现代控制理论1.1(稳定性).ppt

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1、现代控制理论课件,于长官 主 编 哈尔滨工业大学出版社,第三章 控制系统的李亚普诺夫稳定性,3.1 李亚普诺夫第二法概述3.2 李亚普诺夫意义下的稳定性3.3 李亚普诺夫稳定性定理3.4 线性系统的李亚普诺夫稳定性分析,3.1 李亚普诺夫第二法的概述,一、物理基础 一个自动控制系统要能正常工作,必须首先是一个稳定的系统,即当系统受到外界干扰后,显然它的平衡状态被破坏,但在外扰去掉以后,它仍有能力自动地在平衡状态下继续工作,系统的这种性能,通常叫做稳定性,它是系统的一个动态属性。,举例说明:1.电压自动调节系统-保持电机电压恒定 2.电机自动调速系统-保持电机转速一定 3.火箭飞行系统-保持航向

2、为一定 具有稳定性的系统称为稳定系统。不具有稳定性的系统称为不稳定系统。,稳定性概念,系统的稳定性-系统在受到外界干扰后,系统偏差量(被调量偏离平衡位置的数值)过渡过程的收敛性,用数学方法表示就是:,现代控制理论的优点,线性定常系统稳定性判断 1.劳斯-赫尔维茨判剧 2.奈奎斯特稳定判剧现代控制系统结构复杂,非线性或时变,上述稳定判剧难以胜任;通用的方法是李亚普诺夫第二法.,李亚普诺夫稳定性判据,1982年,李亚普诺夫归纳出两种方法 李亚普诺夫第一法:解系统的微分方程,然后根据解的性质来判断系统的稳定性。如果特征方程的根全部具有负实部,则系统在工作点附近是稳定的.李亚普诺夫第二法(也称直接法)

3、:不必求解系统的微分方程式,就可以对系统的稳定性进行分析判断,而且给出的稳定信息不是近似的。它提供了判别所有系统稳定性的方法。,李亚普诺夫第二法建立的物理事实:如果一个系统的某个平衡状态是渐近稳定的,即:那么随着系统的运动,其贮存的能量将随着时间的增长而衰减,直至趋于平衡状态而能量趋于极小值。,对系统而言,并没有这样的直观性,因此,李亚普诺夫引入了“广义能量函数”,称之为李亚普诺夫函数,表示为,它是状态 和时间t的函数。如果动态系统是稳定的,则仅当存在依赖于状态变量的李亚普诺夫函数 对任意(平衡点)时,成立,且对 时,才有。,李亚普诺夫第二法可归结为:1.在不直接求解的前提下,2.通过李亚普诺

4、夫函数 的符号 3.及其对时间的一次导数 的符号 就可给出系统平衡状态稳定性的信息。应用李亚普诺夫稳定理论的关键:能否找到一个合适的李亚普诺夫函数!-尚未有一个简便的、一般性的方法!,*由于系统的结构日益复杂,对李亚普诺夫稳定理论的研究和应用受到人们的重视;*特别是在从典型的数学函数及非线性特性出发 寻求李亚普诺夫函数方面颁有进展。*李亚普诺夫函数 是对前述的不具有直观性的物理事实的表现,这个“广义能量”概念与能量概念又不完全相同。李亚普诺夫函数的选取不是唯一的!很多情况下李亚普诺夫函数可取为二次型 二次型及其定号性,是该理论的数学基础。,二、数学基础(二次型及其定号性)1二次型 n个变量 的

5、二次齐次多项式:称为二次型。式中,是二次型的系数。设,既对称且均为实数。,用矩阵表示二次型较为方便,即 必须指出,二次型是一个标量,最基本的特性就是它的定号性,也就是V(X)在坐标原点附近的特性。,定号性,(1)正定性 当且仅当 X=0 时,才有V(X)=0;对任意非零X,恒有V(X)0,则V(X)为正定。(2)负定性 当且仅当X0时才有V(X)0;对任意非零X,恒有V(X)0,则V(X)为负定。(3)正半定性与负半定性 如果对任意X0,恒有V(X)0,则V(X)为正半定。如果对任意X0,恒有V(X)0,则V(X)为负半定。(4)不定性 如果无论取多么小的零点的某个邻域,V(X)可为正值也可

