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1、第四十一讲,主讲：杨荣副教授,大学文科数学,吉林大学远程教育,（微积分学）,2.2 定积分的定义,类似于曲边梯形面积的计算，还有许多其他实际问题，例如求变速直线运动的距离问题，旋转体的体积问题，曲线的长问题，等等，它们都可以结为求某种和式的极限。我们把解决这些问题的数学思维方法加以概括和抽象，便得到定积分的概念。,a、b分别称为定积分的下、上限。,定积分的这个定义，在历史上首先是由黎曼（Riemann）给出的，为了纪念他，在上述意义下的定积分也称为黎曼积分。,定义3 设函数 f(x)在区间 a,b上连续，用分点a=x0 x1x2 xn1 xn=b把区间a,b分成 n 个小区间xi1,xi，其长
2、度为 xi xi xi1，(i=1,2,，n)。在每个小区间xi1,xi上任取一点i；xi1 i xi，并作函数值 f(i)与小区间长度 xi的乘积 f(i)xi的和，记。当 时，若Sn有极限 S，则称此极限值 S 为 f(x)在a,b上的定积分，记为,注1 若 f(x)0时，则f(i)0(i=1,2,，n)，因此曲边梯形的面积为,即：定积分的值不依赖于积分变量的选择。,注2 定积分是一个数，它仅仅取决于被积函数以及积分的上、下限，而与积分变量采用什么字母无关，即有,即,这说明，当 f(x)0时，定积分 的几何意义是：它等于曲边梯形面积的相反数。,注3 为了使用方便，我们规定：,对于定积分我们
3、要研究两方面的问题：第一，f(x)在a,b上具有什么条件才是可积的。第二，在可积条件下如何求定积分的值。,关于第一个问题，我们只给出一些结论，其证明超出本书的范围，在此从略。首先 f(x)在a,b上可积，从定义可知必须 f(x)在a,b上有界。因为否则无论对于怎样的分法，总至少有一个小区间xi-1,xi，f(x)在其上无界，因而可取i使 f(i)ti以及积分和的绝对值任意大，所以积分和不能有极限。这就是说，f(x)在a,b上可积的必要条件是 f(x)在a,b上有界。不过被积函数有界只是定积分存在的必要条件而不是充分条件。关于定积分存在的充分条件叙述成以下的几个定理，称为定积分存在定理。,定理1
4、 f(x)在a,b上连续，则 f(x)在a,b上可积。,定理1告诉我们，只要能判定被积函数在积分区间上是连续的，就可以断定它是可积的。我们知道，初等函数在它的定义域中的任何一个有限闭区间上都是连续的，因而是可积的。,根据定积分的定义及存在定理，前面讨论的曲边梯形的面积A，即为函数 f(x)在区间a,b上的定积分,作变速直线运动的物体经过的路程 s，即为速度函数 v(t)在时间区间a,b上的定积分,下面我们讨论第二个问题，即在可积的条件下，如何求定积分的值。根据定义，在可积的情形下，积分和的极限值与对区间a,b的分法及 i的取法无关，因此我们可以对区间a,b采用适当的分法并且适当的选取i来求积分和的极限。,例1 求定积分,解 由于被积函数 x2在积分区间0,b上连续，故定积分存在。将区间0,b n 等分，分点为，各小区间长度都为，取i为各区间的右端点，即,积分和为,显然，用上述方法求定积分是很不方便的，以后我们还要详细讨论定积分的计算问题。,现在，所以0相当于n，对上式取极限，得,例2 求定积分,例3 求,谢谢！,
