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1、第一章：时域离散信号与时域离散系统,第二章：时域离散信号和系统的分析 第三章：离散傅立叶变换,第四章：快速傅里叶变换,第五章：时域离散系统的基本网络结构,第六章：无限脉冲响应数字滤波器的设计,第七章：有限脉冲响应数字滤波器的设计,第八章：其他类型的数字滤波器,本章主要内容1.1 引言 1.2 时域离散信号 1.3 时域离散系统1.4 时域离散系统的输入输出描述法线性常系数差分方程 1.5 模拟信号数字处理方法1.6 小结,第一章 时域离散信号和时域离散系统,引言,信号通常是一个自变量或几个自变量的函数。如果仅有一个自变量，则称为一维信号；如果有两个以上的自变量，则称为多维信号。本书仅研究一维数
2、字信号处理的理论与技术。关于信号的自变量，有多种形式，可以是时间、距离、温度、电压等，我们一般地把信号看作时间的函数。本章作为全书的基础，主要学习时域离散信号的表示方法和典型信号、线性时不变系统的因果性和稳定性，以及系统的输入输出描述法，线性常系数差分方程的解法。最后介绍模拟信号数字处理方法。,时域离散信号,对模拟信号xa(t)进行等间隔采样，采样间隔为T，得到-n 这里n取整数。对于不同的n值，xa(nT)是一个有序的数字序列：xa(-T)、xa(0)、xa(T)，该数字序列就是时域离散信号。实际信号处理中，这些数字序列值按顺序放在存贮器中，此时nT代表的是前后顺序。为简化，采样间隔可以不写
3、，形成x(n)信号，x(n)可以称为序列。对于具体信号，x(n)也代表第n个序列值。,时域离散信号,需要说明的是，这里n取整数，非整数时无定义，另外，在数值上它等于信号的采样值，即 x(n)=xa(nT)，-n信号随n的变化规律可以用公式表示，也可以用图形表 示。如果x(n)是通过观测得到的一组离散数据，则其可用集合符号表示，例如:x(n)=1.3,2.5,3.3,1.9,0,4.1,时域离散信号,常用的典型序列 单位采样序列d(n)单位采样序列也可以称为单位脉冲序列，特点是仅在n=0时取值为1，其它均为零。它类似于模拟信号和系统中的单位冲激函数(t)，但不同的是(t)在t=0时，取值无穷大，
4、t0时取值为零，对时间t的积分为1。单位采样序列和单位冲激信号如图所示。,时域离散信号,单位阶跃序列u(n)单位阶跃序列如图所示。它类似于模拟信号中的单位阶跃函数u(t)。(n)与u(n)之间的关系如下式所示：(n)=u(n)-u(n-1),时域离散信号,矩形序列RN(n)上式中N称为矩形序列的长度。当N=4时，R4(n)的波形如图所示。矩形序列可用单位阶跃序列表示，如下式：RN(n)=u(n)-u(n-N),时域离散信号,Example 给定信号x(n)：（1）试用延迟的单位脉冲序列及其加权和画出表示x(n)序列；（2）令x1(n)2 x(n-2)，试画出x1(n)的波形；（3）令x2(n)
5、2 x(n+2)，试画出x2(n)的波形；（4）令x3(n)x(2-n)，试画出x3(n)的波形。解：（1）,时域离散信号,Example（2）x1(n)的波形是x(n)的波形右移2个单位，再乘以2，波形如 下。,n,0,1,2,3,4,5,12,6,-2,-6,x1(n),6,时域离散信号,Example（3）x2(n)的波形是x(n)的波形左移移2个单位，再乘以2，波形如下。,x2(n),n,0,1,2,-2,-1,12,6,2,-2,-6,-4,-3,时域离散信号,Example（4）x3(n)的波形：先画x(-n)的波形，然后右移移2个单位，波形如下。,x3(n),0,1,2,6,3,
