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第二节 对坐标的曲线积分,一、对坐标的曲线积分的概念与性质,二、对坐标的曲线积分的计算法,实例:变力沿曲线所作的功.,常力沿直线 AB 所作的功:,分割,求和,取极限,(近似值),(精确值),一、对坐标的曲线积分的概念与性质,类似地定义,2.存在条件：,3.组合形式,4.推广,5.性质,即对坐标的曲线积分与曲线的方向有关.,二、对坐标的曲线积分的计算法,证明,它们对应于一列单调变化的参数值,根据对坐标的曲线积分的定义，有,应用微分中值定理，有,由于,所以,同理可证,把以上两式相加，即得结论.,于是,特殊情形,(4)两类曲线积分之间的联系：,其中,称为有向曲线元；,解,解,原式=,注意：被积函数相同，起点和终点也相同，但 路径不同积分结果不同.,原式=,解,注意：被积函数相同，起点和终点也相同，但 路径不同而积分结果相同.,
