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1、第六章 样本及抽样分布,1、随机样本2、抽样分布3、常用统计量4、常用统计量的分布,6.1 随机样本,一、总体与样本总体：研究对象的全体通常指研究对象的某项数量指标个体：组成总体的元素（每个可能的观察值）从本质上讲，总体就是所研究的随机变量或随机变量的分布 总体容量：总体中包含的个体个数 有限总体，无限总体,抽样描述,从总体中抽取一个个体，就是对X进行一次观察并纪录其结果。将结果记为X1，X1 是一个随机变量。X1与X同分布。抽取n次，就是进行n次重复、独立的观察，得到结果X1,X2,Xn。X1,X2,Xn每个都是随机变量，每个都与X具有相同的分布。,样本:由部分个体构成的集合，来自某一个总体
2、。,当n次观察一经完成，我们就得到一组实数x1,x2,xn，它们是随机变量X1,X2,Xn的观察值，称为样本值。,样本选择方式:(1)有放回抽样.(2)无放回抽样,特别,样本容量总体数量时,无放回抽样可近似看作有放回抽样。,简单随机样本(s.r.s):具有两个特点的样本:代表性(组成样本的每个个体与总体同分布),独立性(组成样本的个体间相互独立)。,样本容量:样本中所含个体的个数。,如,检验一批灯泡的质量,从中选择100只,则,总体：这批灯泡(有限总体)个体：这批灯泡中的每一只 样本：抽取的100只灯泡(简单随机样本)样本容量：100样本观测值：x1，x2，,x100,定义:设X为一随机变量,
3、其分布函数为F(x),X1,X2,Xn是一组独立且与X同分布的随机变量,称X为总体;(X1,X2,Xn)为来自总体X(或分布函数F(x)的简单随机样本;n为样本容量;在依次观测中,样本的具体观测值x1,x2,xn称为样本值,XX1,X2,X100100样本值,总体、样本、样本观察值的关系,统计是从手中已有的资料样本观察值，去推断总体的情况总体分布。样本是联系两者的桥梁。总体分布决定了样本取值的概率规律，也就是样本取到样本观察值的规律，因而可以用样本观察值去推断总体。,总体,选择个体,样本,观测样本,样本观察值,(数据),数据处理,样本有关结论,统计的一般步骤:,推断总体性质,统计量,为了集中简
4、单随机样本所带来的总体信息,考虑样本的函数,且不含任何未知参数,这样的“不含未知参数的样本的函数”称为统计量。,第6.2节 统计量,定义:设X1,X2,Xn是来自总体X的一个样本,g(X1,X2,Xn)是n维随机变量的函数,若g中除样本的函数外不含任何未知参数,则称g(X1,X2,Xn)为统计量.,统计量的分布称为抽样分布.,样本均值,常用统计量:,样本方差,样本标准差,样本k阶原点矩,样本k阶中心矩,(6)顺序统计量与样本分布函数,设X1,X2,Xn的观察值为x1,x2,xn,从小到大排序得到:x(1),x(2),x(n),定义X(k)=x(k),由此得到的(X(1),X(2),X(n)或它
5、们的函数都称为顺序统计量.显然X(1)X(2)X(n)且有X(1)=min(X(1),X(2),X(n),X(n)=max(X(1),X(2),X(n),1)样本中位数,2)样本极差,R=X(n)-X(1),样本分布函数(经验分布函数),格里汶科定理:,设总体X的分布是F(x),则下式成立,第6.3节 抽样分布,一、样本均值的分布,定理：设X1，X2,Xn是来自总体N(,2)的样本，,是样本均值，则有,注：在大样本情况下，无论总体服从何种分布均有,z,1-,例6.3.1 设XN(0,1),分别为0.95,0.975,0.75,求X关于的100%分位数.,三、标准正态分布及其100%分位数,定义
6、:设XN(0,1),对任意01,若PX=,则称为标准正态分布的100%分位数,记为,解:=0.95时,反查表得:,z0.95=1.64,类似可得:,z0.975=1.96,z0.75=0.69,-z,分布及其性质,1.定义:称 n 个相互独立、同标准正态分布的随机变量的平方和X的分布为自由度为n的 分布,记作,(2)X1,X2,Xk独立,Xi(ni),(i=1,2,k),则,2.性质:,(1)X 1,X2,Xn独立,XiN(0,1),(i=1,2,n),则,(3)X1,X2,Xn为来自总体N(,2)的简单随机样本,则,四、,（4）,例6.3.2 设 是来自总体 的s.r.s,则 服从()分布。
7、,例6.3.3(983)设 是取自总体 N(0,4)的s.r.s,当a=,b=时,解(1)服从,(2)由题意得,a=1/20b=1/100,3.的密度曲线,n=1,n=4,n=10,随着n的增大,密度曲线逐渐趋于平缓,对称.,4.分布的100%分位数,定义:设,对于给定的(0 1),若PX=,则称为自由度为n的 分布的100%分位数,记为,查表求100%分位数:,(1)若PX=,则,(1)若PX=,则,例6.3.4.设X(10),PX1=0.025,PX2=0.05,求1,2.,解:,查表得:,查表得:,五、t 分布及其性质,1.定义,设随机变量,随机变量Y 且它们互相独立,则称随机变量的分布
8、为自由度是 n 的t 分布,记作,可以证明t分布的概率密度函数为,特点:关于y轴对称;随着自由度的逐渐增大,密度曲线逐渐接近于标准正态密度曲线.,2.t分布的密度曲线:,3、t分布的性质,（1）,（2）,（3）h(t)的图形关于Y轴对称,4.t分布的100%分位数:,对于给定(0 1),若Pt(n)=,则称为t分布的100%分位数,记为:,1-,例6.3.5.设tt(15),求(1)=0.995(2)=0.005的100%分位数;,解:(1)=t0.995(15),查表得,=2.9467,(2)=t0.005(15),查表得,=-2.9467,注:,t,9,解:,故,与 独立,所以,六、F 分
9、布及其性质,1.定义,设随机变量 随机变量 且它们相互独立,则称随机变量 的分布为自由度是 的 F 分布。记作,可以证明，,的概率密度函数为,2.F分布的概率密度曲线,3.性质:,4.F分布的100%分位数,设F,对于给定(01),若PF=,则称为F分布的100%分位数,记为:,5.100%分位数的计算,(1)若PF=,则,(2)若PF=(比较小),则,P1/F1/=1-,故,例6.3.7 设FF(24,15),分别求满足,解(1)=F0.975(24,15),=2.29,(2)=F0.95(24,15),=2.70,(3)比较小,P1/F1/=0.975,所以,=0.41,七、抽样分布基本定
10、理,1、设 是来自总体 的 s.r.s,表示样本均值，则,2、设XN(1,12),Y N(2,22),X,Y相互独立,从中分别抽取容量为n1,n2的样本,样本均值分别记为,3、定理6.3.3,设X1，X2,Xn是来自总体,的样本，,分别是样本均值和样本方差，则有,注：由,可得,4、定理6.3.4,设X1，X2,Xn是来自总体,的样本，,分别是样本均值和样本方差，则有,例6.3.8(993)设 是来自正态总体 X 的s.r.s,证明:统计量 Zt(2),例6.3.9(994)设 是来自总体,的s.r.s,是样本均值,记,则服从自由度为 n-1 的 t 分布的随机变量是(),4、定理6.3.5,设,与,分别是来自总体X,Y的样本,且这两个样本是独立的,记,则有,注:,若,记,则有,
