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1、第6课时 空间直角坐标系、空间向量及其运算,1空间直角坐标系及有关概念(1)空间直角坐标系：以空间一点O为原点，建立三条两两垂直的数轴：x轴，y轴，z轴这时建立了空间直角坐标系Oxyz，其中点O叫做 x轴，y轴，z轴统称 由坐标轴确定的平面叫做,基础知识梳理,原点,坐标轴,坐标平面,(2)空间一点M的坐标为有序实数组(x，y，z)，记作M(x，y，z)，其中x叫做点M的，y叫做点M的，z叫做点M的,基础知识梳理,横坐标,竖坐标,纵坐标,2空间向量的有关定理(1)共线向量定理：对空间任意两个向量a，b(b0)，ab的充要条件是存在实数，使得ab.(2)共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，那么
2、向量c与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使cxayb.,基础知识梳理,基础知识梳理,思考？,若a与b确定平面为，则表示c的有向线段与的关系是怎样的？【思考提示】可能与平行，也可能在内,(3)空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组x，y，z，使得pxaybzc.其中，a，b，c叫做空间的一个,基础知识梳理,基底,3空间向量的数量积及运算律(1)数量积及相关概念两向量的夹角,基础知识梳理,AOB,两向量的数量积已知空间两个非零向量a，b，则|a|b|cosa，b叫做a，b的数量积，记作ab，即ab|a|b|cosa，b(2)数
3、量积的运算律结合律：(a)b(ab)；交换律：abba；分配律：a(bc)abac.,基础知识梳理,4空间向量坐标表示及应用(1)数量积的坐标运算若a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，则ab.(2)共线与垂直的坐标表示设a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，则ababa1b1，a2b2，a3b3，abab0a1b1a2b2a3b30(a，b均为非零向量),基础知识梳理,a1b1a2b2a3b3,基础知识梳理,答案：D,三基能力强化,2(教材习题改编)若a(2x,1,3)，b(1，2y,9)，如果a与b为共线向量，则(),三基能力强化,答案：C,三基能力强化,答案：B,4已
4、知向量a(1,1,0)，b(1,0,2)，且kab与2ab互相垂直，则k的值是_,三基能力强化,答案：1,三基能力强化,用已知向量表示未知向量，以及进行向量表达式的化简时，一定要注意结合实际图形，以图形为指导是解题的关键，同时注意首尾相接的向量的和向量的化简方法，以及从同一个点出发的两个向量的差向量的运算法则，避免出现方向错误,课堂互动讲练,课堂互动讲练,【思路点拨】利用空间向量的加法法则及基本定理,课堂互动讲练,课堂互动讲练,课堂互动讲练,课堂互动讲练,课堂互动讲练,互动探究,应用共线向量定理、共面向量定理，可以证明点共线、点共面、线共面1证明空间任意三点共线的方法对空间三点P，A，B可通过
5、证明下列结论成立来证明三点共线,课堂互动讲练,课堂互动讲练,2证明空间四点共面的方法对空间四点P，M，A，B可通过证明下列结论成立来证明四点共面,课堂互动讲练,课堂互动讲练,课堂互动讲练,已知A、B、M三点不共线，对于平面ABM外的任一点O，确定在下列各条件下，点P是否与A、B、M一定共面？,课堂互动讲练,【思路点拨】先化简已知等式，观察它能否转化为四点共面的条件,课堂互动讲练,3(1)(1)1，B与P、A、M共面，即P与A、B、M共面4(1)(1)21，P与A、B、M不共面,课堂互动讲练,课堂互动讲练,空间向量的坐标运算与平面向量的坐标运算相似，只是多出一个坐标，与平面向量的坐标运算作一些对
6、比可以较容易地掌握空间向量的坐标运算问题,课堂互动讲练,课堂互动讲练,课堂互动讲练,课堂互动讲练,课堂互动讲练,课堂互动讲练,空间中的两个向量的数量积是平面向量中两向量的数量积的延伸和推广，工具性特别强，可借助向量的数量积解决两直线的平行与垂直问题，求解空间角和空间距离问题向量的数量积的坐标表示即数量积的代数化，可以将数量积的运算转化为代数运算，使运算简化,课堂互动讲练,课堂互动讲练,(解题示范)(本题满分12分)如图所示，直三棱柱ABCA1B1C1，底面ABC中，CACB1，BCA90，棱AA12，M，N分别是A1B1，A1A的中点(1)求BN的长；(2)求异面直线BA1与CB1所成角的余弦
7、值；(3)求证：A1BC1M.,课堂互动讲练,【解】如图所示，以C为原点建立空间直角坐标系Cxyz.(1)依题意得B(0,1,0)，N(1,0,1),课堂互动讲练,课堂互动讲练,【名师点评】(1)利用空间两点间的距离公式求BN的长；,课堂互动讲练,课堂互动讲练,高考检阅,(1)求证：面PAC面PCD；(2)在棱PD上是否存在一点E，使CE面PAB？若存在，请确定E点的位置；若不存在，请说明理由,课堂互动讲练,解：(1)证明：设PA1，由题意PABC1，AD2.PA面ABCD，PB与面ABCD所成的角为PBA45.2分AB1，由ABCBAD90，,课堂互动讲练,又PACD，PAACA，CD面PA
8、C，CD面PCD，面PAC面PCD.6分(2)分别以AB、AD、AP为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系令P(0,0,1)，C(1,1,0)，D(0,2,0)，7分,课堂互动讲练,E是PD的中点，存在E点使CE面PAB，此时E为PD的中点 12分,课堂互动讲练,1点共线问题共线向量定理：对空间任意两个向量a，b(b0)，ab的充要条件是存在实数使ab.,规律方法总结,2点共面问题点共面问题可以转化为向量共面问题：如果两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面的充要条件是，存在实数对(x，y)，使pxayb.,规律方法总结,所以要证明P，M，A，B四点共面，关键是寻找有序实数对(x，y)满足上述的两个关系式,规律方法总结,证明面面平行，只要证明两个平面的法向量共线即可,规律方法总结,随堂即时巩固,点击进入,课时活页训练,点击进入,
