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1、,专题20 函数的应用,函数的应用,主 干 知 识 梳 理,热 点 分 类 突 破,真 题 与 押 题,3,主干知识梳理,1.函数的零点与方程的根(1)函数的零点对于函数f(x)，我们把使f(x)0的实数x叫做函数f(x)的零点.(2)函数的零点与方程根的关系函数F(x)f(x)g(x)的零点就是方程f(x)g(x)的根，即函数yf(x)的图象与函数yg(x)的图象交点的横坐标.,(3)零点存在性定理如果函数yf(x)在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线，且有f(a)f(b)0，那么，函数yf(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c(a，b)使得f(c)0，这个c也就是方程f(x)0的根.
2、注意以下两点：满足条件的零点可能不唯一；不满足条件时，也可能有零点.(4)二分法求函数零点的近似值，二分法求方程的近似解.,2.函数模型解决函数模型的实际应用题，首先考虑题目考查的函数模型，并要注意定义域.其解题步骤是(1)阅读理解，审清题意：分析出已知什么，求什么，从中提炼出相应的数学问题；(2)数学建模：弄清题目中的已知条件和数量关系，建立函数关系式；(3)解函数模型：利用数学方法得出函数模型的数学结果；(4)实际问题作答：将数学问题的结果转化成实际问题作出解答.,热点一 函数的零点,热点二 函数的零点与参数的范围,热点三 函数的实际应用问题,热点分类突破,例1(1)函数f(x)ln(x1
3、)的零点所在的区间是()A.(，1)B.(1，e1)C.(e1,2)D.(2，e),热点一 函数的零点,思维启迪 根据二分法原理，逐个判断；,解析因为f()ln 40，f(1)ln 220，,f(e1)1 0，,故零点在区间(e1,2)内.答案C,思维启迪 画出函数图象，利用数形结合思想解决.,解析先画出y轴右边的图象，如图所示.,f(x)是偶函数，图象关于y轴对称，,可画出y轴左边的图象，再画直线y.,设与曲线交于点A，B，C，D，先分别求出A，B两点的横坐标.,答案A,变式训练1,(1)已知函数f(x)()xcos x，则f(x)在0,2上的零点个数是()A.1 B.2C.3 D.4,解析
4、f(x)在0,2上的零点个数就是函数y()x和ycos x的图象在0,2上的交点个数，,而函数y()x和ycos x的图象在0,2上的交点有3个，故选C.,C,(2)已知a是函数f(x)2xlog x的零点，若00C.f(x0)0 D.f(x0)的符号不确定,解析f(x)2xlog x在(0，)上是增函数，,又a是函数f(x)2xlog x的零点，即f(a)0，,当0 x0a时，f(x0)0.,C,例2对任意实数a，b定义运算“”：ab 设f(x)(x21)(4x)，若函数yf(x)k的图象与x轴恰有三个不同交点，则k的取值范围是()A.(2,1)B.0,1C.2,0)D.2,1),热点二 函
5、数的零点与参数的范围,思维启迪 先确定函数f(x)的解析式，再利用数形结合思想求k的范围.,解析解不等式：x21(4x)1，得：x2或x3，,函数yf(x)k的图象与x轴恰有三个不同交点转化为函数yf(x)的图象和直线yk恰有三个不同交点.,如图，所以1k2，故2k1.,答案D,变式训练2,定义在R上的函数f(x)ax3bx2cx(a0)的单调增区间为(1,1)，若方程3a(f(x)22bf(x)c0恰有6个不同的实根，则实数a的取值范围是_.,解析函数f(x)ax3bx2cx(a0)的单调增区间为(1,1)，1和1是f(x)0的根，f(x)3ax22bxc，,f(x)ax33ax，3a(f(
6、x)22bf(x)c0，3a(f(x)23a0，f2(x)1，f(x)1，,例3省环保研究所对市中心每天环境放射性污染情况进行调查研究后，发现一天中环境综合放射性污染指数f(x)与时刻x(时)的关系为f(x)|a|2a，x0,24，其中a是与气象有关的参数，且a0，若用每天f(x)的最大值为当天的综合放射性污染指数，并记作M(a).,热点三 函数的实际应用问题,(1)令t，x0,24，求t的取值范围；,思维启迪 分x0和x0两种情况，当x0时变形使用基本不等式求解.,解当x0时，t0；,当0 x24时，x 2(当x1时取等号)，,即t的取值范围是0，.,(2)省政府规定，每天的综合放射性污染指