6、为负值则V(X)为不定。,赛尔维斯特准则,二次型 或对称矩阵P为正定的充要条件是P的主子行列式均为正,即 如果 则P为正定,即V(X)正定。二次型 或对称阵P为负定的充要条件是:P的主子行列式满足(为奇数);(为偶数)=1,2,。返回,3.2李亚普诺夫意义下的稳定性,研究系统的稳定性问题,实质上是研究系统平衡状态的情况。一般说来,系统可描述为 式中 X为 n 维状态向量。当在任意时间都能满足(3.1)时,称 为系统的平衡状态。凡满足式(3.1)的一切X值均是系统的平衡点,对于线性定常系统,A为非奇异时,X=0是其唯一的平衡状态,如果A是奇异的则式(3.1)有无穷多解,系统有无穷多个平衡状态。对

7、于非线性系统,有一个或多个平衡状态。,由式(3.1)可知,在系统的平衡点,状态变量的变化率为0,由古典控制理论知道,该点即为奇点,因此,系统微分方程式的奇点代表的就是系统在运动过程中的平衡点。任何彼此孤立的平衡点,均可以通过坐标的变换,将其移到坐标原点,这就是经常以坐标原点作为平衡状态来研究的原因,因此常用的连续系统的平衡状态表达式为 对同一问题用不同理论去研究会得到不同含义的结果与解释。如非线性系统中的自由振荡,古典的稳定性理论认为是不稳定的,而李亚普诺夫稳定性理论则认为是稳定的。,因此,明确李亚普诺夫意义下的稳定定义是重要的。系统的状态方程为 设 且系统的平衡状态为。有扰 动使系统在 时的

8、状态为,产生初始偏差,则 后系统的运动状态从 开始随时间发生变化。由数学中数的概念知道,表示初始偏差都在以 为半径,以平衡状态 为中心的闭球域S()里,其中 称为范数,分别为 与 的分量。,同样 表示平衡状态偏差都在以 为半径,以平衡状态 为中心的闭球域:S()里。式中范数 为X的分量。,下面用二维空间图3.1来说明李亚普诺夫定义下的稳定性。,1稳定与一致稳定 设 为动力学系统 的一个孤立平衡状态。如果对球域S()或任意正实数 0,都可找到另一个正实数 或球域 S(),当初始状态 满足 时,对由此出发的X 的运动轨迹有,则此系统为李亚普诺夫意义下的稳定。如果 与初始时刻 无关,则称平衡状态 为

9、一致稳定。,2渐近稳定和一致渐近稳定 设 为动力学系统 的一个孤立平衡状态,如果 是稳定的,且从充分靠近 的任一初始状态 出发的运动轨迹 有 或 即收敛于平衡状态,则称平衡状态 为渐近稳定。如果 与初始时刻 无关,则称平衡状态 为一致渐近稳定。渐近稳定性等价于工程意义上的稳定性。,如果对状态空间中的任意点,不管初始偏差有多大,都有渐近稳定特性。即 对所有点都成立,称平衡状态 为大范围渐近稳定。可见,这样的系统只能有一个平衡状态。由于线性定常系统有唯一解,所以如果线性定常系统是渐近稳定的,则它一定也是大范围内渐近稳定的。,在控制工程中确定大范围内渐近稳定的范围是很重要的,因为渐近稳定性是个局部概

10、念,知道渐近稳定的范围,才能明确这一系统的抗干扰程度、从而可设法抑制干扰,使它满足系统稳定性的要求。古典理论的稳定性概念,只牵涉到小的扰动,没有涉及大范围扰动的问题,因此它是有局限性的。,3不稳定 如果平衡状态 既不是渐近稳定的,也不是稳定的,当 并无限增大时,从 出发的运动轨迹最终超越 域,则称平衡状态 为不稳定的。返回,3.3 李亚普诺夫稳定性定理,定理3.1 设系统的状态方程为式中,如果有连续一阶偏导数的标量函数 存在,并且满足以下条件:是正定的;是负定的。则在原点处的平衡状态是渐近稳定的。如果随着 有,则在原点处的平衡状态是在大范围内渐近稳定的。,例3.1 设系统方程为,试确定其平衡状

