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1、第五章 二自由度系统振动,1.引言2.自由振动3.车辆的震动4.用初始条件表示的振动5.二自由度振系的强迫振动，动力吸振器6.离心摆式吸振器,1、引言,自由度的数目等于描述振动系统所需的独立坐标的数目。N自由度的振系有N个固有频率（通常不等）。自由振动由N个主振动组合而成。在每个主振动中，系统各坐标之间有确定的比例关系，这种特定的振动形态称为主振型。主要内容：求固有频率与主振型的方法以及动力吸振器的原理。,2、自由振动,无阻尼2自由度系统,对m1,由牛顿运动定律,以m1与m2的静平衡位置O1与O2作为坐标轴x1与x2的原点。,弹簧k1伸长x1,弹簧k3缩短x2，弹簧k2伸长（x2-x1）,移项
2、整理得,同理,对m2,2自由度振系自由振动微分方程,2、自由振动,2自由度振系自由振动微分方程，可写为,联立的二阶常系数线性微分方程组,令,代入方程组，得,2、自由振动,可见，系数为零,X1=X2=0时，成立，表示振系的平衡状态。要使X1=X20，系数行列式等于0.,频率方程,2、自由振动,频率方程的根p2,由于aebf,所以p21与p22都是正数。故振系有连个固有频率p1与p2，唯一决定于振系的参数a,b,e,f，称为振系的固有频率。,2、自由振动,求主振型,振幅比,以p21与p22代入，得,2、自由振动,特解的两种形式：,其中p1对应于根号前,取负号，是较低的固有频率；p2对应于根号前取正
3、号，是较高的固有频率。,2、自由振动,1020,因此，振系以频率p1振动时，m1与m2运动总是同向,而振系以频率p2振动时，m1与m2运动总是反向。,振幅比,这两种形式的振动称为主振型振动。以较低频率p1进行的称为第一振型或低振型振动；以较高频率p2进行的称为第二振型或高振型振动。,主振型运动特点：同时达到最大振幅，位移比恒定。,2、自由振动,特解叠加，可得方程组的全解,其中，p1与p2以及 1与2决定于振系的参数，X11与X12以及1与2决定于初始条件。,总结：2自由度振系有两个固有频率，每个固有频率有一个确定的振幅比，每个振幅比决定一种主振型，振系的任何自由振动都可以表示为两种主振型的叠加
4、。,2、自由振动,例1 设k1=k3=k,m1=m2=m,求固有频率及主振型,解：,频率方程简化为,第一振型中，以相同振幅同向运动，中间弹簧无变形；第二振型中，以相同振幅反向运动，中间弹簧的中点静止不动。,2、自由振动,例2 两个相同的单摆用弱弹簧k相连，如图。当两摆在铅垂位置时，弹簧不受力。试求振系在同一铅垂平面内进行微幅振动的固有频率。,解：,取偏角1与2，反时针为正，偏角很小，令sin=,cos=1.弹簧伸长a(2-1),弹性力ka(2-1).,各力分别对悬点O1与O2取矩，得微分方程,代入微分方程，得,可得，振幅比,2、自由振动,频率方程,求解p2,2、自由振动,第一振型：,第二振型：
5、,2、自由振动,双摆第一第二振型,单摆第一第二振型,3、车辆的振动,只考虑车体的上下振动与俯仰运动，即车体质心的垂直位移x和车体水平的转角,oo 车体静平衡位置；前后弹簧刚度k1,k2;两弹簧到质心距离l1,l2;车体重mg；绕水平质心轴的转动惯量J。,瞬时t，车体仰角，质心向下位移x，则前后弹簧分别压缩（x-l2）与（x+l1）,由牛顿定律，有,移项整理，得,变量x与一般不是彼此独立地，车体上下振动势必引起俯仰振动，反之亦然。只有k1l1=k2k2时，变量x与独立，可以单独发生，如火车。,3、车辆的振动,令,简化微分方程，得,设解的形式为,3、车辆的振动,代入，得,振幅比,频率方程,3、车辆
6、的振动,求解p2,由于ae-b20,故p12与p22都为正数，振系有两个固有频率,3、车辆的振动,第一振型：,第二振型：,3、车辆的振动,例5.3-1.国产SH760 型小轿车的有关数据如下：前后轮轴之间的距离l=2.83米，空车 满载前轮悬挂质量（单轮）36.5公斤 410公斤后轮悬挂质量（单轮）305公斤 445公斤前轮悬挂刚度（单轮）20.5公斤/厘米 20.5公斤/厘米后轮悬挂刚度（单轮）22.5公斤/厘米 22.5公斤/厘米迴转半径 20.95l1l2试估计在满载时的上述固有频率p1与p2.,解：,前轮悬挂总重 2410=820 公斤前轮悬挂总重 2445=890 公斤汽车总重 mg
7、=1710 公斤,3、车辆的振动,质心G至前轮轮轴的水平距离,质心G至后轮轮轴的水平距离,刚度系数 k1=220.5=41.0 公斤/厘米 k2=222.5=45.0 公斤/厘米,3、车辆的振动,迴转半径为,3、车辆的振动,故,3、车辆的振动,4、用初始条件表示的振动,一个多自由度系统究竟按什么方式进行自由振动，决定于运动的初始条件。,二自由度振系一般的自由振动：,频率p1与p2及振幅比1与2都位移决定于振系参数；而，四个任意常数振幅X11与X12以及相角1与2，决定于初始条件。,二自由度振系有四个初始条件：,T=0时，,4、用初始条件表示的振动,以此系统为例,主振型，振幅比,振系频率,4、用