7、数不得超过2，试问目前市中心的综合放射性污染指数是否超标？,思维启迪 利用换元法把函数f(x)转化成g(t)|ta|2a，再把函数g(t)写成分段函数后求M(a).,g(t)在0，a上单调递减，在(a，上单调递增，,当且仅当0a 时，M(a)2.,变式训练3,已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为10万元，每生产1千件需另投入2.7万元.设该公司一年内生产该品牌服装x千件并全部销售完，每千件的销售收入为R(x)万元，且R(x),(1)写出年利润W(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式；,解当0 x10时，WxR(x)(102.7x)8.1x 10；,当x10时，WxR(x)(102.7x
8、)98 2.7x.,(2)年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大？(注：年利润年销售收入年总成本),解当0 x10时，由W8.1 0，,得x9，且当x(0,9)时，W0；,当x(9,10)时，W0，当x9时，W取得最大值，,且Wmax8.19 931038.6.,当x10时，,综合知：当x9时，W取最大值38.6万元，故当年产量为9千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大.,本讲规律总结,1.函数与方程(1)函数f(x)有零点方程f(x)0有根函数f(x)的图象与x轴有交点.(2)函数f(x)的零点存在性定理如果函数f(x)在区间a，b上的图象是连续不断的
9、曲线，并且有f(a)f(b)0，那么，函数f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c(a，b)，使f(c)0.,如果函数f(x)在区间a，b上的图象是连续不断的曲线，并且函数f(x)在区间a，b上是一个单调函数，那么当f(a)f(b)0，那么，函数f(x)在区间(a，b)内不一定没有零点.,2.函数综合题的求解往往应用多种知识和技能.因此，必须全面掌握有关的函数知识，并且严谨审题，弄清题目的已知条件，尤其要挖掘题目中的隐含条件.要认真分析，处理好各种关系，把握问题的主线，运用相关的知识和方法逐步化归为基本问题来解决.,真题感悟,押题精练,真题与押题,1,2,真题感悟,1,2,真题感悟,解析作出
10、函数f(x)的图象如图所示，其中A(1,1)，B(0，2).,1,2,真题感悟,因为直线ymxmm(x1)恒过定点C(1,0)，,故当直线ym(x1)在AC位置时，m，,可知当直线ym(x1)在x轴和AC之间运动时两图象有两个不同的交点(直线ym(x1)可与AC重合但不能与x轴重合)，此时0m，g(x)有两个不同的零点.,1,2,真题感悟,由(2m3)24m(m2)0，解得m，,当直线ym(x1)过点B时，m2；,1,2,真题感悟,可知当ym(x1)在切线和BC之间运动时两图象有两个不同的交点(直线ym(x1)可与BC重合但不能与切线重合)，,答案A,真题感悟,2,1,2.(2014北京)加工
11、爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”.在特定条件下，可食用率p与加工时间t(单位：分钟)满足函数关系pat2btc(a、b、c是常数)，如图记录了三次实验的数据.根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为()A.3.50分钟 B.3.75分钟 C.4.00分钟 D.4.25分钟,真题感悟,2,1,解析根据图表，把(t，p)的三组数据(3,0.7)，(4,0.8)，(5,0.5)分别代入函数关系式，,真题感悟,2,1,即最佳加工时间为3.75分钟.答案B,押题精练,1,2,3,解析当f(x)0时，x1或x1，故ff(x)10时，f(x)11或1.,当f(x)11
12、，即f(x)2时,解得x3或x；,押题精练,1,2,3,当f(x)11，即f(x)0时，解得x1或x1.故函数yff(x)1有四个不同的零点.答案4,押题精练,1,2,3,2.函数f(x)xexa有两个零点，则实数a的取值范围是_.,解析令f(x)(x1)ex0，得x1，则当x(，1)时，f(x)0，f(x)在(，1)上单调递减，在(1，)上单调递增，,押题精练,1,2,3,要使f(x)有两个零点，则极小值f(1)0，,即e1a，,又x时，f(x)0，则a0，,a(，0).,答案(，0),押题精练,1,2,3,3.某公司购买一批机器投入生产，据市场分析每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位：万元)与机器运转时间x(单位：年)的关系为yx218x25(xN*).则当每台机器运转_年时，年平均利润最大，最大值是_万元.,押题精练,1,2,3,解析由题意知每台机器运转x年的年平均利润为 18(x)，而x0，,故 182 8，,当且仅当x5时，年平均利润最大，最大值为8万元.答案58,