11、态的稳定性。,解:很明显,原点 是给定系统的唯一平衡状态,选取一个正定的标量函数 为则将系统方程代人上式得(V(X)为正定)又由于 时,因此系统在平衡点(0,0)是大范围渐近稳定的。,定理3.2 设系统的状态方程为式中,。如果存在一标量函数,它有连续的一阶偏导数,且满足以下条件:是正定的;是负半定的;对任意 和任意 在 时不恒等于零。则在原点处的平衡状态是渐近稳定的。如果还有 时,则为大范围渐近稳定。式中 表示 时从 出发的解轨迹。,由于 不是负定的,而只是负半定的,则典型点的轨迹可能与某个特定的曲面 相切。然而,由于 对于任意 和任意 在 时不恒等于零,所以典型点就不可能保持在切点处(在切点

12、上),而必须运动到原点。,例3.2 设系统方程为确定系统平衡状态的稳定性。解:显然,原点(0,0)为给定系统的唯一平衡状态。选取标准型二次函数为李氏函数,即(V(X)为正定)当 时,因此 是负半定的。,下面我们进一步分析 的定号性,即当 时,是否恒等于零。由于 恒等于零,必需要求 在 时恒等于零,而 恒等于零又必需要求 恒等于零。但从状态方程 来看,在 时,要使 和,必需满足 等于零的条件。这表明 只可能在原点 处恒等于零,因此系统在原点处的平衡状态是渐近稳定的。又由于 时,有,所以系统在原点处的平衡状态是大范围渐近稳定的。,若在例中选取如下正定函数为李氏函数,即 则 是负定的。而且当 时,有

13、 所以系统在原点处的平衡状态是大范围渐近稳定的。由以上分析看出,选取不同的李氏函数,可能使问题分析得出不同的结果。上面第二种情况下的选择,消除了进一步对 判别的必要性。,定理3.3 设系统方程为式中,。如果存在一标量函数,它具有连续的一阶偏导数,且满足以下条件:是正定的;是负半定的,但在某一X值恒为零。则系统在原点处的平衡状态在李亚普诺夫定义下是稳定的。但非渐近稳定。这时系统可以保持在一个稳定的等幅振荡状态上。,例3.3 系统方程为 试确定系统平衡状态的稳定性。解 显然,原点为平衡状态。选取正定函数为李氏函数,即则由上式可见,在任意 X值上均可保持为零,则系统在李亚普诺夫定义下是稳定的但不是渐

14、近稳定的。,定理3.4 设系统的状态方程为式中,。如果存在一标量函数,它具有连续的一阶偏导数,且满足以下条件:在原点的某一领域内是正定的;在同样的领域内是正定的;则在原点处的平衡状态是不稳定的。,例3.4 设时变系统的状态方程为 显然坐标原点 为其平衡状态。试判断系统在坐标原点处平衡状态的稳定性。,解 可以找一个函数 为显然,为一变量函数,在 平面上的第一、三象限内,有 是正定的。在此区域内取 的全导数得所以当 时,因此根据定理4可知,系统在坐标原点处的平衡状态是不稳定的。返回,3.4 线性系统的李亚普诺夫稳定性分析,由李亚普诺夫稳定理论可知,在寻求 函数时,要使 和 具有定号性,两者的符号相

15、反,表示稳定;两者的符号相同,表示不稳定;或者希望 或 中至少有一个是定号的,才能对稳定性进行判断。因此在构造 函数时,或者先试构造出 是正定的,然后考察 的符号;或者先给出 是负定的,然后确定 是否为正定;或者使 为正定,从系统稳定性要求出发,推导出对于系统的限制。由上一节例题可见,对于某些简单系统,特别是线性系统或近似线性系统,通常可取 为X 的二次型。,一、线性定常系统的稳定性分析 设线性定常系统为(3.2)式中,为 维状态向量,是 X 常系数矩阵,假设 是非奇异矩阵。因为判定系统的稳定性,主要取决自由响应,所以令控制作用=0,由系统状态方程知,系统唯一的平衡状态是原点。对于式(3.2)

