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1、第六章 函数逼近,用简单的函数p(x)近似地代替函数f(x)，是计算数学中最基本的概念和方法之一。这种近似代替又称为逼近，函数f(x)称为被逼近的函数，p(x)称为逼近函数，两者之差,称为逼近的误差或余项。,如何在给定精度下，求出计算量最小的近似式，这就是函数逼近要解决的问题,函数逼近问题的一般提法：,对于函数类A（如连续函数类）中给定的函数f(x)，要求在另一类较简单的且便于计算的函数类B（如多项式、三角函数类等）中寻找一个函数p(x)，使p(x)与f(x)之差在某种度量意义下最小。,最常用的度量标准为：一致逼近、平方逼近,(一)一致逼近,以函数f(x)和p(x)的最大误差,作为度量误差 f
2、(x)p(x)的“大小”的标准,在这种意义下的函数逼近称为一致逼近或均匀逼近,对于任意给定的一个小正数 0，如果存在函数p(x)，使不等式,成立，则称该函数p(x)在区间a,b上一致逼近或均匀逼近于函数f(x)。,(二)平方逼近：,采用,作为度量误差的“大小”的标准的函数逼近称为平方逼近或均方逼近。,1 正交多项式,一、正交函数系的概念,考虑函数系,1，cosx，sinx，cos2x，sin2x，connx，sinnx，,此函数系中任何两个不同函数的乘积在区间-,上的积分都等于0！,我们称这个函数中任何两个函数在-,上是正交的，并且称这个函数系为一个正交函数系。,若对以上函数系中的每一个函数再
3、分别乘以适当的数，,使之成为：,那么这个函数系在-,上不仅保持正交的性质，而且还是标准化的(规范的)，即每个函数的平方在区-,上的积分等于1。,1权函数,定义1 设(x)定义在有限或无限区间a,b上，如果具有下列性质：,(1)(x)0，对任意x a,b，,(2)积分 存在，(n=0,1,2,)，,(3)对非负的连续函数g(x)若,则在(a,b)上g(x)0,称(x)为a,b上的权函数,2内积,定义2 设f(x)，g(x)C a,b，(x)是a,b上的权函数，,则称,为 f(x)与 g(x)在 a,b上以(x)为权函数的内积。,内积的性质：,(1)(f,f)0，且(f,f)=0 f=0；,(2)
4、(f,g)=(g,f)；,(3)(f1+f2,g)=(f1,g)+(f2,g)；,(4)对任意实数k，(kf,g)=k(f,g)。,3正交,定义3 设 f(x)，g(x)C a,b 若,则称f(x)与g(x)在a,b上带权(x)正交。,定义4 设在a,b上给定函数系k(x)，若满足条件,则称函数系k(x)是a,b上带权(x)的正交函数系。,若定义 4中的函数系为多项式函数系，则称为以(x)为权的在a,b上的正交多项式系。并称pn(x)是a,b上带权(x)的n次正交多项式。,特别地，当Ak 1时，则称该函数系为标准正交函数系。,二、常用的正交多项式,1切比雪夫()多项式,定义 5 称多项式,为n
5、 次的切比雪夫多项式(第一类)。,切比雪夫多项式的图形：,T0(x),T1(x),T2(x),T3(x),切比雪夫多项式的性质：,(1)正交性：,由 Tn(x)所组成的序列 Tn(x)是在区间-1,1上带权,的正交多项式序列。且,(2)递推关系,相邻的三个切比雪夫多项式具有三项递推关系式：,(3)奇偶性：,切比雪夫多项式Tn(x)，当n为奇数时为奇函数；n为偶数时为偶函数。,(4)Tn(x)在区间-1,1上有n 个不同的零点,(5)Tn(x)在-1,1上有n+1个不同的极值点,使Tn(x)轮流取得最大值 1 和最小值-1。,(6)切比雪夫多项式,Tn(x)的最高次项系数为 2n-1(n=1,2
6、,)。,定理 1 在-1x 1上，在首项系数为1的一切n次多项式Hn(x)中,与零的偏差最小，且其偏差为,即，对于任何，有,2勒让德(Legendre)多项式,定义 6 多项式,称为n次勒让德多项式。,勒让德多项式的图形：,P0(x),P1(x),P2(x),P3(x),(1)正交性,勒让德多项式序列pn(x)是在-1,1上带权(x)=1的正交多项式序列。,勒让德多项式的性质：,(2)递推关系,相邻的三个勒让德多项式具有三项递推关系式：,(3)奇偶性：,当n为偶数时，pn(x)为偶函数；,当n为奇数时，pn(x)为奇函数。,(4)pn(x)的n个零点都是实的、相异的，且全部在区间-1,1内部。
7、,3其它常用的正交多项式,(1)第二类切比雪夫多项式,定义 7 称,为第二类切比雪夫多项式。,un(x)是在区间-1,1上带权函数,的正交多项式序列。,相邻的三项具有递推关系式：,(2)拉盖尔(Laguerre)多项式,定义 8 称多项式,为拉盖尔多项式。,Ln(x)是在区间0,+上带权(x)=e-x 的正交多项式序列。,相邻的三项具有递推关系式：,(3)埃尔米特(Hermite)多项式,定义 9 称多项式,为埃尔米特多项式。,的正交多项式序列。,Hn(x)是在区间(-,+)上带权函数,相邻的三项具有递推关系式：,2 最佳一致逼近,一、最佳一致逼近的概念,定义 10 设函数f(x)是区间a,b
8、上的连续函数，对于任意给定的 0，如果存在多项式p(x)，使不等式,成立，则称多项式p(x)在区间a,b上一致逼近(或均匀逼近)于函数f(x)。,定理2：(维尔斯特拉斯定理）,若f(x)是区间a,b上的连续函数，则对于任意 0，总存在多项式p(x)，使对一切a x b有,推论1、若f(x)是区间a,b上的连续函数，则f(x)在H的最佳一致逼近多项式就是f(x)在区间a,b上的某个n次插值多项式 pn(x)，,推论2、若f(x)是区间a,b上有n+1阶导数，且f(n+1)(x)在区间a,b上恒正或恒负，那么区间a,b的端点a,b属于f(x)pn(x)的交错点组。,例.求函数f(x)=ex在区间0，1上的线性最佳一致逼近多项式。,求函数f(x)=x2在0,1上的线性最佳一致逼近多项式。,三、契比雪夫多项式的应用,因此，s4(x)=2.532132+1.130318x+0.271495T2(x)+0.044337T3(x)+0.005474T4(x),3、逼近多项式降阶,