6、1,-3,-1,n,时域离散信号,Example给定信号x(n)：试用延迟的单位脉冲序列及其加权和画出表示x(n)序列,0,0,-1,1,R5(n+1),-R4(n-1),x(n),n,n,时域离散信号,实指数序列 x(n)=anu(n)，a为实数 如果|a|1，则称为发散序列。其波形如图所示。,时域离散信号,正弦序列 x(n)=sin(n)式中称为正弦序列的数字域频率，单位是弧度，它表示序列变化的速率，或者说表示相邻两个序列值之间变化的弧度数。如果正弦序列是由模拟信号xa(t)采样得到的，那么 xa(t)=sin(t)xa(t)|t=nT=sin(nT)x(n)=sin(n)因为在数值上，序
7、列值与采样信号值相等，因此得到数字频率与模拟角频率之间的关系为 T 它表示凡是由模拟信号采样得到的序列，模拟角频率与序列的数字域频率成线性关系。由于采样频率fs与采样周期T互为倒数，也可以表示成下式：,时域离散信号,复指数序列 x(n)=e(+j0)n式中0为数字域频率，设=0，用极坐标和实部虚部表示如下式：x(n)=e j0n x(n)=cos(0n)+jsin(0n)由于n取整数，下面等式成立：e j(0+2M)n=e j0n,M=0,1,2,时域离散信号,如果对所有n存在一个最小的正整数N，使下面等式成立：周期序列 x(n)=x(n+N),-n 则称序列x(n)为周期性序列，周期为N，注
8、意N要取整数。例如：上式中，数字频率是/4，由于n取整数，可以写成下式：上式表明 是周期为8的周期序列，也称正弦序列，如图所示。,时域离散信号,一般正弦序列的周期性 设 x(n)=Asin(0n+)那么 x(n+N)=Asin(0(n+N)+)=Asin(0n+0N+)如果 x(n+N)=x(n)则要求N=(2/0)k，式中k与N均取整数，且k的取值要保证N是最小的正整数，满足这些条件，正弦序列才是以N为周期的周期序列。,序列的运算,在数字信号处理中，序列有下面几种运算，它们是乘法、加法、移位、翻转及尺度变换。1.乘法和加法：序列之间的乘法和加法，是指它的同序号的序列值逐项对应相乘和相加，如图
9、所示。,序列的运算,2.移位、翻转及尺度变换 设序列x(n)用图(a)表示，其移位序列x(n-n0)(当n0=2时)用图(b)表示；当n0 0时称为x(n)的延时序列；当n0 0时，称为x(n)的超前序列。x(-n)则是x(n)的翻转序列，用图(c)表示。x(mn)是x(n)序列每隔m点取一点形成的，相当于时间轴n压缩了m倍。当m=2时，其波形如图(d)所示。,时域离散系统,设时域离散系统的输入为x(n)，经过规定的运算，系统输出序列用y(n)表示。设运算关系用T表示，输出与输入之间关系用下式表示：y(n)=Tx(n)其框图如图所示。在时域离散系统中，最重要的是线性时不变系统，因为很多物理过程
10、可用这类系统表征。,时域离散系统,线性系统 满足叠加原理的系统称为线性系统 设x1(n)和x2(n)分别作为系统的输入序列，其输 出分别用y1(n)和y2(n)表示，即 y1(n)=Tx1(n)，y2(n)=Tx2(n)那么线性系统一定满足下面两个公式：T x1(n)+x2(n)=y1(n)+y2(n)(*)Ta x1(n)=a y1(n)(*)满足(*)式称为线性系统的可加性；满足(*)式称为线性系统的比列性或齐次性，式中a是常数。将以上两个公式结合起来，可表示成：y(n)=Tax1(n)+bx2(n)=ay1(n)+by2(n)上式中，a和b均是常数。,时域离散系统,【例】证明y(n)=a
11、x(n)+b(a和b是常数)，所代表的系统是非线性系统。证明：y1(n)=Tx1(n)=ax1(n)+b y2(n)=Tx2(n)=ax2(n)+b y(n)=Tx1(n)+x2(n)=ax1(n)+ax2(n)+b y(n)y1(n)+y2(n)因此，该系统不是线性系统。用同样的方法可以证明下式也是线性系统,时域离散系统,时不变系统 如果系统对输入信号的运算关系T在整个运算过程中不随时间变化，或者说系统对于输入信号的响应与信号加于系统的时间无关，则这种系统称为时不变系统，用公式表示如下：y(n)=Tx(n)y(n-n0)=Tx(n-n0)【例1】检查y(n)=ax(n)+b代表的系统是否是时
