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1、第七章 微分方程,1 微分方程的基本概念,则它满足:,1.引入,解,由(1)得,一条曲线过点,例1,且在该曲线上任一点,处的切线的斜率为,求这条曲线的,方程.,设所求曲线的方程为:,(1),(2),由(2)得,即,所求曲线的方程为：,2.基本概念,微分方程:,常微分方程:,偏微分方程:,未知函数为一元函数的方程.,含有未知函数的导数或微分的方程.,未知函数为多元函数的方程.,微分方程中所含未知函数的导数或微分的最高阶数.,微分方程的阶:,例如,一阶,三阶,四阶,3.微分方程的解,(1),阶微分方程的形式：,若由(1)可以解出最高阶导数，,则(1)式变为,(2),以后讨论的微分方程都是：,已解出
2、最高阶导数,或能解出最高阶导数的方程，,并且右端函数,在所讨论的范围内连续。,说明,满足微分方程(1),即,则称函数,(1),若函数,定义,为微分方程(1)的解.,4.解的形式,(1)通解与特解,如果微分方程的解中含有任意常数,且其中独立的任意常数的个数恰好等于方程的阶数,则称这个解为该方程的通解.,不含任意常数的解称为特解.,例,通解,特解,(2)显式解与隐式解,以显函数形式表示的解称为显式解.,以隐函数形式表示的解称为隐式解.,显式解,隐式解,或,例,5、初值问题,为了确定任意常数，,还需要求解满足一定,的条件。,通常要求的条件是：,对于一阶方程，,或记为,通常要求的条件是：,对于二阶方程
3、，,或记为,求微分方程,满足初始条件,的特解,问题：,记为,称为一阶微分方程的初值问题。,类似地，,称为二阶微分方程的初值问题。,问题：,(2),(3),定义,微分方程的解的图形是一条曲线，,称为该微分方程的积分曲线。,初值问题(2)的几何意义：,求微分方程,的那条积分曲线。,初值问题(3)的几何意义：,求微分方程,的那条积分曲线。,且在该点处的切线的斜率为,过点,过点,例2,验证：,函数,是微分方程,的解。,证,按定义，得：,函数,是微分方程,的解。,说明,上面已验证：,函数,是微分方程,的解。,是微分方程,的通解。,它含有两个任意常数。,任意常数的个数,方程的阶数,例3,已知函数,是微分方程,的通解，,求满足初始条件,的特解。,解,解得,所求特解为：,fin,
