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1、2.逻辑代数与硬件描述语言基础,2.1 逻辑代数 2.2 逻辑函数的卡诺图化简法2.3 硬件描述语言Verilog HDL基础,1、熟练掌握逻辑代数的基本定律和规则；,2、熟练掌握逻辑函数的化简方法；,3、熟悉硬件描述语言Verilog HDL(自学）,教 学 要 求,2.1.1 逻辑代数的基本定律和恒等式,2.1 逻辑代数,2.1.3 逻辑函数的变换及代数化简法,2.1.2 逻辑代数的基本规则,2.1 逻辑代数,逻辑代数又称布尔代数。它是分析和设计现代数字逻辑电路不可缺少的数学工具。逻辑代数有一系列的定律、定理和规则，用于对数学表达式进行处理，以完成对逻辑电路的化简、变换、分析和设计。,逻辑
2、关系指的是事件产生的条件和结果之间的因果关系。在数字电路中往往是将事情的条件作为输入信号，而结果用输出信号表示。条件和结果的两种对立状态分别用逻辑“1”和“0”表示。,基本的逻辑运算,从三种基本的逻辑关系，可以得到以下逻辑运算：,0 0=0 1=1 0=0,1 1=1,0+0=0,0+1=1+0=1+1=1,一、基本运算规则,A+0=A A+1=1 A 0=0 A=0 A 1=A,2.1.1逻辑代数的基本定律和恒等式,二、基本代数规律,交换律,结合律,分配律,A+B=B+A,A B=B A,A+(B+C)=(A+B)+C=(A+C)+B,A(B C)=(A B)C,A(B+C)=A B+A C
3、,A+B C=(A+B)(A+C),逻辑代数的基本定律,三、吸收律,A+AB=A,证明：,A+AB=A(1+B)=A1=A,利用吸收律可以对逻辑式进行化简。,例如：,1.原变量的吸收,吸收：多余（冗余）项、多余因子被消去。,逻辑代数的基本定律,2.反变量的吸收：,证明：,例：,DC,逻辑代数的基本定律,3.混合变量的吸收：,证明：,例：,四、摩根定理：,可以用列真值表的方法证明：,逻辑代数的基本定律,可推广到多变量：,四、摩根定理：,逻辑代数的基本定律,内容：将函数式 F 中所有的,变量与常数均取反,应用：实现互补运算（求反运算）,新表达式：,(反函数),五、反演定理：,逻辑代数的基本定律,例
4、1：,与或式,注意括号,注意括号,逻辑代数的基本定律,与或式,反号不动,反号不动,例2：,逻辑代数的基本定律,1、基本公式,2.1.1逻辑代数的基本定律和恒等式(P40),吸收律,2.1.2 逻辑代数的基本规则,代入规则,：在包含变量A逻辑等式中，如果用另一个函数式代入式中所有A的位置，则等式仍然成立。这一规则称为代入规则。,例：B(A+C)=BA+BC，,用A+D代替A，得,B(A+D)+C=B(A+D)+BC=BA+BD+BC,代入规则可以扩展所有基本公式或定律的应用范围,2.反演规则：,解：按照反演规则，得,对于任意一个逻辑表达式L，若将其中所有的与（）换成或（+），或（+）换成与（）；
5、原变量换为反变量，反变量换为原变量；将1换成0，0换成1；则得到的结果就是原函数的反函数。,例:逻辑函数 的对偶式为,3.对偶规则：,当某个逻辑恒等式成立时，则该恒等式两侧的对偶式也相等。这就是对偶规则。利用对偶规则，可从已知公式中得到更多的运算公式，例如，吸收律,对于任何逻辑函数式，若将其中的与（）换成或（+），或（+）换成与（）；并将1换成0，0换成1；那么，所得的新的函数式就是L的对偶式，记作。,“或-与”表达式,“与非-与非”表达式,“与-或-非”表达式,“或非或非”表达式,“与-或”表达式,2.1.3 逻辑函数的代数法化简,1、逻辑函数的最简与-或表达式,在若干个逻辑关系相同的与-或
6、表达式中，将其中包含的与项数最少，且每个与项中变量数最少的表达式称为最简与-或表达式。,2、逻辑函数的化简方法,化简的主要方法：公式法（代数法）图解法（卡诺图法）,代数化简法：运用逻辑代数的基本定律和恒等式进行化简的方法。,并项法:,吸收法：,A+AB=A,消去法：,配项法：,逻 辑 函 数 的 化 简,把逻辑函数的输入、输出关系写成与、或、非等逻辑运算的组合式，称为逻辑函数式。逻辑函数式通常采用“与或”的形式。,比如：,逻 辑 函 数 的 化 简,利用逻辑代数的基本公式化简：,例1：,例2：,反演,逻 辑 函 数 的 化 简,合并,吸收,（最简与或式）,课 堂 练 习,试化简：,(合并项),
