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1、第三章 多维随机变量及其分布,一、多维随机变量及其联合分布列,二、边际分布（边缘分布）列,三、条件分布列,四、小结,第一节 离散型随机变量联合分布和边际分布,一、多维随机变量及其联合分布列,1.定义,实例1 炮弹的弹着点的位置(X,Y)就是一个二维随机变量.,二维随机变量(X,Y)的性质不仅与 X、Y 有关,而且还依赖于这两个随机变量的相互关系.,实例2 考查某一地 区学前儿童的发育情况,则儿童的身高 H 和体重 W 就构成二维随机变量(H,W).,说明,若二维随机变量(X,Y)所取的可能值是有限对或无限可列多对,则称(X,Y)为二维离散型随机变量.,2、二维离散型随机变量,2.1.定义,2.
2、2.二维离散型随机变量的联合分布列,注：,二维随机变量(X,Y)的联合分布列也可表示为,2.3.联合分布的性质,二、边际（边缘）分布列,1,x1 xi,联合分布列,及边缘分布列,(1)把三个相同的球等可能地放入 1,2,3号盒子中,记 X,Y 分别为落入 1 号盒与 2 号盒的 球数，求(X,Y)的联合分布律与边缘分布律，即填下表：,例1,(2)把 3 个红球和 3 个白球等可能地放入 1,2,3 号盒中,每盒可容球无限,记 X 与Y 分别为落入 1 号盒的白球数与红球数.求(X,Y)的联合分布律和边缘分布律，即再填上表.,通过这两张表你能得到什么结论,解(1)本题中，,其联合分布与边缘分布如
3、下表所示,0,pi,1,p j,见下表,解(2),pi,1,p j,(1)与(2)有相同的边缘分布,但它们的联合分布却不同.,联合分布可以唯一地确定边缘分布,边缘分布却不能唯一确定联合分布,例2 某校新选出的学生会 6 名女委员,文、理、工科各占1/6、1/3、1/2，现从中随机指定 2 人为学生会主席候选人.令X,Y 分别为候选人中来自文、理科的人数.,解 X 与Y 的可能取值分别为0,1和0,1,2.,求(X,Y)的联合分布律和边缘分布律.,由乘法公式,或由古典概型,相仿有,故联合分布律与边缘分布律为,0 1,0 1 2,3/15 6/15 1/15,3/15 2/15 0,pi,p j,
4、1/3,2/3,1,6/15 8/15 1/15,解,且由乘法公式得,例3,(X,Y)所取的可能值是,解,抽取两支都是绿笔,抽取一支绿笔,一支红 笔,例4 从一个装有3支蓝色、2支红色、3支绿色圆珠笔的盒子里,随机抽取两支,若 X、Y 分别表示抽出的蓝笔数和红笔数,求(X,Y)的分布律.,故所求分布律为,例5 一个袋中有三个球,依次标有数字 1,2,2,从中任取一个,不放回袋中,再任取一个,设每次取球时,各球被取到的可能性相等,以 X,Y 分别记第一次和第二次取到的球上标有的数字,求(X,Y)的分布律与分布函数.,(X,Y)的可能取值为,解,故(X,Y)的分布律为,例6 设盒中有2个红球和3个
5、白球，从中每次任取一球，连续取两次，记X、Y分别表示第一次与第二次取出的红球个数，分别对有放回摸球与不放回摸球两种情况求出(X,Y)的分布律与边缘分布律。,解：,（1）有放回摸球情况,PX=0,Y=0,(X,Y)的取值有如下四种情况：(0,0),(0,1),(1,0),(1,1),=PX=0PY=0,=3/53/5=9/25,PX=0,Y=1=PX=0PY=1,=3/52/5=6/25,PX=1,Y=0=PX=1PY=0,=2/53/5=6/25,PX=1,Y=1=PX=1PY=1,=2/52/5=4/25,例6 设盒中有2个红球和3个白球，从中每次任取一球，连续求两次，记X、Y分别表示第一次
6、与第二次取出的红球个数，分别对有放回摸球与不放回摸球两种情况求出(X,Y)的分布律与边缘分布律。,所以有放回摸球情况下，(X,Y)的分布律与边缘分布律为,例6 设盒中有2个红球和3个白球，从中每次任取一球，连续求两次，记X、Y分别表示第一次与第二次取出的红球个数，分别对有放回摸球与不放回摸球两种情况求出(X,Y)的分布律与边缘分布律。,解：,（2）不放回摸球情况,PX=0,Y=0,(X,Y)的取值有如下四种情况：(0,0),(0,1),(1,0),(1,1),=PX=0PY=0|X=0,=3/52/4=3/10,PX=0,Y=1=PX=0PY=1|X=0,=3/52/4=3/10,PX=1,Y
7、=0=PX=1PY=0|X=1,=2/53/4=3/10,PX=1,Y=1=PX=1PY=1|X=1,=2/51/4=1/10,例6 设盒中有2个红球和3个白球，从中每次任取一球，连续求两次，记X、Y分别表示第一次与第二次取出的红球个数，分别对有放回摸球与不放回摸球两种情况求出(X,Y)的分布律与边缘分布律。,所以不放回摸球情况下，(X,Y)的分布律与边缘分布律为,由上例，在有放回摸球与不放回摸球两种情况下，(X,Y)的边缘分布律完全相同，但(X,Y)的分布律却不相同，这表明(X,Y)的分布律不仅反映了X与Y两个分量的概率分布，而且反映了它们之间的关系。说明：若两个分量的概率分布完全相同，但分
8、量之间的关系却不相同，则它们的分布律也会不同。,由条件概率公式,定义：设(X,Y)是二维离散型随机变量，对于固定的 j,为在Y=yj 条件下随机变量 X 的条件分布列。,若P(Y=yj)0,则称,自然地引出如下定义：,三、条件分布列,条件分布列具有分布列的以下特性：,10 P(X=xi|Y=yj)0；,同样对于固定的 i,若P(X=xi)0,则称,为在 X=xi 条件下随机变量Y 的条件分布列。,即条件分布列也是分布列。,例7 一射手进行射击，击中目标的概率为 p，射击到击中目标两次为止。设以 X 表示首次击 中目标所进行的射击次数，以 Y 表示总共进行 的射击次数，试求 X 和 Y 的联合分布列以及条件分布列。,解：,例7（续）,在Y=n 条件下随机变量 X 的条件分布列为,当 n=2,3,时，,在 X=m 条件下随机变量Y 的条件分布列为,当m=1,2,3,时，,1.二维离散型随机变量的联合分布列及边际分布列,2.二维离散型随机变量的条件分布列,四、小结,
