的概率p相同但未知。如果在60次独立试验中，事件A出现15次，试求概率p的置信区间（给定置信概率为0.95）。解：n=60,m=15,x“0-1”分布，,构造函数,给定置信概率95%，有,即,故p的置信概率为95

7、%的置信区间为（0.250.11）,22.对于方差 为已知的正态母体，问需抽取容量n为多大的子样，才使母体平均数 的置信概率为 的置信区间的长度不大于L?解：,构造函数,给定置信概率，有，使,即,置信区间长度,23.从正态母体中抽取一个容量为n的子样，算得子样标准差 的数值。设（1）n=10,=5.1(2)n=46,=14。试求母体标准差的置信概率为0.99的置信区间。解：（1）n=10,用 估计,构造函数 给定置信概率=99%,查表得,使,母体 的置信概率为0.99的置信区间是,即(3.150,11.62),(2)n=46,时,所求的置信区间是,即(10.979,19.047),25.设母体

8、X服从正态分布,和 是子样X1,X2,Xn的平均数和方差;又设,且与X1,X2,Xn独立,试求统计量 的抽样分布.解:,又,服从正态分布,故,又,与,独立,根据t分布定义,26.设X1,X2,Xm和Y1,Y2,Yn分别是从分布为 两个母体中抽取的独立随机子样,分别表示X和Y的子样平均数,和 分别表示X和Y的子样方差.对任意两个固定实数 和,试求随机变量,的概率分布.,解:是正态变量线性组合,仍服从正态分布.,又,且相互独立,由 分布可加性,且与,独立,根据t分布定义,27.从正态母体中抽取一个n45的大子样,利用第一章2.2中 分布的性质3,证明方差,的置信区间(给定置信概率为)是,证明:对正

9、态母体 的置信概率为 的置信区间是,当n45时,(1),代入(1)式,即,证毕.,29.随机地从A批导线中抽取4根,从B批导线中抽取5根,测得其电阻(单位:欧姆)并计算得:,设测试数据分别具有分布,和,.试求 的置信概率为95%的,置信区间.,解:,构造函数,给定置信概率95%,查得,使,所求置信下限为:,置信上限为:0.0033+0.00406=0.00736(-0.00076,0.00736)为 的置信概率为95%的置信区间.,31.两台机床加工同一种零件,分别抽取6个和9个零件,测得其长度计算得,假定各台机床零件长度服从正态分布.试求两个母体方差之比 的置信区间(给定置信概率为95%).

10、,解:,构造函数,给定置信概率,有,查表,所求置信区间的置信下限为,置信上限为,34.从一批某种型号电子管中抽出容量为10的子样,计算得标准差(小时).设整批电子管服从正态分布.试给出这批管子寿命标准差 的单侧置信上限(置信概率为95%).,解:n=10,(小时),构造函数,给定置信概率95%,查,使,即,故所求 的置信概率为95%的置信上限为,第三章 假设检验,1.从已知标准差 的正态母体中,抽取容量为n=16的子样,由它算得子样平均数.试在显著水平0.05下,检验假设H0:,解:1.建立原假设H0:2.在H0成立前提下,构造统计量,3.给定显著水平,有,使,即,4.由样本n=16,代入,接

11、受H0,2.从正态母体 中取100个样品,计算得,(1)试检验H0:(2)计算上述检验在 时犯第二类错误的概率.,是否成立,解:(1)1.建立原假设H0:2.在H0成立前提下,构造统计量,3.给定显著水平,有,使,即,代入,拒绝H0,(2)真实 时,3.某批砂矿的5个样品中的镍含量经测定为 x(%)3.25 3.27 3.24 3.26 3.24设测定值服从正态分布。问在下 能否接受假设：这批矿砂的(平均)镍含量为3.25。解：设，未知，计算.252，=0.013。（1）建立假设：（2）在假设成立的前提下，构造统计量,（3）给定,查得=4.6041（4）由样本计算，=0.34 接受,4.某电器

12、零件的平均电阻一直保持在2.64欧姆。改变加工工艺后，测得100个零件的平均电阻为2.62欧姆，电阻标准差（s）为0.06欧姆，问新工艺对此零件的电阻有无显著影响？解：（1）建立假设：n=100,s=0.06（2）在 成立前提下，构造统计量,（3）给定，有，使（4）由样本计算：拒绝，有显著影响。,5。某纺织厂在正常的运转条件下，各台布机一小时内经纱平均断头数为0.973根，断头数的标准差为0.162根。该厂进行工艺改革，减少轻纱上桨率。在200台布机上试验，结果每台一小时内经纱平均断头数为0.994根，标准差（s）为0.16根，问新工艺经纱断头数与旧工艺有无显著差异（）？解：（1）建立假设：n

13、=100,s=0.06（2）在 成立的前提下，构造统计量,（3）给定，查得，使（4）由样本计算，接受,6.某产品的次品率为0.17。现对此产品进行新工艺试验，从中抽取400件检验，发现有次品56件。能否认为这项新工艺显著地影响产品的质量（）？解：（1）建立假设：（2）在 成立的前提下，构造统计量,（3）给定，查的，使得（4）由样本计算，接受,7.某切割机正常工作时，切割每段金属棒的平均长度为10.5cm。今在某段时间内随机的抽取15段进行测量，某结果如下（cm）：10.4，10.6，10.1，10.4，10.5，10.3，10.3，10.2，10.9，10.6，10.8，10.5，10.7，1