7、吸收消去,（最简与或式）,课 堂 练 习,试化简：,添冗余项：,消冗余项,添冗余项：,（最简与或式）,课 堂 练 习,试化简：,添冗余项：,（最简与或式）,课 堂 练 习,试化简：,经过化简得最简与或式:,项数,因子数对应相同。,讨论:,或者:,化简结果不是唯一的！,课 堂 练 习,例2.1.8 已知逻辑函数表达式为,，要求：（1）最简的与-或逻辑函数表达式，并画出相应的逻辑图；（2）仅用与非门画出最简表达式的逻辑图。解：,),),解：,解：,例3 化简（或与式的化简）,例4 化简逻辑函数：,（配项法）,（利用A+AB=A）,（利用）,由上例可知，有些逻辑函数的化简结果不是唯一的。,解法1：,
8、例5 化简逻辑函数：,（增加多余项）,（消去一个多余项）,（再消去一个多余项）,解法2：,（增加多余项）,（消去一个多余项）,（再消去一个多余项）,2.2 逻辑函数的卡诺图化简法,二、逻辑函数的最小项表达式,一、最小项的定义及性质,四、用卡诺图化简逻辑函数,三、卡诺图表示逻辑函数,1.逻辑代数与普通代数的公式易混淆，化简过程要求对所有公式熟练掌握；2.代数法化简无一套完善的方法可循，它依赖于人的经验和灵活性；3.用这种化简方法技巧强，较难掌握。特别是对代数化简后得到的逻辑表达式是否是最简式判断有一定困难。卡诺图法可以比较简便地得到最简的逻辑表达式。,代数法化简在使用中遇到的困难：,n个变量X1
9、,X2,Xn的最小项是n个因子的乘积，每个变量都以它的原变量或非变量的形式在乘积项中出现，且仅出现一次。一般n个变量的最小项应有2n个。,1.最小项的意义,一、最小项的定义及其性质,对于变量的任一组取值，全体最小项之和为1。,对于任意一个最小项，只有一组变量取值使得它的值为1；,对于变量的任一组取值，任意两个最小项的乘积为0；,三个变量的所有最小项的真值表,2.最小项的性质,3.最小项的编号,三个变量的所有最小项的真值表,m0,m1,m2,m3,m4,m5,m6,m7,最小项的表示：通常用mi表示最小项，m 表示最小项,下标i为最小项号。,二、逻辑函数的最小项表达式,为“与或”逻辑表达式；在“
10、与或”式中的每个乘积项都是最小项。,=m7m6m3m5,逻辑函数的最小项表达式：,例2 将,化成最小项表达式,1.去掉非号,2.去括号,三、用卡诺图表示逻辑函数,1.卡诺图的引出,卡诺图：将n变量的全部最小项都用小方块表示，并使具有逻辑相邻的最小项在几何位置上也相邻地排列起来，这样,所得到的图形叫n变量的卡诺图。,逻辑相邻的最小项：如果两个最小项只有一个变量互为反变量，就称这两个最小项具有相邻性。,2.卡诺图的特点:各小方格对应于各变量不同的组合，而且上下左右在几何上相邻的方格内只有一个因子有差别，这个重要特点成为卡诺图化简逻辑函数的主要依据。,3.已知逻辑函数画卡诺图,当逻辑函数为最小项表达
11、式时，在卡诺图中找出和表达式中最小项对应的小方格填上1，其余的小方格填上0（有时也可用空格表示），就可以得到相应的卡诺图。任何逻辑函数都等于其卡诺图中为1的方格所对应的最小项之和。,例2 画出下式的卡诺图,2.填写卡诺图,四、用卡诺图化简逻辑函数,1.化简的依据,2.化简的步骤,用卡诺图化简逻辑函数的步骤如下：,(4)将所有包围圈对应的乘积项相加。,(1)将逻辑函数写成最小项表达式,(2)按最小项表达式填卡诺图，凡式中包含了的最小项，其对应方格填1，其余方格填0。,(3)合并最小项，即将相邻的1方格圈成一组(包围圈)，每一组含2n个方格，对应每个包围圈写成一个新的乘积项。本书中包围圈用虚线框表
12、示。,画包围圈时应遵循的原则：,例:用卡诺图法化简下列逻辑函数,画包围圈合并最小项，得最简与-或表达式,解：由L 画出卡诺图,(0，2，5，7，8，10，13，15),例:用卡诺图化简,圈0,圈1,五、含无关项的逻辑函数及其化简,1.什么叫无关项：,在真值表内对应于变量的某些取值下，函数的值可以是任意的，或者这些变量的取值根本不会出现，这些变量取值所对应的最小项称为无关项或任意项。,在含有无关项逻辑函数的卡诺图化简中，它的值可以取0或取1，具体取什么值，可以根据使函数尽量得到简化而定。,例:要求设计一个逻辑电路，能够判断一位十进制数是奇数还是偶数，当十进制数为奇数时，电路输出为1，当十进制数为偶数时，电路输出为0。,解:(1)列出真值表,(2)画出卡诺图,(3)卡诺图化简,