12、不变系统，上式中a和b是常数。解：y(n)=ax(n)+b y(n-n0)=ax(n-n0)+b Tx(n-n0)ax(n-n0)+b y(n-n0)=Tx(n-n0)因此该系统是时不变系统。,时域离散系统,【例2】检查y(n)=nx(n)所代表的系统是否是时不变系统。解:y(n)=nx(n)y(n-n0)=(n-n0)x(n-n0)Tx(n-n0)=nx(n-n0)y(n-n0)Tx(n-n0)因此该系统不是时不变系统。同样方法可以证明 所代表的系统不是时不变系统。,时域离散系统,线性时不变系统输入与输出之间的关系 设系统的输入x(n)=(n)，系统输出y(n)的初始状态为零，定义这种条件下
13、系统输出称为系统的单位取样响应，用h(n)表示。换句话说，单位取样响应即是系统对于(n)的零状态响应。用公式表示为 h(n)=T(n)h(n)和模拟系统中的单位冲激响应h(t)类似，都代表系统的时域特征。设系统的输入用x(n)表示，按照上式表示成单位采样序列移位加权和为,时域离散系统,根据线性系统的叠加性质 又根据时不变性质 式中的符号“*”代表卷积运算，(*)式表示线性时不变系统的输出等于输入序列和该系统的单位取样响应的卷积。只要知道系统的单位取样响应，按照(*)式，对于任意输入x(n)都可以求出系统的输出.,时域离散系统,例：设线性时不变系统的单位取样响应为h(n)=anU(n),0a1，
14、则输入序列x(n)=U(n)时，输出序列y(n)=?,时域离散系统,卷积中主要运算是翻转、移位、相乘和相加，这类卷积称为序列的线性卷积。设两序列分别的长度是N和M，线性卷积后的序列长度为N+M-1。线性卷积服从交换律、结合律和分配律。它们分别用公式表示如下：x(n)*h1(n)*h2(n)x(n)*h(n)=h(n)*x(n)=(x(n)*h1(n)*h2(n)x(n)*h1(n)+h2(n)=x(n)*h1(n)+x(n)*h2(n),两系统级联,两系统并联,时域离散系统,两个有用的公式：,x(n-n0),序列本身与单位取样序列的线性卷积等于序列本身,序列与一个移位的单位取样序列(nn0)的
15、线性卷积等于序列本身移位n0,时域离散系统,系统的因果性和稳定性 定义一：如果系统n时刻的输出，只取决于n时刻以及n时刻以前的输入序列，与n时刻以后的输入序列无关，则称该系统具有因果性质，或称该系统为因果系统。如果n时刻的输出还取决于n时刻以后的输入序列，在时间上违背了因果性，系统无法实现，则系统被称为非因果系统。因此系统的因果性是指系统在物理上的可实现性。定义二：当n0时,序列值恒等于零的序列称之为因果序列。定义三：线性时不变系统具有因果性的充分必要条件是系统的单位取样响应满足下式：h(n)=0，n 0 结论：因此，因果系统的单位取样响应必然是因果序列,时域离散系统,因果性系统的条件从概念上
16、也容易理解，因为单位取样响应是输入为(n)的零状态响应，在n=0时刻以前即n0时，没有加入信号，输出只能等于零，因此得到因果性条件如上式。对于模拟系统的非因果系统是不能实现的，但是对于数字系统，利用系统中的存储性能，有些非因果系统是可以近似实现，只是系统的输出有延时。,时域离散系统,非因果系统的延时实现,先存储，后捐据计算,进行卷积计算,时域离散系统,稳定系统：是指系统有界输入，系统输出也是有界的。系统稳定的充分必要条件是系统的单位取样响应绝对可和【例1】设线性时不变系统的单位取样响应h(n)=anu(n)，式中a是实常数，试分析该系统的因果稳定性。解：由于n 0时，h(n)=0，所以系统是因