14、0.2，10.7。问此段时间内该机工作是否正常（）？假定金属棒长度服从正态分布。解：（1）建立假设：n=15,（2）在 成立的前提下，构造统计量（3）给定，查得，使（4）由样本计算，接受，工作正常。,8.从某种实验物中取出24个样品，测量其发热量，计算得，子样标准差，问以5%的显著水平是否可认为发热量的期望值是12100（假定发热量服从正态分布）？解：（1）建立假设：n=24，（2）在 成立的前提下，构造统计量（3）给定，查得,（4）由样本计算，拒绝 8.有一种新安眠药，据说在一定剂量下，能比某种安眠药平均增加睡眠时间3小时。根据质料用旧安眠药睡眠时间平均为20.8小时，标准差为1.6小时。为

15、了检验这个说法是否正确，收集到一组使用新安眠药的睡眠时间为 26.7，22.0，24.1，21.0，27.2，25.0，23.4,试问：从这组数据能否说明新安眠药的睡眠时间已达到新的疗效（假定睡眠时间服从正态分布，取）？解：1、（1）建立假设：（2）在 成立的前提下，构造统计量（3）给定，查得,（4）由样本计算，接受 2、（1）建立假设：（2）在 成立的前提下，构造统计量（3）给定，查得（4）由样本计算，接受，认为达到效果,10.为了比较两种枪弹的速度（单位：米/秒），在相同的条件下进行速度测定。算得子样平均数和子样标准差 枪弹甲 枪弹乙在显著水平 下，这两种枪弹(平均)速度有无显著差异？解：

16、（1）建立假设：（2）在 成立的前提下，构造统计量,（3）给定，查得（4）由样本计算 拒绝，有显著差异。,11.在十块田地上同时试种甲、乙两种品种作物，根据产量计算得，。试问这两种品种产量有无明显差异（）？假定两种品种作物产量分别服从正态分布，且方差相等。解：1、（1）建立假设：（2）在 成立的前提下，构造统计量,12.为确定肥料的效果,取1000株植物做试验。在没有施肥的100株植物中，有53株长势良好；在已施肥的900株中，则有783株长势良好。问施肥的效果是否显著（）？解：（1）建立假设（2）在 成立的前提下，构造统计量,22.测得两批电子器材的电阻的子样值为A批 x（欧姆）：0.140

17、，0.138，0.143，0.142，0.144，0.137B批 y（欧姆）：0.135，0.140，0.142，0.136，0.138，0.140设这两批器材的电阻分别服从分布 与,16.检验一颗筛子的六个面是否匀称现在掷120，结果如下：点数 1，2，3，4，5，6频数 21，28，19，24，16，12,26.有一正四面体，将此四面体分别途为红、黄、蓝、白四色。现在任意的抛掷它直到它与地面相接触为止。记录其抛掷的次数，作为一盘试验。做200盘这样的试验，结果如下：抛掷次数 1，2，3，4，5频数 56，48，32，28，36问该四面体是否均匀？,解：母体X的分布律为：,建立假设：母体X的

18、分布律为上述分布律在 成立的前提下，构造统计量给定显著水平，查得,方差分析习题,1.为了对一元方差分析表作简化计算，对测定值 作变换，其中b、c是常数，且。试用 表示组内离差和组间离差，并用他们表示F的值。,解：由第一章习题3可知 组内离差 组间离差,2.有四个厂生产1.5伏的3号电池。现从每个工厂产品中各取一子样，测量其寿命得到数值如下：,问四个厂干电池寿命有无显著差异（）？,解：1.建立假设：四个水平下母体 2.在 成立前提下构造统计量 3.给定显著水平，查，使 4.有样本计算列出方差分析表,F1,接受，四个厂的干电池寿命无显著差异,3.抽查某地区三所小学五年级男学生的身高，得如下数据：,

19、试问该地区三所小学五年级男学生的平均身高是否有显著差异（）？,解：，I=1,2,3 1.建立假设：2.在 成立前提下构造统计量 3.给定显著水平，查，使 4.有样本计算列出方差分析表,，所以拒绝，认为三所小学五年级男生平均身高有显著差异,4.在一元方差分析中，而，试求 的无偏估计量及其方差。,解：在第i水平下,估计量为 而总的平均 的估计量为 的估计量为 是无偏的,1.通过原点的一元回归的线形模型为 其中各 相互独立，并且都服从正态分布。试由n组观察值，用最小二乘法估计，并用矩法估计,回归分析习题,解：；的矩法估计,2.在考察硝酸钠的可溶性程度时，对一系列不同温度观察它在100ml的水中溶解的硝酸钠的重量，获得观察结果如下：从经验和理论知之间有下述关系式 其中各 相互独立，并且都服从正态分布。使用最小二乘法估计参数，并且用矩法估计。,解：列表计算,矩法估计,3.某医院用光电比色计检验尿汞时，得尿汞含量（mg/L）与光系数读数的结果如下：已知他们之间有关系式其中，且各 相互独立，试求 的最小二乘法估计，并在显著水平0.05下检验是否为38。,解：1.列表计算,2.建立假设：在 成立前提下构造统计量，给定显著水平，查，使计算|T|=0.846接受，,