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1、热点专题突破系列(二)三角函数与平面向量的综合应用,考点1 三角函数的求值与平面向量的综合【典例1】(2014中山模拟)已知向量a=(sin,-2)与b=(1,cos)互相垂直，其中(1)求cos,sin 的值.(2)若 求cos 的值.,【解题视点】(1)由向量a与b互相垂直列关于sin,cos 的方程，解方程即可.(2)承接(1)的结论，利用两角差的余弦公式解答.,【规范解答】(1)因为ab，所以ab=sin-2cos=0,即sin=2cos.又sin2+cos2=1，所以4cos2+cos2=1，即因为所以,(2)由 得即所以sin=cos.因为所以,【规律方法】平面向量在三角函数求值中
2、的应用步骤(1)此类题目的特点是所给向量的坐标用关于某角的正、余弦给出，把向量垂直或共线转化为关于该角的三角函数的等式.(2)利用三角恒等变换进行条件求值.,【变式训练】(2014太原模拟)已知向量b=(cos x,-1).(1)若(a+b)(a-b)，求cos 2x的值.(2)若ab,求cos2x-sin 2x的值.,【解析】(1)因为(a+b)(a-b),a+b=a-b=所以(a+b)(a-b)=即,(2)因为ab,所以即所以cos2x-sin 2x=,【加固训练】设向量a=(4cos,sin),b=(sin,4cos),c=(cos,-4sin).(1)若a与b-2c垂直，求tan(+)
3、的值.(2)求|b+c|的最大值.(3)若tan tan=16,求证：ab.,【解析】(1)因为b-2c=(sin-2cos,4cos+8sin),a与b-2c垂直，所以4cos(sin-2cos)+sin(4cos+8sin)=0,即sin cos+cos sin=2(cos cos-sin sin),所以sin(+)=2cos(+),所以tan(+)=2.,(2)因为b+c=(sin+cos,4cos-4sin),所以|b+c|=所以当sin 2=-1时，|b+c|取最大值，且最大值为,(3)因为tan tan=16,所以即sin sin=16cos cos,所以(4cos)(4cos)=
4、sin sin,即a=(4cos,sin)与b=(sin,4cos)共线，所以ab.,考点2 三角函数的性质与平面向量的综合【典例2】(2014烟台模拟)已知平面向量a=(cos,sin),b=(cos x,sin x),c=(sin,-cos)，其中0,且函数f(x)=(ab)cos x+(bc)sin x的图象过点(1)求的值及函数f(x)的单调增区间.(2)先将函数y=f(x)的图象向左平移 个单位，然后将得到函数图象上各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y=g(x)的图象，求函数y=g(x)在 上的最大值和最小值.,【解题视点】(1)由平面向量数量积的运算及三角函数的相关公
5、式化简函数解析式，由函数f(x)的图象过定点确定的值，并由此求函数f(x)的单调增区间.(2)先根据图象变换的法则确定函数g(x)的表达式，并由此根据给定的范围求函数g(x)的最值.,【规范解答】(1)因为ab=cos cos x+sin sin x=cos(-x),bc=cos xsin-sin xcos=sin(-x).所以f(x)=(ab)cos x+(bc)sin x=cos(-x)cos x+sin(-x)sin x=cos(-x-x)=cos(2x-),即f(x)=cos(2x-),所以 而0,所以所以由得即f(x)的单调增区间为,(2)由(1)得，f(x)=平移后的函数为于是当所
6、以即当 时，g(x)取得最小值当 时，g(x)取得最大值1.,【规律方法】平面向量与三角函数性质的综合问题的解法(1)利用平面向量的数量积把向量问题转化为三角函数的问题.(2)利用三角函数恒等变换公式(尤其是辅助角公式)化简函数解析式.(3)根据化简后的函数解析式研究函数的性质.,【变式训练】(2014成都模拟)已知向量b=(cos x,cos x)(0),若f(x)=ab,且f(x)的最小正周期为.(1)求的值.(2)试述由y=sin x的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到f(x)的图象.(3)求y=f(x)的值域.,【解析】(1)f(x)=ab=sin xcos x+cos2x所以,(2)由
7、(1)，得首先把y=sin x的图象向左平移 个单位，得 的图象；其次把 的图象纵坐标不变，横坐标变为原来的 倍，得 的图象；然后把 的横坐标不变，纵坐标变为原来的 倍，得 的图象；最后，把 的图象向上平移 个单位，得 的图象.(3)因为所以f(x)的值域是,【加固训练】(2014保定模拟)已知O为坐标原点，(1)求y=f(x)的单调递增区间.(2)若f(x)的定义域为 值域为2,5，求m的值.,【解析】(1)由得y=f(x)的单调递增区间为,(2)当所以所以1+mf(x)4+m,考点3 平面向量在三角形计算中的应用【典例3】(2014兰州模拟)已知ABC的面积是30，三内角A，B，C所对边长
8、分别为a,b,c,(1)求(2)若c-b=1,求a的值.,【解题视点】(1)由 可求得sin A的值，根据ABC的面积可求得bc的值，利用平面向量数量积公式求 的值.(2)由边的关系及余弦定理求a的值.,【规范解答】(1)由 得(2)因为c-b=1,bc=156,所以a2=b2+c2-2bccos A即a=5.,【规律方法】平面向量与三角形计算综合问题的解法(1)利用平面向量数量积的计算公式，把问题转化为三角形中的计算问题，在三角形中，结合三角形内角和公式、正余弦定理、三角形的面积公式进行相关计算.(2)先在三角形中利用相关公式进行计算，再按要求求向量的数量积、夹角、模等.,提醒：解决三角形中
9、向量夹角问题的思维误区是不注意向量的方向，从而弄错向量的夹角.,【变式训练】(2014天津模拟)ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a,b,c，向量m=(-1,1),且mn.(1)求A的大小.(2)现给出下列四个条件：a=1;b=2sin B;B=45.试从中再选择两个条件以确定ABC，求出你所确定的ABC的面积.,【解析】(1)因为mn,所以即因为A+B+C=180，所以cos(B+C)=-cos A,所以 又0A180,所以A=30.,(2)方法一：选择可确定ABC.因为A=30，由余弦定理整理得所以,方法二：选择可确定ABC.因为A=30，a=1,B=45,所以C=105.因为sin 105=sin(60+45)=sin 60cos 45+cos 60sin 45=由正弦定理,【加固训练】在ABC中，角A，B，C的对边分别为a,b,c,(1)求cos C的值.(2)若 且a+b=9，求c的长.,【解析】(1)因为所以又因为sin2C+cos2C=1,解得因为tan C0,所以C是锐角.所以,(2)因为所以 解得ab=20.又因为a+b=9,所以a2+b2=41.所以c2=a2+b2-2abcos C=36,所以c=6.,