17、果系统。又 当且仅当|a|1时 因此系统稳定的条件是|a|1；否则，|a|1时，系统不稳定。,时域离散系统,【例2】设系统的单位取样响应h(n)=u(n)，求对于任意输入序列x(n)的输出y(n)，并检验系统的因果性和稳定性。解:h(n)=u(n)y(n)=x(n)*h(n)=因为当n-k0时，u(n-k)=0；n-k0时，u(n-k)=1，因此，求和限为kn，所以 上式表示该系统是一个累加器，它将输入序列从加上之时开始，逐项累加，一直加到n时刻为止。下面分析该系统的稳定性：,因果系统不稳定系统,时域离散系统,【例3】判断下列差分方程系统的因果稳定性。,时域离散系统的输入输出描述法线性常系数差
18、分方程,对一个系统描述，可以不管系统内部的结构如何，只描述或者研究系统输出和输入之间的关系，这种方法称为输入输出描述法。对于模拟系统，由微分方程描述系统输出输入之间的关系对于时域离散系统，则用差分方程描述或研究输出输入之间的关系。对于线性时不变系统，经常用的是线性常系数差分方程。（1）线性常系数差分方程 一个N阶线性常系数差分方程用下式表示：,时域离散系统的输入输出描述法线性常系数差分方程,式中，x(n)和y(n)分别是系统的输入序列和输出序列，ai和bi均为常数，式中y(n-i)和x(n-i)项只有一次幂，也没有相互交叉项，故称为线性常系数差分方程。差分方程的阶数是用方程y(n-i)项中i的
19、取值最大与最小之差确定的。在左式中，y(n-i)项i最大的取值为N，i的最小取值为零，因此称为N阶的差分方程。,N,线性常系数差分方程,（2）线性常系数差分方程的求解 已知系统的输入序列，通过求解差分方程可以求出输出序列。求解差分方程的基本方法有以下三种：经典解法：类似模拟系统中求解微分方程的方法，包括齐次解和特解，由边界条件求待定系数。递推解法：由初始条件，逐级用计算机递推求解，只能得到数值解，不容易得到封闭解（公式解）变换域方法：将差分方程变换到Z域中进行求解，方法简单有效。,线性常系数差分方程,【例1】设系统用差分方程y(n)=ay(n-1)+x(n)描述，输入序列x(n)=(n)，求输
20、出序列y(n)。解：该系统差分方程是一阶差分方程，需要一个初始条件。(1)设初始条件 y(-1)=0 y(n)=ay(n-1)+x(n)n=0时，y(0)=ay(-1)+(0)=1n=1时，y(1)=ay(0)+(1)=an=2时，y(2)=ay(1)+(2)=a2n=n时，y(n)=any(n)=anu(n),线性常系数差分方程,(2)设初始条件y(-1)=1n=0时，y(0)=ay(-1)+(0)=1+an=1时，y(1)=ay(0)+(1)=(1+a)an=2时，y(2)=ay(1)+(2)=(1+a)a2n=n时，y(n)=(1+a)any(n)=(1+a)anu(n)该例表明，对于同
21、一个差分方程和同一个输入信号，因为初始条件不同，得到的输出信号是不相同的。对于实际系统，用递推解法求解，总是由初始条件向n0的方向递推，是一个因果解。但对于差分方程，其本身也可以向n0的方向递推，得到的是非因果解。因此差分方程本身并不能确定该系统是因果还是非因果系统，还需要用初始条件进行限制。,线性常系数差分方程,【例2】.设差分方程为y(n)=ay(n-1)+x(n)，式中x(n)=(n)，y(n)=0,n0，求输出序列y(n)。解：由差分方程可得：y(n-1)=a-1(y(n)-(n)n=1时：y(0)=a-1(y(1)-(1)=0 n=0时：y(-1)=a-1(y(0)-(0)=-a-1
22、 n=-1时：y(-2)=a-1(y(-1)-(-1)=-a-2 n=-n：y(n-1)=-a n-1 将n-1用n代替，得到 y(n)=-anu(-n-1),模拟信号数字处理方法,在绪论中已介绍了数字信号处理技术相对于模拟信号处理技术的许多优点，因此往往希望将模拟信号经过采样和量化编码形成数字信号，再采用数字信号处理技术进行处理；处理完毕，如果需要，再转换成模拟信号，这种处理方法称为模拟信号数字处理方法。其原理框图如图所示1、采样定理及A/D变换器 对模拟信号进行采样可以看作一个模拟信号通过一个电子开关S。设电子开关每隔周期T合上一次，每次合上的时间为T，在电子开关输出端得到其采样信号,模拟