16、确定的系统,选取如下形式的正定无限大 函数,即式中,P是一个正定的赫米特矩阵(即复空间内的二次型,如果X是一个实向量则可取正定的实对称矩阵)。沿轨迹的导数为,对于系统在大范围内渐近稳定性来说,要求 是负定的,因此必须有为负定。式中(3.3)由上式可知,在已知P是正定的条件下,找到满足式(3.3)的一个赫米特矩阵(或实对称短阵)Q是正定的,则由式(3.2)描述的系统在原点处的平衡状态,必是大范围内渐近稳定的。这样得到如下定理。,定理3.5 设系统状态方程为式中,是 维状态向量,是 常系数矩阵,且是非奇异的。若给定一个正定的赫米特矩阵(包括实对称矩阵)Q,存在一个正定的赫米特矩阵(或实对称矩阵)P

17、,使得满足如下矩阵方程则系统在X0处的平衡状态是大范围内渐近稳定的,而标量函数 就是系统的李亚普诺夫函数。对该定理需要说明如下几点。,如果 沿任意一条轨迹不恒等于零,则Q可取做半正定矩阵。该定理阐述的条件,是充分且必要的。因为正定对称矩阵Q的形式可任意给定,且最终的判断结果将和Q的不同形式选择无关,所以通常取QI(单位阵)较为方便。这样线性系统 平衡状态X0为渐近稳定的充要条件为:存在一个正定对称矩阵P,满足矩阵方程 将上述定理同从 的特征值分布来分析系统稳定性联系起来看,它实际上就是 中矩阵 的特征值均具有负实部的充要条件。,可以证明,要求特征值均具有小于某一数 值的负实部,即 的充要条件(

18、即考虑衰减程度)是:对任意给定的正定对称矩阵Q,存在正 定对称阵P,它为矩阵方程 的解。,证明 用上述定理考察系统,若特征值均具有负实部(充要条件是对任意正定对称矩阵Q,存在正定对称矩阵P,满足),对系统作平移变换,将 代替上式中的A,则有即:,例3.5 设系统的状态方程为显然,坐标原点是系统的一个平衡状态,试确定系统在这一平衡状态下的渐近稳定性条件,并求出系统的李亚普诺夫函数。,解 设系统的李亚普诺夫函数为式中P由下式决定取Q=I,得展开得解上式得,式中,叫作系统方程中矩阵A的迹(代表矩阵A的主对角线上的各元素之和)。是系统矩阵A的行列式。显然,要使矩阵P是正定的,必须使于是可得若满足此不等

19、式,必须有,由,可得,即故上述系统在原点处是渐近稳定的充要条件为因为系统是线性的,所以在原点处若是渐近稳定的,也是大范围内渐近稳定的。,例3.6 控制系统方块图如图3.3所示。要求系统渐近稳定,试确定增益K的取值范围。,解 由3.3可写出系统的状态方程为,若输入r为零,则系统的状态方程为或写成,不难看出,原点为系统的平衡状态(因为在原点处)选取Q为正半定实对称矩阵,则(3.4),由 为负半定的,因为 时,但当,而 时,也有 但由于 只在原点处才恒等于零,这是因为若设 除原点外在某X值情况下也恒为零,则要求 恒为零。但要求 恒为零,就必须要求 也恒为零。由方程可看出,如果 则 也必为零。如果X恒为零,其中 及 已经恒为零,则 也必恒为零。因此 恒为零的情况只有在原点(即)处才成立。可见选择式(3.4)所示矩阵作为Q是可行的,益处是可使数学运算得到简化。,设P为实对称矩阵,且有如下形式由即求得,为使矩阵P为正定,其充分且必要条件由赛尔维斯特准则得到 从而求得 故在0K6范围内取K值,则系统在原点处的平衡状态是大范围渐近稳定的。,结束,

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