8、初始条件表示的振动,下面考虑三种不同情况的初始条件。,1.设t=0时，,代入,得,4、用初始条件表示的振动,代入自由振动方程，得,振系按第一振型振动，中间弹簧始终不受力。,4、用初始条件表示的振动,2.设t=0时，,代入,得,4、用初始条件表示的振动,代入自由振动 方程，得,振系按第二振型振动，中间弹簧中点始终静止。,4、用初始条件表示的振动,3.设t=0时，,代入,得,4、用初始条件表示的振动,代入自由振动方程，得,振系为两种振型的叠加，一般不是周期的。,4、用初始条件表示的振动,下面考虑频率p1与p2相差很小的振动形式,由例2求得结果，,设t=0时，,设,则p1与p2相差很小，,4、用初始
9、条件表示的振动,根据和差化积公式，变换,由上述第三种情况，得,振幅,频率,振幅不是常数,T=0时，左摆振幅为A，右摆静止；此后，左摆振幅减小，右摆振幅增大，到pb/2=/2时，左摆静止，右摆振幅为A；随后右摆振幅减小，左摆振幅增大，到pb/2=时，两摆回到t=0时的情况。,象这种振幅规律地时而减小时而增大的现象称为拍。,4、用初始条件表示的振动,拍的周期,拍的频率pb，即拍频,拍原理的应用测未知频率校正乐器,4、用初始条件表示的振动,5、二自由度振系的强迫振动，动力吸振器,物体m在正弦扰力F=F0sin t的作用下进行强迫振动。取在无扰力作用时的静平衡位置为原点，向下为正。,由牛顿定律,令,代
10、入，得,系数行列式,5、二自由度振系的强迫振动，动力吸振器,物体在常力F0作用下的静挠度,在无ka与ma时，k-m系统的固有频率,ka-ma系统的固有频率,记：,5、二自由度振系的强迫振动，动力吸振器,得,当=pa时，X1=0；,此时，弹簧ka作用于m的力为kax2=-F0sint，刚好抵消扰力F=F0sin t.,这样只须附加一个弹簧ka与质量ma，就可以使原来k-m系统在交变扰力作用下进行的强迫振动完全消失。这就是动力吸振的基本原理，附加的ka-ma系统成为动力吸振器。,5、二自由度振系的强迫振动，动力吸振器,为了吸振，必须调整ka与ma的值，使吸振器的固有频率等于扰力的频率,系统加上吸振
11、器，可以使物体m振幅为0，同时是系统自由度变为2，有两个固有频率，当扰频与任一固有频率相等时，系统会发生共振。因此，当扰频在很大范围内波动时，起不到吸振的作用。这种动力吸振器适用于扰频恒定的情况。,下面研究,动力吸振器模型，pa=p的特殊情况下，共振频率随质量比的变化，及m的振幅X1随扰频的变化。,设,5、二自由度振系的强迫振动，动力吸振器,则,令上式分母为零，求共振频率,得,可以看出，（/pa）2有两个正跟，一个大于1，一个小于1，即有两个共振频率。,5、二自由度振系的强迫振动，动力吸振器,可以看到在=ma/m=0.2时，对应两个共振频率0.8pa和1.25pa,此时对应的m的振幅与/p的关
12、系如图2.,吸振器质量ma的选取：=pa时，由于m静止，ka的弹力刚好与扰力抵消，有F0=kaX2；同时ka=mapa2=ma2,5、二自由度振系的强迫振动，动力吸振器,6.离心摆式吸振器,对于转速可在大范围内变化的机器，如汽车内燃机和航空发动机，扰频可以随转速大范围波动，要能起吸振作用，吸振器的频率pa需要扰动频率改变。离心摆式吸振器就可以满足这样的要求。,假定圆盘以角速度绕O转动，同时有振幅为0、频率为的 扭转振动0 sint,怎样把这部分消除，其中为时变的,此时，圆盘的角速度表示为,如图，可以在O点附装一个单摆,先求摆锤P的加速度a。如图建立坐标系，Oxy作平动。,则，摆锤P的牵连加速度
13、为,摆锤P的相对加速度为,6.离心摆式吸振器,四个加速度矢量和即为摆锤P的绝对加速度a,将其投影至切向和法向。,由于摆锤没有切向力，切相加速度a=0,假定单摆进行微幅振动，角很小，可令cos=1，sin=,6.离心摆式吸振器,对,求导，代入上式,得单摆相对运动的微分方程,可见单摆的固有频率,频率p随变动,6.离心摆式吸振器,假定0，可以近似的令,=,设单摆的强迫振动微分方程的特解,带回微分方程，得,故,可见,时，转轴的振幅0=0，即没有振动。,不论转轴的转速怎样变，单摆的固有频率p能自动的随着变化，始终保持消除扭转振动的作用。,6.离心摆式吸振器,集成离心摆吸振器的双质量飞轮减震器工作展示,总结,1.二自由度的振系，有两个独立坐标，就有两个固有频率，是由2个主振动组合而成，一般二自由度的振系不是周期的周期的运动。2.二自由度系统以某一固有频率振动时，系统各坐标之间有确定的比例关系，这种特定的振动形态称为主振型。3.当两个固有频率相差很小时，出现的振幅时而减小时而增大的现象称为拍。4.动力吸振器系统能完全抵消扰力，使原系统的强迫振动消失，用于扰频固定的场合。离心摆式吸振器的固有频率，可以随扰频的频率而变换，可以满足扰频在很大范围内波动的场合。,谢谢,