23、信号数字处理方法,对模拟信号进行采样,电子开关的作用S等效一个矩形脉冲串,单位冲激串,模拟信号数字处理方法,上式中(t)是单位冲激信号，在上式中只有当t=nT时，才可能有非零 值，因此写成下式：根据频域卷积定理：两信号在时域相乘的傅里叶变换等于两个信号分别的傅里叶变换的卷积。可以推导得：,模拟信号数字处理方法,式中，s=2/T，称为采样角频率，单位是弧度/秒 上式表明采样信号的频谱是原模拟信号的频谱沿频率轴，每间隔采样角频率s复出现一次，或者说采样信号的频谱是原模拟信号的频谱以s为周期，进行周期性延拓而成的。,模拟信号数字处理方法,在下图中，设xa(t)是带限信号，最高截止频率为c，其频谱Xa
24、(j)如图所示。,以s为周期进行的周期延拓,单位冲激串的频谱,频谱混叠,模拟信号数字处理方法,采样恢复,模拟信号数字处理方法,一般频谱函数是复函数，相加应是复数相加，前两图仅是示意图。一般称fs/2为折叠频率，只有当信号最高频率不超过该频率时，才不会产生频率混叠现象，超过fs/2的频谱会折叠回来形成混叠现象，因此频率混叠均产生在fs/2附近。【结论（采用定理）】(1)对连续信号进行等间隔采样形成采样信号，采样信号的频谱是原连续信号的频谱以采样频率为周期进行周期性的延拓形成的。(2)设连续信号xa(t)是带限信号，最高截止频率为c，如果采样角频率s2c，那么让采样信号 通过一个增益为T，截止频率
25、为s/2的理想低通滤波器，可以唯一地恢复出原连续信号xa(t)。否则s2c会造成采样信号中的频谱混叠现象，不能无失真地恢复原连续信号。,模拟信号数字处理方法,2、将数字信号转换成模拟信号 由低通滤波器的传输函数G(j)推导其单位冲激响应g(t),因为s=2fs=2/T，因此g(t)也可以用下式表示：,内插函数,模拟信号数字处理方法,由可得,模拟信号数字处理方法,D/AC方框图 由时域离散信号xa(nT)恢复模拟信号的过程是在采样点内插的过程。理想低通滤波的方法是用g(t)函数作内插函数，但g(t)函数是非因果的，是不可以实现的，在实际应用中，用一阶线性函数作内插。零阶保持器是将前一个采样值进行
26、保持，一直到下一个采样值来到，再跳到新的采样值并保持，因此相当于进行常数内插。零阶保持器的单位冲激函数h(t)以及输出波形如图所示。,模拟信号数字处理方法,零阶保持器的输出波形,模拟信号数字处理方法,对h(t)进行傅里叶变换，得到其传输函数：其幅度特性和相位特性如图所示。由该图看到零阶保持器是一个低通滤波器，能够起到将时域离散信号恢复成模拟信号的作用。图中虚线表示理想低通滤波器的幅度特性。零阶保持器的幅度特性与其有明显的差别，主要是在|/T区域有较多的高频分量，表现在时域上，就是恢复出的模拟信号是台阶形的。因此需要在D/AC之后加平滑低通滤波器，滤除多余的高频分量，对时间波形起平滑作用，这也就
27、是在模拟信号数字处理框图中，最后加平滑滤波的原因。虽然这种零阶保持器恢复的模拟信号有些失真，但简单、易实现，是经常使用的方法。,模拟信号数字处理方法,零阶保持器的频率特性,本章小结,1，离散时间信号与离散时间系统是数字信号处理运作的基础。模拟信号通过时间离散化，可以最经济地提取其有效信息，并能适用计算机作处理。2，离散时间信号或称作序列。应牢记常用基本序列的表达式及相互间的几个关系式，并搞清它的定义域、周期性等。3，离散时间系统是对离散时间信号进行相加、相乘和延时的运算系统。它有线性/非线性、移变/移不变、因果/非因果、稳定/不稳定之分。4，常系数线性差分方程描述LIS的信号传输关系，并可展现运算结构,
